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专题 4.8 导数中的零点问题
题型一 讨论零点的个数
题型二 已知零点个数求参数
题型三 存在零点求参数
题型四 证明零点个数
题型五 隐零点
题型一 讨论零点的个数
例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）已知 ， ，
a是参数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 有两个极值点，则 B． 至多2个零点
C．若 ，则 的零点之和为0 D． 无最大值和最小值
例2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数 ，
，m∈R．
(1)设 的导函数为 ，试讨论 的零点个数；
(2)设 ， 当 时，若
恒成立，求实数m的取值范围．
练习1．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和极值：
(2)若 ，讨论函数 的零点个数．
练习2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知 .
(1)若 ，证明： 存在唯一零点；(2)当 时，讨论 零点个数.
练习3．（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考期中）已知函数 ．
(1)若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)记 ，讨论函数 与 的交点个数．
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的
切线与 轴垂直．
(1)求实数 的值．
(2)讨论 在区间 上的零点个数．
练习5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）已知函数
与函数 ．
(1)若 ， 的图像在点 处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设 ．
①求函数 的极值；
②试判断函数 零点的个数．
题型二 已知零点个数求参数
例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若点 在曲线 上，且点 是函数 图象的对称中心，求过
点 的 的切线方程；
(2)若 ，且 有三个不同的零点 ，且 ，求 的取值
范围.
例4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求a的最大整数值．
练习6．（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）若函数 有两个
实根，则 的取值范围是______．
练习7．（2023·河南·模拟预测）若函数 在 上存在两个零点，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习8．（2023春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）若 ，
（0<a<1）有两个不相等零点 ，则a的范围是______．
练习9．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若a＝1，求函数 的极值；
(2)若函数 在区间 上有且只有一个零点，求实数a的范围．
练习10．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 有3个零点，求 的取值范围.
题型三 存在零点求参数
例5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证：函数 存在零点．例6．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知 ，若关于 的方程
存在正零点，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C．e D．2
练习11．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）设函数 （其中 为
自然对数的底数），若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是__________．
练习12．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中）若函数
在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是___________.
练习13．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 的图象在 处的切线与直线 垂直，求 的值及切线方程；
(2)若 ，函数 在其定义域上存在零点，求实数 的取值范围.
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数．
(1)求实数k的值．
(2)当 时，函数 存在零点，求实数a的取值范围．
(3)函数 （ 且 ），函数 有2个零点，
求实数m的取值范围．
练习15．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数 存
在零点，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．题型四 证明零点个数
例7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)过点 作曲线 的切线，求切线的方程；
(2)当 时，证明：曲线 的图象与直线 的图象仅有一个交点．
例8．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数 ，其中 为非零常数．
(1)讨论 的极值点个数，并说明理由；
(2)若 ，证明： 在区间 内有且仅有1个零点．
练习16．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）（多选）已知函数 ，
下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为
B．
C．若函数 的图象与 的图象关于坐标原点对称，则
D． 有唯一零点
练习17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ，
，且曲线 在点 处的切线斜率均不小于2．
(1)求a的值；
(2)求证：函数 在区间 内存在唯一的零点．
练习18．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ， .
(1)若函数 ，求 的最小值；
(2)证明：函数 在 上有唯一零点.练习19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数 在 处的
切线方程为 ．
(1)若a；
(2)证明 有两个零点．
练习20．（2023春·北京海淀·高三101中学校考期中）已知函数
，其中 ．
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)证明：当 时，函数 有且仅有一个零点．
题型五 隐零点
例9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）函数 在
区间 上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例10．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设函数 在区间 上
的导函数为 ，且 在 上存在导函数 （其中 ）．定义：若
区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为凸函数．
已知函数 的图像过点 ，且在点 处的切线斜率为 ．
(1)判断 在区间 上是否为凸函数，说明理由；
(2)求证：当 时，函数 有两个不同的零点．练习21．（2023春·山东日照·高三统考期中）设函数 .
(1)讨论 的导函数 的零点的个数；
(2)证明：当 时， .
练习22．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数 ，其中
.
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)证明： .
练习23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值点；
(2)若函数 的图象与 的图象有3个不同的交点，试求 的取值范围.
练习24．（2022春·浙江·高三统考学业考试）已知函数 ，其中
.
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)证明：函数 存在唯一零点；
(3)设 ，证明： .
练习25．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数
， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
