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专题 10.4 二项式定理
题型一 利用二项展开式求指定项
题型二 利用二项展开式求有理项
题型三 两个多项式乘积的指定项
题型四 三项展开式的指定项
题型五 整除和余数问题
题型六 二项式系数之和及系数之和
题型七 奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和
题型八 二项式系数的最值及系数的最值
题型九 二项式与导数的交汇
题型一 利用二项展开式求指定项
例1．二项式 展开式中的含 项的系数为_____．
例2．已知多项式 ，则 _____.
练习1．已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 项的系数为
（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
练习2． 的展开式中 的系数为 ，则实数 的值为_____．
练习3．已知多项式 ，则 _____.练习4．若 ，则 _____.
练习5．已知二项式 展开式中含有常数项，则满足条件的一个n的值为_____．
题型二 利用二项展开式求有理项
例3．已知 的展开式前三项的二项式系数的和等于16.
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
例4．在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
练习6． 的展开式中所有有理项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
练习7．已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项_____．
练习8．（多选）二项式 的展开式中的有理项为（ ）A． B． C． D．
练习9．（多选） 展开式的有理项为（ ）
A． B．80 C． D．
练习10．在 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 .
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
题型三 两个多项式乘积的指定项
例5．已知 的所有项的系数和为3，则 的系数为（ ）
A． B． C． D．
例6． 的展开式中 的系数是_____.
练习11． 展开式中 的系数是（ ）
A． B． C．24 D．9
练习12．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数为_____.练习13． 的展开式常数项是_____.（用数字作答）
练习14．已知 的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_____．
练习15．若 的展开式中没有常数项，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
题型四 三项展开式的指定项
例7． 展开式中含 项的系数为_____．
例8． 的展开式中 的系数为_____．
练习16． 展开式中 的系数为_____（用数字作答）．
练习17． 的展开式的常数项为_____．
练习18．在 的展开式中，形如 的所有项系数之和是_____．
练习19．已知 的展开式中各项系数和为1024，则 展开式中不含 的所有项系数和
等于_____.练习20．已知常数 ， 的二项展开式中 项的系数是780，则m的值为_____．
题型五 整除和余数问题
例9．若 ，且 （ ，且 ），则 （ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
例10．若 ，则 被5除所得的余数为_____．
练习21． 除以1000的余数是_____．
练习22． 除以 所得的余数是_____.
练习23． 被4除的余数为_____.
练习24．若 能被13整除，则m的最小正整数取值为_____．
练习25． 被 除的余数是_____.
题型六 二项式系数之和及系数之和
例11．已知 ， ，若 ，则该展开式各项的二项式系数和
为（ ）
A．81 B．64 C．27 D．32例12．在 的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为64，则 的系数为_____.
练习26．已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
练习27．若 ，则 _____．
练习28．（多选）已知 的展开式的各二项式系数的和为256，则（ ）
A． B．展开式中 的系数为
C．展开式中常数项为16 D．展开式中所有项的系数和为1
练习29．（多选）在 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中含 项的系数为 D．展开式中二项式系数的最大项为第四项
练习30． 的展开式中，各项的二项式系数和是_____，各项系数和是_____．
题型七 奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和
例13．若 ，则 _____.（用数字作答）例14．若 ，请分别求出下列的值
(1)
(2)
(3)
练习31．（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
练习32．（多选）若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
练习33．（多选）设 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
练习34．若 ，则
_____.练习35．设 ．求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 的值．
题型八 二项式系数的最值及系数的最值
例15． 的展开式中二项式系数最大的为 ，则 不可能为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
例16．在 的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项．
练习36．（多选）关于 的说法正确的是（ ）．
A．展开式中二项式系数之和为1024 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中只有第6项的系数最小 D．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大
练习37．（多选）已知 为满足 能被9整除的正整数 的最小值，
则 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第7项系数最小 B．第6项二项式系数最大C．第7项二项式系数最大 D．第6项系数最小
练习38．已知 展开式前三项的二项式系数和为 .
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
练习39．在 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 .
(1)求 的值；
(2)若展开式中的常数项为 ，试求展开式中系数最大的项.
练习40．已知二项式 ．
(1)求展开式中的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
题型九 二项式与导数的交汇
例17．若 ，且 ，则 =（ ）
A．650 B．405 C．810 D．1620
例18．（多选）已知 ，若 ，
则有（ ）
A．
B．
C．D．
练习41．设 ，则 的值是（ ）
A．1008 B．1009 C．2016 D．2017
练习42．已知 ，其中 ，则
A．182 B． C． D．
练习43．（多选）已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
练习44．若 ，若 （ ），则
_____.
练习45．已知 ，且 .
(1)求 的值
(2)求展开式中 的奇次项系数之和
(3)求 的值
