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10.3 二项式定理及其应用
思维导图
知识点总结
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________________________ (n∈N*)；
(2)通项：T ＝__________，它表示第________________项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.这一性质可直接由C＝C得到．
直线r＝将函数ƒ(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值
因为C＝
＝C，即＝，所以，当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当 k>时，C随k的增
加而减小．当 n 是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项
__________与_____相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝ _____；
(2)C＋C＋C＋…＝_____；
(3)C＋C＋C＋…＝_____.
1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注
意顺序问题．
2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．
3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
典型例题分析
考向一
求展开式中的特定项或特定项系数
【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则
n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．【变式】(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数
的项的个数是________.
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式得所求．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合
组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考向二
二项展开式中系数的和
【例2】 若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(
)
A．－1 B．1
C．27 D．－27赋值法的应用
(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝
1.
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.
(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n
0 1 2 n
的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋
bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋…＋a x2022(x∈R)，则( )
0 1 2 3 2022
A．a ＝1
0
B．a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
1 3 5 2021
C．a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
0 2 4 2022
D.＋＋＋…＋＝－1
考向三
二项式系数的最值问题
【例3】二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 x的指数为整数
的项的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．7求二项式系数最大的项
(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大．
【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的
二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
考向四 项的系数的最值问题
【例4】 (1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( )
A. B．
C. D．
【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数
和为________.求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系
数分别为A ，A ，…，A ，且第k项系数最大，应用从而解出k来．
1 2 n＋1
【变式 2】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大
992，则在 2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为
________.
考向五 二项式定理的应用
【例5】设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
【变式】0.9910的第一位小数为n ，第二位小数为n ，第三位小数为n ，则n ，n ，n 分
1 2 3 1 2 3别为( )
A．9,0,4 B．9,4,0
C．9,2,0 D．9,0,2
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含
有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【变式】 9.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1
C．－87 D．87
基础题型训练
一、单选题
1．设 ， 是常数，则 的
值是（ ）A． B． C． D．0
2． 的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3． 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A． B．28 C．29 D．
4． 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A． B． C． D．
5．如果 ，那么 的值等于
A．－1 B．－2 C．0 D．2
6．若 展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
7． 展开式中二项式系数最大的是 ，则 可以是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．已知二项式 展开式的第5项为15，则（ ）
A．
B．
C． 展开式的系数的最大值为20D． 展开式的各项系数之和为64
三、填空题
9．二项展开式 ，则 ； ．
10．在 展开式中，含有 项的系数为 ．
11．已知 的展开式中含 项的系数为6，则实数 的值为 .
12．已知 的展开式中含 项的系数为 ，则 .
四、解答题
13．已知 的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1) 求 的值.
(2) 这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
14．已知 展开式中第4项与第2项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3项．
15．在 的展开式中
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项?
16．已知二项式 的展开式中，前三项系数成等差数列.
（1）求正整数 的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项.提升题型训练
一、单选题
1．已知 展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则 项系数为（ ）
A．10 B．32 C．40 D．80
2．已知 的展开式中常数项系数为4，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．在 的二项展开式中，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4． 的展开式中，含 项的系数为
A． B． C． D．18
5． 的展开式中 的系数为（ ）
A．448 B． C．672 D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题7．已知 ， ， 成递增等比数列，则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为
B．各项系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第 项
D．展开式中第 项为常数项
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9． 展开式中 的系数为 ，则 = .
10．二项式 的展开式中的常数项为 .
11．若 对任意 恒成立，则 .
12．若 ，则 ＝ ．
四、解答题
13．已知二项式 的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．
(1)求n的值：
(2)求展开式中的常数项．
14．设 ，求下列各式的值：
(1) ；(2) ；
(3) .
15．（1）求 的二项展开式；
（2）求 的二项展开式中的常数项；
（3）求 的二项展开式中 的系数；
（4）在 的二项展开式中，如果第 项和第 项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r项．
16．已知 展开式中的 项按 的升幂排列依次为 、 、 、 、 、 .
（1）若 ，求 的值；
（2）记 ，求和 .
