文档内容
10.3 二项式定理及其应用
思维导图
知识点总结
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)；
(2)通项：T ＝ C a n － k b k，它表示第 k ＋ 1 项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由C＝C得到．
直线r＝将函数ƒ(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值
因为C＝
＝C，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即＝，所以，当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当 k>时，C随k的增
加而减小．当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项
与 相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n ；
(2)C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 ；
(3)C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 .
1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注
意顺序问题．
2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．
3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
典型例题分析
考向一
求展开式中的特定项或特定项系数
【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则
n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 依题意，得n的二项展开式的通项为T ＝C()n－kk＝· ，k∈N，k≤n，于是
k＋1
有C＋C＝2×C，即1＋＝n，整理得n2－9n＋8＝0，而n≥2，解得n＝8，所以n的值为8.故
选B.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数
的项的个数是________.
答案 16 5
解析 二项展开式的通项为T ＝C()9－kxk，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T ＝
k＋1 1
C()9x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－k为偶数，可得k＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的
项的个数是5.
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式得所求．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合
组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考向二
二项展开式中系数的和
【例2】 若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(
)
A．－1 B．1
C．27 D．－27
答案 A
解析 由题意，得C＋C＋…＋C＝2n＝8，即n＝3，所以3的展开式的系数之和为(1－2)3
＝－1.故选A.
赋值法的应用
(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝
1.
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.
(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n
0 1 2 n
的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋
bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a ＋a x＋a x2＋a x3＋…＋a x2022(x∈R)，则( )
0 1 2 3 2022
A．a ＝1
0
B．a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
1 3 5 2021
C．a ＋a ＋a ＋…＋a ＝
0 2 4 2022
D.＋＋＋…＋＝－1
答案 ACD
解析 由题意知，当x＝0时，a ＝12022＝1，当x＝1时，a ＋a ＋a ＋a ＋…＋a ＝(－
0 0 1 2 3 2022
1)2022＝1，当 x＝－1时，a －a ＋a －a ＋…－a ＋a ＝32022，所以 a ＋a ＋a ＋…＋a
0 1 2 3 2021 2022 1 3 5 2021
＝，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝，＋＋…＋＝a ×＋a ×2＋…＋a ×2022，当x＝时，0＝a ＋a ×
0 2 4 2022 1 2 2022 0 1
＋a ×2＋…＋a ×2022，所以a ×＋a ×2＋…＋a ×2022＝－a ＝－1.故选ACD.
2 2022 1 2 2022 0
考向三
二项式系数的最值问题
【例3】二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 x的指数为整数
的项的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．7
答案 D
解析 根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴20的展开式的通项
为 T ＝C(x)20－k·k＝ ，要使 x 的指数是整数，需 k 是 3 的倍数，∴k＝
k＋1
0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7个．故选D.
求二项式系数最大的项
(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大．
【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的
二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．5 B．6
C．7 D．8
答案 B
解析 由题意，得a＝C，b＝C，
则13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6.经检验m＝6为原方程的解．故选B.
考向四 项的系数的最值问题
【例4】 (1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( )
A. B．
C. D．
答案 A
解析 ∵∴即
