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专题 10.4 二项式定理
题型一 利用二项展开式求指定项
题型二 利用二项展开式求有理项
题型三 两个多项式乘积的指定项
题型四 三项展开式的指定项
题型五 整除和余数问题
题型六 二项式系数之和及系数之和
题型七 奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和
题型八 二项式系数的最值及系数的最值
题型九 二项式与导数的交汇
题型一 利用二项展开式求指定项
例1．二项式 展开式中的含 项的系数为 ．
【答案】-40
【分析】根据二项式定理写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.
【详解】二项式 展开式的通项为 ，
令 ，则 .
故答案为： .
例2．已知多项式 ，则 .
【答案】16
【分析】令 ，运用换元法将等式变成 ，结合二项展开式的通
项公式、赋值即可求得结果.
【详解】令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 的展开式的通项为 ， ，
所以令 可得 的展开式中一次项为 ，令 可得 的展开式的常数项为1，
又因为 的展开式的通项为 ， ，
所以令 可得 的展开式中一次项为 ，令 可得 的展开式的常数项为
，
所以 .
故答案为：16.
练习1．已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 项的系数为
（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得 ，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
1
P(ξ=K)=
【详解】因为 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 2K．则
又因为 的展开式的通项公式为 ，
令 ，所以展开式中的 项的系数为 ．
故选：B.
练习2． 的展开式中 的系数为 ，则实数 的值为 ．
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项即可得出答案．
【详解】解： ，
令 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
由题意知 ，即 ，
解得 .
故答案为： .
练习3．已知多项式 ，则 .
【答案】74
【分析】利用二项展开式的通项分别求得 和 的展开式的 项，进而求得 的值.
【详解】对于 ，
其二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
故 ，
对于 ，
其二项展开式的通项为 ，
令 ，得 ，故 ，
所以 .
故答案为：74.
练习4．若 ，则 .
【答案】
【分析】将 化为 ，后由二项式定理可得答案.
【详解】 ，
设 展开式通项为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 .
设 展开式通项为 ，
令 ，则 .
则 .
故答案为：
练习5．已知二项式 展开式中含有常数项，则满足条件的一个n的值为 ．
【答案】6（答案不唯一）
【分析】写出二项式的通项，根据已知列式，求解即可．
【详解】二项式 展开式的通项为
，
∵ 展开式中含有常数项，
∴ 有解，
∴ ，
当 时， ．
故答案为：6（答案不唯一）．
题型二 利用二项展开式求有理项
例3．已知 的展开式前三项的二项式系数的和等于16.
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2) ， ，
【分析】（1）根据题意得到 ，结合组合数的计算公式，即可求解 的值；
（2）求得展开式的通项 ，结合题意确定 的值，即可求解.
【详解】（1）解：由 的展开式前三项的二项式系数的和等于 ，
可得 ，即 ，解得 或 （舍）
所以 的值为 .
（2）解：由（1）知，二项式 展开式的通项为 ， ，
当 时，可得 ，此时展开式得到的为有理项，
所以展开式中所有的有理项为 ， ， .
例4．在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
【答案】(1)证明见解析
(2) 和
【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出 ，再写出展开式的通式，令
的次数为 计算即可；
（2）求出使 的次数为整数的 ，然后代入展开式的通式计算即可.
【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得
解得 （舍去）或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的展开式的通式为
令 ，得
故展开式中没有常数项；
（2）令 ，则 ，
，
展开式中的有理项为 和
练习6． 的展开式中所有有理项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 的展开式的通项，要使 为有理项，需 ，又因为
的展开式的通项为 ，则两个二项式的展开式的系数相
等， 所以问题可以转化为求 的展开式的所有偶数项的系数之和，然后利用赋值法求解.
【详解】 的展开式的通项为 ，
要使 为有理项，需 ，
又因为 的展开式的通项为 ，
则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求 的展开式的所有偶数项的系数之和，
令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ①，
令 ，则 ②，
则①+②可得： ，
则 的展开式中所有有理项系数之和为 .
故选：C．
练习7．已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项
．
【答案】 （或 ，或 ，写出其中一个即可）
【分析】由二项式定理求解
【详解】由题意知展开式中共有9项，所以 ，
所以 的展开式的通项为 ， ， ．
若 为有理项，则 ，所以 ，4，8，
故展开式中所有的有理项为 ， ， ．
故答案为： （或 ，或 ，写出其中一个即可）
练习8．（多选）二项式 的展开式中的有理项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】先得到通项公式，当 或 或 时为有理项，求出答案.
【详解】 的通项公式 ，
当 或 或 时， 为有理项，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，D正确；
当 时， ，C正确；
当 时， ，A正确.
故选：ACD
练习9．（多选） 展开式的有理项为（ ）
A． B．80 C． D．
【答案】AD
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由 的次数为整数可求出 的值，从而可求出展开式中的
有理项.
【详解】展开式的通项 ，
由 ，∴ 或 ，
当 时， ，当 时， ．
故选：AD．
练习10．在 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 .
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)
(2)所有的有理项为 ， ， ，
【分析】（1）写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出n的值；
（2）令 的指数为整数，由此求出展开式的有理项．
【详解】（1）由题意知： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则第4项的系数为 ，倒数第4项的系数为 ，
则有 ，即 ；
（2）由（1）可得 ，
当 时，
所有的有理项为 ，
即 ，
.
题型三 两个多项式乘积的指定项
例5．已知 的所有项的系数和为3，则 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意令 中 即可求得 的值，进一步若要得到 ，由分类加法以及分
步乘法计数原理再结合组合数即可求解.
【详解】由题意令 中 即可得到 ，解得 ，
此时 变为了 ，若要得到 这一项分以下两种情形：
情形一：第一步若取 中的 ,则第二步只能取1个 中的 ，取3个 中的 ，
所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形一所对应的 的系数为
；
情形二：第一步若取 中的 ,则第二步能取2个 中的 ，取2个 中的 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形二所对应的 的系数为 .
因此由分类加法计数原理可知 的展开式中 的系数为 .
故选：D.
例6． 的展开式中 的系数是 .
【答案】
【分析】写出 的展开式的通项，然后对 分类求得答案．
【详解】 展开式的通项为 ， ，
①令 ，则 ；
②令 ，则 ；
综上可得：展开式中 项的系数为 ．
故答案为： ．
练习11． 展开式中 的系数是（ ）
A． B． C．24 D．9
【答案】A
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意， 展开式中含 的项为：
，
所以 的系数是 .
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习12．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数为 .
【答案】
【分析】令 ，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含 项的系数.
【详解】因为 的展开式中各项系数的和为 ，
所以令 ，得 ，解得 ，
所以 ，
因为 的二项展开通项公式为 ， ，
则展开式中含 的项为 ，
故该展开式中 的系数为 ，
故答案为： .
练习13． 的展开式常数项是 .（用数字作答）
【答案】7
【分析】根据乘法的运算法则，结合二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】 展开式第 项 ，
所以 展开式中常数项是： ，
所以 的展开式常数项是7.
故答案为：7
练习14．已知 的展开式中x的系数为2，则实数a的值为 ．
【答案】10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据多项式乘法，展开式中含有x的一次项为 ，求其系数即可.
【详解】 的展开式中含有x的一次项为 ，
其系数为 ，解得 .
故答案为：10.
练习15．若 的展开式中没有常数项，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由于 的展开式中没有常数项，
所以 的展开式中没有常数项，也没有含 的项，
二项式 展开式的通项公式为 ，
所以 且 ，所以 且 ，
即 被 除时，余数为 ，所以AD选项正确，BC选项错误.
故答案为：AD
题型四 三项展开式的指定项
例7． 展开式中含 项的系数为 ．
【答案】-160
【分析】变形为 ，写出通项公式，求出 ，得到答案.
【详解】 变形为 ，
故通项公式得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中 的通项公式为 ，
故通项公式为 ，其中 ， ，
令 ，解得 ，
故 .
故答案为：-160
例8． 的展开式中 的系数为 ．
【答案】92
【分析】由于 ，根据二项式定理分别求得 和 的展开式的通项，
从而分析可得 的系数.
【详解】 ，
又 展开式的通项 ，
展开式的通项 ，
所以含 的项为
则含 的系数为 .
故答案为： .
练习16． 展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】根据多项式乘积的性质即可求解．
【详解】由于 表示5个因式 的乘积，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故其中有2个因式取 ，2个因式取 ，剩余的一个因式取 ，可得含 的项，
故展开式中 的系数为 ，
故答案为： ．
练习17． 的展开式的常数项为 ．
【答案】30
【分析】根据多项式乘积的性质分别进行讨论求解即可．
【详解】每个括号内有 ， ， ，
若 的5项式乘积中先选 ，显然不会超过2项．
① ，显然 不可能出现 的项；
②再考虑 ， 展开式中，唯有取 会出现常数
项，为 ．
③而 ，不可能出现常数项．
故答案为：30．
练习18．在 的展开式中，形如 的所有项系数之和是 ．
【答案】320
【分析】由二项式定理求解三项展开式中的系数即可.
【详解】 展开式的通项为 ．
令 ，得 ．令 ，
得所求系数之和为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：320
练习19．已知 的展开式中各项系数和为1024，则 展开式中不含 的所有项系数和
等于 .
【答案】213
【分析】直接利用二项式的展开式和项的系数及赋值法的应用求出结果．
【详解】因为 的展开式中各项系数和为1024，
令 ，整理得 ，解得 ；
故 的展开式满足 ，
令 时， 的展开式满足 ，令 ，解得 ，
故含 的所有项系数为 ，
由于 的所有项的系数和满足当 ， 时，所有项的系数和为 ，
故不含 的所有项系数和等于 ．
故答案为：213．
练习20．已知常数 ， 的二项展开式中 项的系数是780，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】转化为 ，利用展开式的通项公式讨论计算即可.
【详解】 = ，设其通项为 ，
设 的通项为 ，
要求 项的系数，只有 为偶数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，此时 项的系数为 ，
当 ，不合题意，
故 项的系数为 .
故答案为：3
题型五 整除和余数问题
例9．若 ，且 （ ，且 ），则 （ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
【答案】D
【分析】根据题意，由二项式定理可得 ，然后结合条件可得 可以被17整除，即可得到结
果.
【详解】
，因为 能被17整除，所以 可
以被17整除，即 能被17整除，因为 且 ，所以 .
故选：D.
例10．若 ，则 被5除所得的余数为
．
【答案】1
【分析】取 ，可以求得 ，进而根据二项式定理展开，判断被5除得的余数.
【详解】由题知 时， ， ，
故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以被5除得的余数是
1.
故答案为：1
练习21． 除以1000的余数是 ．
【答案】24
【分析】由题意可得 ，展开，结合二项式定理即可得答案.
【详解】解：因为
，
所以 除以1000的余数是： .
故答案为：24
练习22． 除以 所得的余数是 .
【答案】22
【分析】由 ，利用二项式定理展开，注意有余数的项，即可得余数.
【详解】法一：由 ，前9项可以被 整除，
而 ，故余数为 .
法二：由 ，
而 ，故余数为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
练习23． 被4除的余数为 .
【答案】1
【分析】根据二项式定理，可得答案.
【详解】因为 ，且
2024可以被4整除，所以余数为1.
故答案为：1.
练习24．若 能被13整除，则m的最小正整数取值为 ．
【答案】12
【分析】由于 ，利用二项式定理展开可求得结果.
【详解】
因为 能被13整除，
所以 是13的倍数时， 能被13整除，
所以m的最小正整数取值为12，
故答案为：12
练习25． 被 除的余数是 .
【答案】
【分析】依题意可得原式 ，再根据二项式的展开式计算可得.
【详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
所以 被 除的余数是 .
故答案为：
题型六 二项式系数之和及系数之和
例11．已知 ， ，若 ，则该展开式各项的二项式系数和
为（ ）
A．81 B．64 C．27 D．32
【答案】D
【分析】根据二项式定理求出 ， ，根据 求出n的值，从而可求解.
【详解】 ， ，
∴ ，解得 ，
∴该展开式各项的二项式系数和为 .
故选：D
例12．在 的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为64，则 的系数为 .
【答案】135
【分析】根据各项系数和和二项式系数和的关系建立方程求出 的值，然后求出展开式的通项公式令 的
次数等于3进行求解即可．
【详解】令 ，得各项系数和为 ，二项式系数和为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，得 ，
展开式的通项公式为 ，
由 ，得 ，
则 ，
则 的系数为135，
故答案为：135．
练习26．已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
【答案】C
【分析】先根据“所有项的系数和”求得 ，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】令 ，则可得所有项的系数和为 且 ，解得 ，
∵ 的展开式中的通项 ，
∴当 时，展开式中的常数项为 .
故选：C
练习27．若 ，则 ．
【答案】64
【分析】赋值令 ，即可求解．
【详解】令 ，则 .
故答案为：64．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习28．（多选）已知 的展开式的各二项式系数的和为256，则（ ）
A． B．展开式中 的系数为
C．展开式中常数项为16 D．展开式中所有项的系数和为1
【答案】ABD
【分析】由二项式系数和求 ，利用展开式的通项求 的系数和常数项，令 求展开式中所有项的系
数和.
【详解】由二项式系数之和为 ，可得 ，A选项正确；
展开式的通项为 ，
时， ，展开式中 的系数为 ，B选项正确；
时， ，展开式中常数项为 ，C选项错误；
中，令 ，得展开式中所有项的系数和为 ，D选项正确.
故选：ABD
练习29．（多选）在 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中含 项的系数为 D．展开式中二项式系数的最大项为第四项
【答案】AC
【分析】选项A：利用二项式系数和的性质即可求解；选项B：令x＝1即可求解；选项C：根据二项式定
理即可求解；选项D：根据n＝8以及二项式系数的性质即可求解．
【详解】选项A：展开式中所有奇数项的二项式系数和 ，故A正确；
选项B：令 ，则展开式中所有项的系数和为 ，故B错误；
选项C：展开式的通项为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则展开式中含 的系数为 ，故C正确；
选项D：因为n＝8，所以展开式中二项式系数的最大项为第5项，故D错误.
故选：AC．
练习30． 的展开式中，各项的二项式系数和是 ，各项系数和是 ．
【答案】 1
【分析】用二项式系数和公式可求二项式系数之和；用赋值法，令变量为1，可求得系数之和.
【详解】 中,二项式系数之和为 ,
中，令 ，可得各项系数之和为 .
故答案为：1024；1.
题型七 奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和
例13．若 ，则 .（用数字作
答）
【答案】
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相加得： ，则 .
故答案： .
例14．若 ，请分别求出下列的值
(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
(3)
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）令 ，即可求出答案；
（2）把求和问题转化为二项式 的展开式的各个项的系数和，令 即可求解；
（3）利用导数及赋值法即可得解.
【详解】（1）由 ，
令 得 ，所以 .
（2）因为 的和为二项式 的展开式的各个项的系数和，
令 则 ；
（3）令 ，
则 ，且 ，
令 ，则 ，且 ，
所以 .
练习31．（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据二项式定理以及赋值法相关知识直接计算求解即可.
【详解】对于A，令 ，得到 ，故A正确；
对于B， 的通项公式为 ，
令 ，得到 ，
令 ，得到 ，
所以 ，故B错误；
对于C，令 ，得到 ，故C正确；
对于D，令 ，则 ，又因为 ，
两式相减得 ，则 ，故D正确.
故选：ACD
练习32．（多选）若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】令 ，可判定A正确；求得展开式的通项 ，令 ，可判定B错误；由
，令 ，可判定C正确；两边求导数得到
，令 ，进而可判定以D错误.
【详解】由 ，
对于A中，令 ，可得 ，所以A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B中，由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以B错误；
对于C中，由展开式的通项 知：
当 时，可得展开式的系数为正值，当 时，可得展开式的系数为负值；
所以 ，
令 ，可得 ，
即 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
两边求导数，可得 ，
令 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以D错误.
故选：AC.
练习33．（多选）设 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由二项式展开式通项求得 判断A；赋值法令 、 且 求部分项系数和判断B、
C；确定各项系数正负，去绝对值符号求 判断D.
【详解】由题设，二项式展开式通项为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， 时 ， 时 ，
故 ，A对；
又 ，即 ，
令 ，即 ，则 ①，B错；
令 ，即 ，则 ②，
由① ②得： ，则 ，C对；
由 知：展开式奇数项系数为负，偶数项系数为正，
所以 ，
而 ，故 ，即 ，D对.
故选：ACD
练习34．若 ，则
.
【答案】
【分析】利用赋值法令 、 分别求出 、 ，再
解得即可.
【详解】因为 ，
令 可得 ，
令 可得 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
练习35．设 ．求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由 求出 的值， 求出 的值，即可求出
的值；
（2）由 求出 的值，由 求出 的值，两式相减即可
求出 的值；
（3）根据展开式的通项公式知，结合展开式的各项系数，即可求出 的值．
【详解】（1）由 ，
令 ，得 ，则 ；
令 ，得 ，
则 ，
所以 ；
（2）令 ，得 ①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，得 ②，
① ②得， ，
所以 ；
（3）根据展开式的通项公式知 ， ， 为负， ， 为正；
令 ，
所以 ．
题型八 二项式系数的最值及系数的最值
例15． 的展开式中二项式系数最大的为 ，则 不可能为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.
【详解】根据二项式系数的对称关系，
当 时，所有二项式系数中， 最大；
当 时，所有二项式系数中， ，且 均为最大；
当 时，所有二项式系数中， 最大；
当 时，所有二项式系数中， ，且 均为最大；
故选:A.
例16．在 的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项．
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2) 、
【分析】（1）由二项式判断二项式系数最大的项，利用展开式通项公式求对应项；
（2）利用不等式法求出系数绝对值最大的项，利用展开式通项公式求系数绝对值最大的项；
【详解】（1）由题设，二项式展开式共有 项，故第5项二项式系数最大，
又展开式通项为 ， ，
则 .
（2）系数绝对值最大，只需 ，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得 ，故 或3时系数绝对值最大，即对应展开式中的第3和4项，
则 ， .
练习36．（多选）关于 的说法正确的是（ ）．
A．展开式中二项式系数之和为1024 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中只有第6项的系数最小 D．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大
【答案】ABC
【分析】由二项式直接求二项式系数之和及二项式系数最大的项，利用展开式通项分析并求出最小项，即
可判断各项的正误.
【详解】A：展开式中二项式系数之和为 ，正确；
由题设，展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，B对，D错；
C：由 且 ，显然奇数项系数为正，偶数项系数为负，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，第6项系数最小为 ，正确.
故选：ABC
练习37．（多选）已知 为满足 能被9整除的正整数 的最小值，
则 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第7项系数最小 B．第6项二项式系数最大
C．第7项二项式系数最大 D．第6项系数最小
【答案】BD
【分析】由已知可得 ，则可得 ，可求得 ，然后利用二项式的
性质可得结论.
【详解】因为
因为 ，所以S能被9整除的正整数a的最小值是 ，得 ，
所以 ，所以 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，
的展开式的通项公式为 ，
因为第6项的系数为负数，所以第6项系数最小，
故选：BD．
练习38．已知 展开式前三项的二项式系数和为 .
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知 求参数n，进而求二项式系数和.
（2）利用二项式通项公式求常数项；
（3）根据项数直接写出二项式系数最大的项.
【详解】（1）由题意， 展开式前三项的二项式系数和为 .
二项式定理展开前三项二项式系数和为： ，
解得： 或 （舍去），即 的值为 ，
故有展开式中，各项二项式系数之和为 .
（2）由通项公式 ， ，
令 ，可得： .
展开式中的常数项为 ；
（3） 是偶数，展开式共有 项，则第四项最大，
展开式中二项式系数最大的项为 .
练习39．在 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 .
(1)求 的值；
(2)若展开式中的常数项为 ，试求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为 ，可得出关于 的方程，结合 可求得 的值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求出 的通项为 根据展开式中的常数项为 解得 ，
再列不等式组求解即可.
【详解】（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为
，
整理可得 ，因为 ，解得 .
（2）解： 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，
所以，展开式中的常数项为 ，解得 ，
由不等式组 ，解得 .
因为 ，所以， ，
因此，展开式中系数最大的项为 .
练习40．已知二项式 ．
(1)求展开式中的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1) ， ， ， ， ， ， ， ， .
(2) ，
【分析】（1）写出二项展开式的通项，由 的指数为有理数求得 的值，即可得答案；
（2）直接由（1）中求得的项得结论．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1） 的展开式的通项为 ， ，
展开式中的每一项都是有理项，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ，
.
（2）由（1）可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为 ， ．
题型九 二项式与导数的交汇
例17．若 ，且 ，则 =（ ）
A．650 B．405 C．810 D．1620
【答案】C
【分析】令 结合 可求出 ，然后对 两边求导，再令
可求得结果
【详解】令 ，则 ，
解得 ，
所以 ，
所以
，
令 ，则 ，
故选：C
例18．（多选）已知 ，若 ，
则有（ ）
A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】令 ，已知式变为 ，可求得 ，然后二项式变形为
，并令 二项式化为 ，可求得 ，二项式两边都对
求导后令 可求得 ，从而判断各选项．
【详解】令 ，则 ，已知式变为 ，
解得 ，
， ，
，
，
令 ，则有 ，
两边对 求导得 ，
再令 得 ，
所以 ，
故选：BCD．
练习41．设 ，则 的值是（ ）
A．1008 B．1009 C．2016 D．2017
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【分析】利用导数可求代数式的值.
【详解】解法一 根据题意， ，
两边求导，可得 ．
令 ，可得 ．
解法二 在题中等式中令 ，可得 ，
对题中等式两边求导，可得 ，
令 ，可得 ，
于是 ．
故选：B.
练习42．已知 ，其中 ，则
A．182 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，令 ，得： ，根据导数的运算公式，得
，令 和 ，即可求出答案.
【详解】解：根据题意， ，
令 ，得： ，
由于
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
，
令 ，解得 ，
而 ，令 ，得 .
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力.
练习43．（多选）已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用赋值法可求ACD选项中系数的和，对恒等式两边求导后再结合赋值法可求B中系数的和，
故可判断B的正误.
【详解】对于A，令 ，则 ，故A正确.
对于B，由 可得：
，
令 ，则有 ，故B错误.
展开式的通项公式为 ，
当项的次数 为奇数时， 为偶数，故项的系数为正；
当项的次数 为偶数时， 为奇数，故项的系数为负.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 展开式中各项的系数的正负为： ，
令 ，则 ，
所以 ，
故C正确.
对于D，令 ，则 ，
故 ，故D错误.
故选：AC.
练习44．若 ，若 （ ），则
.
【答案】
【分析】对给定等式两边求导数，再借助赋值法即可得解.
【详解】由 求导
得 ，
取 得 ，解得 .
故答案为：
练习45．已知 ，且 .
(1)求 的值
(2)求展开式中 的奇次项系数之和
(3)求 的值
【答案】(1)
(2)63
(3)321
【分析】（1）令 得 ，计算 ， ，代入计算得到答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）取 ， 得到两式，相减得到答案.
（3）令 ，求导取 ，计算即可.
【详解】（1）令 得 ，
令 得： ，因为 中 项为 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
（2）取 得 ，
取 得
两式相减得 ，所以 ；
（3）令 ，
，
令 得
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