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10.3 二项式定理及其应用
思维导图
知识点总结
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)；
(2)通项：T ＝ C a n － k b k，它表示第 k ＋ 1 项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由C＝C得到．
直线r＝将函数ƒ(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值
因为C＝
＝C，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即＝，所以，当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当 k>时，C随k的增
加而减小．当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项
与 相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n ；
(2)C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 ；
(3)C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 .
1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注
意顺序问题．
2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．
3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
典型例题分析
考向一
求展开式中的特定项或特定项系数
【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则
n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 依题意，得n的二项展开式的通项为T ＝C()n－kk＝· ，k∈N，k≤n，于是
k＋1
有C＋C＝2×C，即1＋＝n，整理得n2－9n＋8＝0，而n≥2，解得n＝8，所以n的值为8.故
选B.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数
的项的个数是________.
答案 16 5
解析 二项展开式的通项为T ＝C()9－kxk，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T ＝
k＋1 1
C()9x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－k为偶数，可得k＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的
项的个数是5.
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式得所求．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合
组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考向二
二项展开式中系数的和
【例2】 若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(
)
A．－1 B．1
C．27 D．－27
答案 A
解析 由题意，得C＋C＋…＋C＝2n＝8，即n＝3，所以3的展开式的系数之和为(1－2)3
＝－1.故选A.
赋值法的应用
(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝
1.
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.
(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n
0 1 2 n
的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋
bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋…＋a x2022(x∈R)，则( )
0 1 2 3 2022
A．a ＝1
0
B．a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
1 3 5 2021
C．a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
0 2 4 2022
D.＋＋＋…＋＝－1
答案 ACD
解析 由题意知，当x＝0时，a ＝12022＝1，当x＝1时，a ＋a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(－
0 0 1 2 3 2022
1)2022＝1，当 x＝－1时，a －a ＋a －a ＋…－a ＋a ＝32022，所以 a ＋a ＋a ＋…＋a
0 1 2 3 2021 2022 1 3 5 2021
＝，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝，＋＋…＋＝a ×＋a ×2＋…＋a ×2022，当x＝时，0＝a ＋a ×
0 2 4 2022 1 2 2022 0 1
＋a ×2＋…＋a ×2022，所以a ×＋a ×2＋…＋a ×2022＝－a ＝－1.故选ACD.
2 2022 1 2 2022 0
考向三
二项式系数的最值问题
【例3】二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 x的指数为整数
的项的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．7
答案 D
解析 根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴20的展开式的通项
为 T ＝C(x)20－k·k＝ ，要使 x 的指数是整数，需 k 是 3 的倍数，∴k＝
k＋1
0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7个．故选D.
求二项式系数最大的项
(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大．
【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的
二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．5 B．6
C．7 D．8
答案 B
解析 由题意，得a＝C，b＝C，
则13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6.经检验m＝6为原方程的解．故选B.
考向四 项的系数的最值问题
【例4】 (1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( )
A. B．
C. D．
答案 A
解析 ∵∴即<x<.故选A.
【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数
和为________.
答案 64
解析 由题意可知
∴∴5<n<7.又n∈N*，∴n＝6.令x＝1，得(1＋x)6的系数和为26＝64.
求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系
数分别为A ，A ，…，A ，且第k项系数最大，应用从而解出k来．
1 2 n＋1
【变式 2】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大
992，则在 2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为
________.
答案 －8064 －15360x4
解析 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式
系数的性质知，10的展开式中第 6 项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为 T ＝
6
C(2x)5·5＝－8064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则 T ＝C·(2x)10－k·k＝(－1)kC·210－k·x10－
k＋1
2k，
令得
即解得≤k≤，因为k∈Z，所以k＝3.故系数的绝对值最大的项是第 4项，T ＝－C·27·x4＝
4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】－15360x4.故二项式系数最大的项为－8064，系数的绝对值最大的项为－15360x4.
考向五 二项式定理的应用
【例5】设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
答案 D
解析 由于51＝52－1，(52－1)2022＝C·522022－C522021＋…－C521＋1，又13能整除52，所
以只需13能整除1＋a，又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.
【变式】0.9910的第一位小数为n ，第二位小数为n ，第三位小数为n ，则n ，n ，n 分
1 2 3 1 2 3
别为( )
A．9,0,4 B．9,4,0
C．9,2,0 D．9,0,2
答案 A
解析 0.9910＝(1－0.01)10＝C×110×(－0.01)0＋C×19×(－0.01)1＋C×18×(－0.01)2＋…＝1－
0.1＋0.0045＋…≈0.9045.故选A.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含
有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【变式】 9.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1
C．－87 D．87
答案 B
解析 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝
8810＋C×889＋…＋C×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题型训练
一、单选题
1．设 ， 是常数，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】利用赋值法求解，先令 ，求出 的值，再令 求出 ，从而可求出
的值
【详解】解：令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 .
故选：A.
2． 的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】根据二项式系数的定义求解即可.
【详解】因为 的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，
所以 ，解得 .
故选：B.
3． 的展开式中，含 项的系数是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．28 C．29 D．
【答案】D
【分析】含 的项由一个括号里的常数项与其它四个括号里的一次项相乘组成，组合即可
【详解】由题，含 的项由一个括号里的常数项与其它四个括号里的一次项相乘组成，即
，故含 项的系数是：
，
故选：D
4． 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用二项式定理求得 中 项的系数，进而可求得 的
展开式中含 项的系数.
【详解】当 且 ， 的展开式通项为 ，
所以， 的展开式中含 的系数为 ，
的展开式中，含 项的系数是 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.
5．如果 ，那么 的值等于
A．－1 B．－2 C．0 D．2
【答案】A
【详解】试题分析：令 ，代入二项式 ，得
，令 ，代入二项式 ，得
，所以 ，即 ，故选A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点：二项式定理的应用．
6．若 展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据二项展开式的公式，求得 的指数为0时满足的关系式，再结合整数的性质分析即可
【详解】易得 的通项 ，又展开式中存在常数项则
有解，即 ，故正整数n的最小值是5，此时
故选：A
二、多选题
7． 展开式中二项式系数最大的是 ，则 可以是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】BCD
【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.
【详解】根据二项式系数的对称关系，
当 时，所有二项式系数中， ，且 均为最大；
当 时，所有二项式系数中， 最大；
当 时，所有二项式系数中， ，且 均为最大；
故选:BCD.
8．已知二项式 展开式的第5项为15，则（ ）
A．
B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． 展开式的系数的最大值为20
D． 展开式的各项系数之和为64
【答案】BCD
【分析】由二项式 展开式的第5项为15，可得 ，再代入逐一验证即可.
【详解】解： ，
由题可得 ，
解得 ，
所以 错误；
， 正确；
展开式系数的最大值为 ，C正确；
令 ，则 ，
即 展开式的各项系数之和为64，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．二项展开式 ，则 ； ．
【答案】 80 130
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
【详解】解： ，
则 ．
．
故答案为：80；130．
10．在 展开式中，含有 项的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项展开式可求得展开式中含有 项的系数.
【详解】因为 的展开式通项为 ，
由题意可知，在 展开式中，含有 项的系数为 .
故答案为： .
11．已知 的展开式中含 项的系数为6，则实数 的值为 .
【答案】2
【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令 的指数为 ，求出 ，再代入得到方程，解得即可；
【详解】解：由题意可知， 的展开式通项为 ，令 ，解得 ，
所以展开式中含 项的系数为 ，解得 .
故答案为：
12．已知 的展开式中含 项的系数为 ，则 .
【答案】 /
【分析】求出 的展开式通项，然后利用含 项的系数为 列方程求解.
【详解】 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，
，解得 .
故答案为： .
四、解答题
13．已知 的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1) 求 的值.
(2) 这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
【答案】(1)9 (2)常数项为
【详解】试题分析：
，于是第7项是常数项,
常数项为 .
考点：二项式定理
点评：二项式系数依次为 ，求展开式中的某一项首先是求出通项 常数项即x
的次数为0的项
14．已知 展开式中第4项与第2项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3项．
【答案】 .
【分析】根据二项展开式得到展开式的通项结合条件可得 ，即可求解展开式中倒数第 项.
【详解】因为二项展开式的通项 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
解得： 或 (舍去)
所以倒数第3项为 .
15．在 的展开式中
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项?
【答案】（1） ；（2）第6项和第7项.
【分析】（1）利用通项公式求出中间项即得二项式系数最大的项.
（2）设第 项系数的绝对值最大，则由不等式组 可求 的值.
【详解】展开式的通项公式为
（1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
故 .
(2) 设第 项系数的绝对值最大，
则 ，即 ，
整理得 ，于是 或 .
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
16．已知二项式 的展开式中，前三项系数成等差数列.
（1）求正整数 的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）8；（2） ；（3） 和 .
【分析】（1）首先写出展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列得到方程，解得即可；
（2）由（1）可知第5项的二项式系数最大，再将 代入通项即可；
（3）依题意得到不等式组 ，求出 的取值范围，再代入通项计算可得；
【详解】解：（1）二项式 展开式的通项为 ，
由于展开式系数的前三项成等差数列，则 ，
即 ，整理得 ，解得 或
∵ ，解得 ；
（2）第 项的二项式系数为 ，因此，第5项的二项式系数最大，
此时， ；所以 ；
（3）由 ，得 ，
整理得 ，解得 ，
所以当 或3时项的系数最大.
因此，展开式中系数最大的项为 和 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．已知 展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则 项系数为（ ）
A．10 B．32 C．40 D．80
【答案】D
【分析】根据二项式定理通项公式 可得常数项，然后二项式系数和，可得 ，最后依据
，可得结果.
【详解】由题可知：
当 时，常数项为
又 展开式的二项式系数和为
由
所以
当 时，
所以 项系数为
故选：D
【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.
2．已知 的展开式中常数项系数为4，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】将原式变形为 ，再写出 的通项，即可得到展开式中常数项，从而
求出参数的值；
【详解】解：
其中 展开式的通项为
所以 展开式中常数项为 ，解得 ．
故选：D
3．在 的二项展开式中，二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含 项的系数，进而可
求出结果.
【详解】因为 的二项展开式的通项为： ，
因此二项式系数的最大值为： ，
令 得 ，
所以，含 项的系数为 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题
型.
4． 的展开式中，含 项的系数为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．18
【答案】A
【详解】分析：化简 ，求出 展开式中
的系数分别为 ，从而可得结果.
详解：因为
，
展开式的通为 ，
令 ，可得
展开式中 的系数分别为 ，
所以含 项的系数为 ，故选A.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热
点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项
公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式
系数和；（3）二项展开式定理的应用.
5． 的展开式中 的系数为（ ）
A．448 B． C．672 D．
【答案】B
【分析】求出展开式的通项公式，利用x的次数为5进行求解即可．
【详解】展开式的通项公式 ，
由 得 ，
所以展开式中 的系数为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B．
【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单
题目.
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别令 和 ，所得两个式子相加可求得 ；令 可得 ，代入即可得到
结果.
【详解】令 ，则 ；
令 ，则 ；
两式相加可得： ，即 ；
令 ，则 ， .
故选：D.
二、多选题
7．已知 ， ， 成递增等比数列，则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为
B．各项系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第 项
D．展开式中第 项为常数项
【答案】ACD
【分析】先根据等比数列求出 的值，再令 可求二项式系数和，令 可求系数和，根据展开
式的总项数可得二项式系数最大项，根据展开式的通项公式求第5项．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由 ， ， 成递增等比数列可得 ，则 ，
则 的二项式系数之和为 ，A正确；
令 ， ，则 的各项系数之和为 ，B错误；
的展开式共有 项，则二项式系数最大的项是第 项，C正确；
的展开式中展开式中第 项 为常数项，D正确，
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法判断A、B、C，利用展开式的通项，即可判断D.
【详解】由 ，
令 得 ，A选项正确.
令 得 ，所以 ，B选项错误.
二项式 展开式的通项公式为 （ 且 ），
由此可知 是负数， 为正数，
所以令 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即 ，C选项错误；
令 ，可得 ，所以 ，故D正确；
故选：AD
三、填空题
9． 展开式中 的系数为 ，则 = .
【答案】6
【解析】由二项式定理求解即可.
【详解】展开式中 的系数为 ，解得 .
故答案为：
10．二项式 的展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】展开式的通项为 ，由 得出 ，代入即可得出答案.
【详解】二项式 的展开式的通项为 .
由 ，可得 ，
所以，常数项为 .
故答案为： .
11．若 对任意 恒成立，则 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】将等式左侧变型为 ，根据二项式定理可整理得到展开式通项，代入
即可求得结果.
【详解】 ，
展开式通项为： ；
展开式通项为： ；
为 的系数，令 ，
.
故答案为： .
12．若 ，则 ＝ ．
【答案】1023
【解析】赋值法 令 得： ；
令 得： ,再两式相减可得.
【详解】解：∵ ，
令 得： ；①
令 得： ； ②
由①②可得： ；
故答案为： ．
【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如 ， ( )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
即可．
(2)对形如 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即可．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若 ，则 展开式中各项系数之和为 ．
四、解答题
13．已知二项式 的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．
(1)求n的值：
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1)
(2)672
【分析】（1）根据二项式系数和求得 .
（2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】（1）因为 的展开式中所有项的二项式系数之和为512，
所以 ，解得 ．
（2）由通项公式 ，
令 ，可得 ，
所以展开式中的常数项为 ．
14．设 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令 即可求解；
（2）令 求出 ，再令 求出 ，再联立方程组进行求
解即可；
（3）利用平方差公式，结合（2）中结果进行求解即可.
【详解】（1）在 中，
令 ，得 ．
（2）令 ，得 ，
令 ，得 ②，
两式相减，得 ．
（3）
．
15．（1）求 的二项展开式；
（2）求 的二项展开式中的常数项；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）求 的二项展开式中 的系数；
（4）在 的二项展开式中，如果第 项和第 项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r项．
【答案】（1）答案见解析；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据二项展开式计算即可；
（2）求出展开式的通项，令 的指数等于零，即可得解；
（3）求出展开式的通项，令 的指数等于 ，即可得解；
（2）求出展开式的通项，再根据题意求出 ，即可得解.
【详解】（1）
；
（2） 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以 的二项展开式中的常数项为 ；
（3） 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以 的二项展开式中 的系数为 ；
（4） 展开式的通项为 ，
因为第 项和第 项的系数的绝对值相等，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即 ，
若 ，解得 ，不符题意，舍去，
若 ，解得 ，
综上 ，
所以此展开式的第4r项为 .
16．已知 展开式中的 项按 的升幂排列依次为 、 、 、 、 、 .
（1）若 ，求 的值；
（2）记 ，求和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，列出关于 的方程，求解即可；
（2）先求出 的表达式，然后结合二项式展开式定理的逆用即可求出结果.
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ，解得 ；
（2）由题意得 ，
所以 ，
所以
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