文档内容
2025年重庆市中考数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）（2025•重庆）6的相反数是（ ）
1 1
A．﹣6 B． C．6 D．-
6 6
2．（4分）（2025•重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2025•重庆）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况
D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
4．（4分）（2025•重庆）如图，点A，B，C在 O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．（4分）（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个
圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点
的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
12
6．（4分）（2025•重庆）反比例函数y=- 的图象一定经过的点是（ ）
x
A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2）
第1页（共40页）7．（4分）（2025•重庆）下列四个数中，最大的是（ ）
A．6.18×108 B．6.28×108 C．6.18×109 D．6.28×109
8．（4分）（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年
接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10% B．20% C．22% D．44%
9．（4分）（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿
直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平
分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（ ）
5 5 5√5 5√5
A． B． C． D．
8 4 8 4
10．（4分）（2025•重庆）已知整式M：a
0
+a
1
x+a
2
x2+⋯+a
n
xn，其中a
0
为自然数，n，a
1
，a
2
，⋯，a
n
为正
整数，且a
0
+a
1
+⋯+a
n
＝4．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横
线上。
11．（4分）（2025•重庆）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中
随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ．
12．（4分）（2025•重庆）如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F．若∠1＝70°，则∠2的
度数是 ．
第2页（共40页）13．（4分）（2025•重庆）若n为正整数，且满足n＜√26＜n+1，则n＝ ．
14．（4 分）（2025•重庆）若实数 x，y 同时满足 x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，则 xy 的值为
．
15．（4分）（2025•重庆）如图，AB是 O的直径，点 C 在 O上，连接 AC．以 AC 为边作菱形
ACDE，CD交 O于点F，AB⊥CD，垂足⊙为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF
＝5，则DF的长⊙度为 ，EH的长度为 ⊙ ．
16．（4分）（2025•重庆）我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为
“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最
小的“十全数”是 ；一个“十全数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百
M-M' M+M'
位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba，记F（M）= ，G（M）= ．
909 11
4F(M)+G(M)+15 ab+cd
若 与 均是整数，则满足条件的M的值是 ．
13 17
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
{
2x-2＜x①
17．（8分）（2025•重庆）求不等式组： x-1 2x-1 的所有整数解．
≤ ②
2 3
18．（8分）（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线
的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作
第3页（共40页）图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB
边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的
平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
{①( )
②( )
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴③
∴OP平分∠AOB．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）（2025•重庆）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取 20名学生
的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 60分，用x表示，共分
四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，
96，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a 83
众数 84 b
第4页（共40页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由
（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低
于90分的学生人数共是多少？
x2-x 1 2
20．（10分）（2025•重庆）先化简，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）+ ÷（ -
x2+2x+1 x x+1
），其中x＝|﹣3|+（ ﹣4）0．
21．（10分）（2025•重π庆）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多 50个，
3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改
进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙
种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天
生产的乙种文创产品增加的数量．
22．（10分）（2025•重庆）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC
上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点
S
=
F的距离为y ．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S ，△CDF的面积为S ，y ．
1 1 2 2 S +S
1 2
（1）请直接写出y ，y 分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
1 2
第5页（共40页）（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y ，y 的图象，并分别写出函数y ，y 的一条性质；
1 2 1 2
（3）结合函数图象，请直接写出 y ＜y 时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过
1 2
0.2）．
23．（10分）（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．
如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千
米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C
的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．
（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65）
（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速
度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千
米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
24．（10分）（2025•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）
5
两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴
第6页（共40页）PQ
上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当 取得最大值时，求点P的坐标及
OQ
BD+PE的最小值；
PQ
（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度
OQ
得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接
写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
25．（10分）（2025•重庆）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．
将线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，连接DE．
（1）如图1， ＝∠BAC＝60°α，∠CAE＝20°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．点
F是DE的中点α，点H是BG的中点，连接FH，CF．用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明；
（3）如图3，∠BAC＝120°， ＝60°，AB＝8，连接BE，CE．点D从点B移动到点C过程中，将BE
绕点B逆时针旋转60°得线段BαM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N．当CE取最小值时，
在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连
接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积．
第7页（共40页）2025年重庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． B D B C D D B A C
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）（2025•重庆）6的相反数是（ ）
1 1
A．﹣6 B． C．6 D．-
6 6
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：6的相反数是﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（4分）（2025•重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两
边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能
够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解
题的关键．
第8页（共40页）3．（4分）（2025•重庆）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况
D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【考点】全面调查与抽样调查．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查
结果比较近似判断即可．
【解答】解：A．调查某种柑橘的甜度情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查某市垃圾分类的情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况，适合全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的
特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择
抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（4分）（2025•重庆）如图，点A，B，C在 O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB和∠C都对^AB，
1 1
∴∠C= ∠AOB= ×100°＝50°．
2 2
第9页（共40页）故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．
5．（4分）（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个
圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点
的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型．
【答案】C
【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色
圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝6计算即可．
【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
…，
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，
故选：C．
【点评】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的
数字变化规律．
12
6．（4分）（2025•重庆）反比例函数y=- 的图象一定经过的点是（ ）
x
A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
第10页（共40页）【解答】解：A、∵2×6＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
B、∵（﹣4）×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
C、∵（﹣3）×（﹣4）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在反比例函数图象上，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解题的关键．
7．（4分）（2025•重庆）下列四个数中，最大的是（ ）
A．6.18×108 B．6.28×108 C．6.18×109 D．6.28×109
【考点】科学记数法—表示较大的数；有理数大小比较．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．
【解答】解：∵6.18×108＝618000000，
6.28×108＝628000000，
6.18×109＝6180000000，
6.28×109＝6280000000，
且618000000＜628000000＜618000000＜6280000000，
∴6.18×108＜6.28×108＜6.18×109＜6.28×109，
∴四个数中，最大的是6.28×109，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
8．（4分）（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年
接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10% B．20% C．22% D．44%
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2024年接待游客人次数＝该景区
2022年接待游客人次数×（1+该景区这两年接待游客的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
第11页（共40页）【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
根据题意得：25（1+x）2＝36，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
1 2
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（4分）（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿
直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平
分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（ ）
5 5 5√5 5√5
A． B． C． D．
8 4 8 4
【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的性质；正方形的性质．
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【专题】展开与折叠．
【答案】A
【分析】连接GE，证明Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），可得GF＝GB，设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，
1
DG＝2+x，根据勾股定理可得x= ，再利用角平分线的性质得到点H到AD，AG，GD的距离相等，
2
利用面积之比即可解答．
【解答】解：如图，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
第12页（共40页）∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，
∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2，
∴∠GFE＝∠GBE＝90°，
∵GE＝GE，
∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴GF＝GB，
设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x，
根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2，
即（2﹣x）2+22＝（2+x）2，
1
解得x= ，
2
5 3
∴DG= ，AG= ，
2 2
∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，
∴点H到AD，AG，GD的距离相等，
5
GD 2 1 3 5
∴S = ⋅S = × × ×2= ，
△GDH GD+AG+AD △ADG 5 3 2 2 8
+ +2
2 2
故选：A．
【点评】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正
1
确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得GB= 是解题的关键．
2
10．（4分）（2025•重庆）已知整式M：a
0
+a
1
x+a
2
x2+⋯+a
n
xn，其中a
0
为自然数，n，a
1
，a
2
，⋯，a
n
为正
整数，且a
0
+a
1
+⋯+a
n
＝4．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减．
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【专题】规律型．
【答案】C
第13页（共40页）【分析】根据题意逐项分析，对a 进行分类讨论，即可求解．
0
【解答】解：当n＝1时，a +a ＝4，
0 1
当a ＝0，a ＝4时，整式M为4x，
0 1
当a ＞0时，整式M不可能为单项式，
0
当n＞1时，
∵a ，a ，…，a 为正整数，
1 2 n
∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当n＝3时，a +a +a +a ＝4，
0 1 2 3
当a ＝0时，a +a +a ＝4，
0 1 2 3
则a ，a ，a 中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，
1 2 3
当a ＝1时，a +a +a ＝3，
0 1 2 3
则a ＝a ＝a ＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3，
1 2 3
当a ＞1时，a +a +a ＜3，与a ，a ，…，a 为正整数矛盾，故不存在，
0 1 2 3 1 2 n
∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误；
∵多项式为二次三项式，
∴n＝2，
∴a +a +a ＝4，
0 1 2
因为多项式为三项式，故a ≠0，
0
当a ＝1时，a +a ＝3，
0 1 2
则有1+x+2x2，1+2x+x2两种，
1 7
∵1+x+2x2＝2（x+ ) 2+ ＞0，1+2x+x2＝（x+1）2＞0，
4 8
∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件，
当a ＝2时，a +a ＝2，
0 1 2
则有2+x+x2一种，
1 7
∵2+x+x2=(x+ ) 2+ ＞0，
2 4
∴2+x+x2满足条件，
当a ＞2时，a +a ＜2与a ，a ，…，a 为正整数矛盾，故不存在，
0 1 2 1 2 n
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是2个，
故选：C．
第14页（共40页）【点评】本题综合考查了整式与配方法理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横
线上。
11．（4分）（2025•重庆）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中
1
随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ．
4
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
4
【分析】从袋子中随机摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸出红球的有1种结果，再根据概率公
式求解即可．
【解答】解：从袋子中随机摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸出红球的有1种结果，
1
所以摸出红球的概率是 ，
4
1
故答案为： ．
4
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结
果数÷所有可能出现的结果数．
12．（4分）（2025•重庆）如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F．若∠1＝70°，则∠2的
度数是 70 ° ．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】70°．
【分析】根据平行线的性质得到∠2＝∠1＝70°即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠2＝∠1＝70°，
第15页（共40页）故答案为：70°．
【点评】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（4分）（2025•重庆）若n为正整数，且满足n＜√26＜n+1，则n＝ 5 ．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用夹逼法估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵√25＜√26＜√36，
∴5＜√26＜6，
∵n＜√26＜n+1，
∴n＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．
1
14．（4分）（2025•重庆）若实数x，y同时满足x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，则xy的值为 ．
3
【考点】解一元一次方程；绝对值；负整数指数幂．
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【专题】一次方程（组）及应用．
1
【答案】 ．
3
【分析】根据绝对值的非负性，得到x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0，进而得到y≥﹣4，进而得到关于y的一
元一次方程，求出y的值，进而求出x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【解答】解：∵x﹣|y|＝2，|x|﹣y＝4，
∴x＝|y|+2＞0，|x|＝y+4≥0，
∴y≥﹣4，
∴|x|＝x＝|y|+2＝y+4，
当y≥0时，方程无解，
当﹣4≤y＜0时，﹣y+2＝y+4，
∴y＝﹣1，
∴x＝|y|+2＝3，
1
∴xy=3-1=
，
3
1
故答案为： ．
3
第16页（共40页）【点评】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，掌握以上性质是解题的关键．
15．（4分）（2025•重庆）如图，AB是 O的直径，点 C 在 O上，连接 AC．以 AC 为边作菱形
ACDE，CD交 O于点F，AB⊥CD，垂足⊙为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF
⊙ ⊙
13
＝5，则DF的长度为 3 ，EH的长度为 √13 ．
4
【考点】圆周角定理；勾股定理；菱形的性质；垂径定理．
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【专题】圆的有关概念及性质．
13
【答案】3， √13．
4
【分析】由垂径定理以及勾股定理可得CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10、AC＝13，由菱形的性质可得
CD＝AC＝13，进而得到GD＝8、DF＝3、AD=4√13，如图：连接BC，BH，由圆周角定理可得
169 13
∠ACB＝90°、∠AHB＝90°，再解直角三角形可得AB= ，AH= √13；由菱形的性质以及平行
12 4
39 13
线的性质可得∠DAE＝∠CDA，如图：过H作HF⊥AE于F，解直角三角形可得FH= ，AF= ，
4 2
13
易得FE= ，最后运用勾股定理求解即可．
2
【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5，
∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10，
∴AC=√AG2+CG2=√122+52=13，
∵四边形ACDE是菱形，
∵CD＝AC＝13，
∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3，
∴AD=√AG2+GD2=√122+82=4√13，
如图，连接BC，BH，
第17页（共40页）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，∠AHB＝90°，
AG AC 12 13
∴cos∠CAB= = ，即 = ，
AC AB 13 AB
169
解得：AB= ，
12
12 AH
AG AH =
∴cos∠DAB= = ，即4√13 169，
AD AB
12
13
解得：AH= √13，
4
∵四边形ACDE是菱形，
∴CD∥AE，
∴∠DAE＝∠CDA，
如图，过H作HM⊥AE于M，
∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA，
MH AG AM GD
∴ = ， = ，
AH AD AH AD
MH 12 AM 8
= ， =
∴13 4√13 13 4√13，
√13 √13
4 4
39 13
∴MH= ，AM= ，
4 2
13 13
∴ME=AE-AM=13- = ，
2 2
√ 13 39 13
∴EH=√EM2+M H2= ( ) 2+( ) 2= √13，
2 4 4
13
故答案为：3， √13．
4
【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅
第18页（共40页）助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．
16．（4分）（2025•重庆）我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为
“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最
小的“十全数”是 191 9 ；一个“十全数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数
M-M' M+M'
字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba，记F（M）= ，G（M）= ．若
909 11
4F(M)+G(M)+15 ab+cd
与 均是整数，则满足条件的M的值是 378 2 ．
13 17
【考点】因式分解的应用．
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【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据要求最小的“十全数”，得到a＝1，c＝1，然后求出b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，即可
得到最小的“十全数”是1919；根据题意表示出M＝900a+9c+1010，M'＝﹣9a﹣900c+10100，然后表
M-M' M+M'
示 出 F(M)= =a+c-10， G(M)= =81a-81c+1010， 然 后 表 示 出
909 11
4F(M)+G(M)+15 7a+c-3 ab+cd 8a+8c-3
=6a-6c+76+ ， =a+c+1- ，然后根据题意得
13 13 17 17
7a+c-3 8a+8c-3
到 与 均是整数，得到 7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除，然后由
13 17
1≤a≤9，1≤c≤9，求出5≤7a+c﹣3≤69，进而求解即可．
【解答】解：设四位数M=abcd，
要求最小的“十全数”，
∴a＝1，c＝1，
∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，
∴最小的“十全数”是1919；
∵一个“十全数”M=abcd，
∴a+b＝c+d＝10，
∴b＝10﹣a，d＝10﹣c，
∴M=abcd=1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9c+1010，
∴M'=dcba=1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900c+10100，
第19页（共40页）M-M' 900a+9c+1010-(-9a-900c+10100)
∴F（M）= = =a+c﹣10，
909 909
M+M' 900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)
∴G（M）= = =81a﹣81c+1010，
11 11
4F(M)+G(M)+15
∴
13
4(a+c-10)+81a-81c+1010+15
=
13
85a-77c+985
=
13
7a+c-3
=6a-6c+76+ ，
13
ab+cd 10a+10-a+10c+10-c 9a+9c+20 8a+8c-3
∴ = = =a+c+1- ，
17 17 17 17
4F(M)+G(M)+15 ab+cd
∵ 与 均是整数，
13 17
7a+c-3 8a+8c-3
∴ 与 均是整数，
13 17
∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除，
∵1≤a≤9，1≤c≤9，
∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6，
∴5≤7a+c﹣3≤69，
∴7a+c﹣3的值可以为13，26，39，52，65，
7a+c-3 8a+8c-3 8a+8c-3
∴依次代入可得，当a＝3，c＝8时， =2， = =5均是整数，符合题意，
13 17 17
∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2，
∴满足条件的M的值是3782．
故答案为：1919，3782．
【点评】此题考查了整式的加减的应用，读懂并理解题意是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
{
2x-2＜x①
17．（8分）（2025•重庆）求不等式组： x-1 2x-1 的所有整数解．
≤ ②
2 3
第20页（共40页）【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出每一个不等式的解集，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，从而得出
所有整数解．
{
2x-2＜x①
【解答】解： x-1 2x-1 ，
≤ ②
2 3
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
所以不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解
法是解本题的关键．
18．（8分）（2025•重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线
的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作
图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB
边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的
平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
{①( )
②( )
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴③ ∠ POE ＝∠ POF
∴OP平分∠AOB．
第21页（共40页）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据要求作出图形，利用HL证明Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）即可．
【解答】解：图形如图所示：
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
{OE=OF
，
OP=OP
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴∠POE＝∠POF，
∴OP平分∠AOB．
故答案为：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF，
【点评】不能太空舱作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是掌
握相关知识解决问题．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）（2025•重庆）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取 20名学生
的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于 60分，用x表示，共分
四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．
第22页（共40页）八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，
96，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a 83
众数 84 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 8 4 ，b＝ 8 6 ，m＝ 3 0 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由
（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低
于90分的学生人数共是多少？
【考点】用样本估计总体；中位数；众数．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）84，86，30；
（2）七年级学生的航天知识竞赛成绩较好，理由见解答；
（3）293人．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；用“1”分别减去其它部分占比可得m的值；
（2）根据中位数、平均数的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）；
（3）总人数乘样本中优秀人数所占比例即可．
【解答】解：（1）七年级C、D组的人数为：20×（10%+25%）＝7，
84+84
把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是 84，84，故中位数a= =
2
84．，
第23页（共40页）八年级20名学生的竞赛成绩的众数b＝86，
7
m%＝1﹣（10%+25%- ）＝30%，即m＝30，
20
故答案为：84，86，30；
（2）七年级学生的航天知识竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级，所以七年级学生的航天知识竞赛成
绩较好；
5
（3）560×30%+500× =293（人），
20
答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人．
【点评】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
x2-x 1 2
20．（10分）（2025•重庆）先化简，再求值：（x+1）（3x﹣1）﹣x（3x+1）+ ÷（ -
x2+2x+1 x x+1
），其中x＝|﹣3|+（ ﹣4）0．
【考点】整式的混合运π 算—化简求值；分式的化简求值；零指数幂．
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【专题】整式；分式；运算能力．
1 1
【答案】- ，- ．
x+1 5
【分析】先根据整式和分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用绝对值的性质、零指数幂的
规定求出x的值，代入计算即可．
x(x-1) x+1 2x
【解答】解：原式＝3x2﹣x+3x﹣1﹣3x2﹣x + ÷[ - ]
(x+1) 2 x(x+1) x(x+1)
x(x-1) 1-x
＝x﹣1 + ÷
(x+1) 2 x(x+1)
x(x-1) x(x+1)
＝x﹣1 - •
(x+1) 2 x-1
x2
＝x﹣1-
x+1
x2-1 x2
= -
x+1 x+1
1
=- ，
x+1
第24页（共40页）1
当x＝|﹣3|+（ ﹣4）0＝3+1＝4时，原式=- ．
5
π
【点评】本题主要考查分式和整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式与分式的混合运算顺序及
相关法则．
21．（10分）（2025•重庆）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多 50个，
3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
（1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
（2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改
进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙
种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天
生产的乙种文创产品增加的数量．
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个；
（2）每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个．
【分析】（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是 x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣
50）个，根据3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个，
可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该厂每天生产甲种文创产品的数量），再将其
代入（x﹣50）中，即可求出该厂每天生产乙种文创产品的数量；
（2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，
利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”，
可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是
（x﹣50）个，
根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100，
解得：x＝100，
∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）．
答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个；
（2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，
1400 1400
根据题意得： - = 10，
50+ y 100+2y
第25页（共40页）解得：y＝20，
经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意．
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22．（10分）（2025•重庆）如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC
上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点
S
=
F的距离为y ．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S ，△CDF的面积为S ，y ．
1 1 2 2 S +S
1 2
（1）请直接写出y ，y 分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
1 2
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y ，y 的图象，并分别写出函数y ，y 的一条性质；
1 2 1 2
（3）结合函数图象，请直接写出 y ＜y 时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过
1 2
0.2）．
【考点】函数的图象；函数关系式；函数自变量的取值范围．
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【专题】函数及其图象．
5
{5-2x(0＜x≤
)
2 5
【答案】（1)y = ， y = (0＜x＜5)；（2）作图见解析，性质：当
1 5 2 x
2x-5( ＜x＜5)
2
5 5
0＜x≤ 时，y 随x的增大而减小，当 ＜x＜5时，y随x的增大而增大（不唯一）；当0＜x＜5
2 1 2
时，y 随x的增大而减小；（3）0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）
2
【分析】（1）利用矩形性质和勾股定理得出AC 5，AO＝CO＝5，分两部分：①当
=√AB2+BC2=
第26页（共40页）5 5
0＜x≤ 时；②当 ＜x＜5时，分别列出 y
1
过点B作BM⊥AC于点M，利用等面积法求出 BM
2 2
AB⋅BC 12 1 6
= = ，即可表示出△ABE 的面积为S = AE⋅BM= x，同理可得△CDF 的面积为
AC 5 1 2 5
6 S
S = x，再结合矩形ABCD的面积为与y = ，即可列出y ；
2 5 2 S +S 2
1 2
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出y 的图象在y 下方时对应的自变量x的取值范围即可．
1 2
【解答】解：（1）∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4，
∴∠ABC＝90°，AC=√AB2+BC2=5，
∴AO＝CO＝2.5，
5
当0＜x≤ 时，AE＝CF＝x，如图，
2
∴y ＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x，
1
5
当 ＜x＜5时，AE＝CF＝x，如图，
2
∴y ＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，
1
5
{5-2x(0＜x≤
)
2
∴y = ，
1 5
2x-5( ＜x＜5)
2
第27页（共40页）如图，过点B作BM⊥AC 于点M，
1 1
∵S = AB⋅BC= AC⋅BM，
△ABC 2 2
AB⋅BC 12
∴BM= = ，
AC 5
1 1 12 6
∴△ABE的面积为S = AE⋅BM= x× = x，
1 2 2 5 5
6
同理可得△CDF 的面积为S = x，
2 5
又∵矩形ABCD的面积为S＝3×4＝12，
S 12 5
y = = =
∴ 2 S +S 6 6 x，
1 2 x+ x
5 5
5
∴y = (0＜x＜5)；
2 x
（2）作图如下：
5
性质：当0＜x≤ 时，y 随x的增大而减小；
2 1
5
当 ＜x＜5时，y 随x的增大而增大（不唯一）；
2 1
当0＜x＜5时，y 随x的增大而减小；
2
（3）结合函数图象，可得y ＜y 时x的取值范围为0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4
1 2
或0＜x＜3.5）．
第28页（共40页）【点评】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不
等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的
关键．
23．（10分）（2025•重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．
如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千
米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C
的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．
（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65）
（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速
度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千
米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】（1）BD的长度约为26.5千米；（2）甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互
接收到信号．
【分析】（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE
得到 AE=10√3千米，DE＝10 千米，证明四边形 AEFB 是矩形，得到 EF＝AB＝10 千米，
BF=AE=10√3千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长；
（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到M时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T，
由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，则CD＝DF+CF＝
30千米，设BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）
√3 3
千 米 ， MT=(10√3- x)千 米 ， 则 TN=(20- x)千米 ， 由 勾 股 定 理 得
2 2
第29页（共40页）√3 3
202=(10√3- x) 2+(20- x) 2，解方程即可得到答案．
2 2
【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
由题意得，∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，AE=AD⋅cos∠DAE=20⋅cos30°=10√3（千米），
DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米），
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴AB∥CD，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10千米，BF=AE=10√3千米，
∴DF＝DE+EF＝20千米，
∴BD=√DF2+BF2=√202+(10√3) 2=10√7≈26.5（千米），
答：BD的长度约为26.5千米；
（2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作
MT⊥CD于T，
由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，
第30页（共40页）BF 10√3
在 Rt△FBC中，BC= = =20千米，
sin∠BCF sin60°
BF 10√3
CF= = =10千米，
tan∠BCF tan60°
∴CD＝DF+CF＝30千米，
设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米，
1
在 Rt△CMT 中，CT=CM⋅cos∠MCT=(20-x)⋅cos60°=(10- x)千米，
2
√3
MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（10√3- x）千米，
2
1 3
∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10- x）＝（20- x）千米，
2 2
在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2，
√3 3
∴202=(10√3- x) 2+(20- x) 2 ，
2 2
∴x=15-5√5或x=15+5√5（此时大于BC的长，舍去），
∴BM=15-5√5≈3.8（千米），
答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三
角形是解题的关键．
24．（10分）（2025•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）
5
两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴
PQ
上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当 取得最大值时，求点P的坐标及
OQ
BD+PE的最小值；
PQ
（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度
OQ
得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接
写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
第31页（共40页）【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推
理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；
（2）点P的坐标为（3，﹣12），BD+PE的最小值为4√5；
5+√97
（3）点N的坐标为（2，﹣12）或( ，14+2√97)．
2
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线BC的解析式，然后设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PF∥y轴交BC于点
F，交x轴于点H，点F的坐标为（x，x﹣6），求出PF长，再证明△QPF∽△QOC，根据对应边成比
PQ
例求出 的最大值，把点P向上平移4个单位长度得到点Q，点Q的坐标为（3，﹣8），连接GD，
OQ
即可得到BD+PE＝BD+DG，连接AG，则AG是最小值，利用勾股定理即可解答；
（3）根据平移得到抛物线y′的解析式，然后过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连
接PM，即可得到∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB，设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14），根据
tan∠NAB＝tan∠OPQ，列等式求出a的值即可．
5
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=(x- ) 2+k，
2
49
把（6，0）代入得 +k=0，
4
49
解得k=- ，
4
5 49
∴y=(x- ) 2- =x2-5x-6；
2 4
第32页（共40页）（2）令x＝0，则y＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
{6m+n=0
把（6，0）和（0，﹣6）代入得 ，
n=6
{m=1
解得 ，
n=-6
∴y＝x﹣6，
设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，如图，
则点F的坐标为（x，x﹣6），
∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，
∵PF∥y轴，
∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ，
∴△QPF∽△QOC，
QP PF 1 1 3
∴ = = (-x2+6x)=- (x-3) 2+ ，
QO OC 6 6 2
QP 3
∴当x＝3时， 取得最大值为 ，这时点P的坐标为（3，﹣12），
QO 2
把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为（3，﹣8），连接GD，
则四边形DEPG是平行四边形，
∴DG＝PE，
即BD+PE＝BD+DG，
5
由A，B关于x= 对称性可得点A的坐标为（﹣1，0），
2
连接AG，则BD+PE＝BD+DG的最小值为AG长，
第33页（共40页）即AG=√AH2+HG2=√42+82=4√5，
即BD+PE的最小值为4√5；
（3）∵OB＝OC＝6，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移
两个单位长度得到抛物线y′，
5 49
即y'=(x- +2) 2- -2=x2-x-14，
2 4
过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连接PM，
设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14），
由平移得∠QPM＝45°，
∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB，
如图1，
∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，
12
-(a2-a-14)
即 = ，
3 a-(-1)
解得a＝﹣5（舍去）或a＝2，
∴点N的坐标为（2，﹣12）；
如图2，
第34页（共40页）∵tan∠NAB＝tan∠OPQ，
12 a2-a-14
即 = ，
3 a-(-1)
5+√97 5-√97
解得a= 或a= （舍去），
2 2
5+√97
∴点N的坐标为( ，14+2√97)；
2
5+√97
综上所述，点N的坐标为（2，﹣12）或( ，14+2√97)．
2
【点评】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问
题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
25．（10分）（2025•重庆）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．
将线段AD绕点A逆时针旋转 得到线段AE，连接DE．
（1）如图1， ＝∠BAC＝60°α，∠CAE＝20°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．点
F是DE的中点α，点H是BG的中点，连接FH，CF．用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明；
（3）如图3，∠BAC＝120°， ＝60°，AB＝8，连接BE，CE．点D从点B移动到点C过程中，将BE
绕点B逆时针旋转60°得线段BαM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N．当CE取最小值时，
在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连
接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积．
第35页（共40页）【考点】几何变换综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的
相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用AB＝AC，∠BAC＝ ＝60°，得出△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝∠ACB＝
60°，由旋转得∠DAE＝60°，则可求出∠DαAC，再利用外角即可求解；
（2）连接CE，DH，利用 ＝∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°，证明△BAD≌△CAE，
得BD＝CE，∠ABD＝∠ACαE＝45°，得出∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，再证明DG＝DC，
得出△BDG≌△ECD，可得∠BGD＝∠EDC，BG＝DE，再通过点H是BG的中点，和点F是DE的中点，
1 1
证明DH=HG= BG，DF＝CF= DE，通过证明△HDF是等腰直角三角形，即可得出；
2 2
（3）取BC中点U，AC中点V，连接AU，EV，UV，通过证明△ADU≌△AEV，得出∠AVE＝∠AUD＝
90°，由点V为固定点，∠AVE＝90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，由点到直线的最短
距离可得，当CE取最小值时，即CE垂直于点E运动轨迹的直线，即点E和点V重合时，CE最小，
此时，由翻折可知AE＝QE，则点Q的轨迹为以点E为圆心，AE＝4为半径的圆，由点到圆上一点的
最大距离可知当B、E、Q依次共线时，BQ取最大值，此时，连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过
点 Q 作 QR⊥CN 于点 R，证明△MAE≌△BDE，得出 MA＝BD＝4√3，∠MAE＝∠BDE，通过证明
1 1
∠MAN＝30°，得出MN= MA＝2√3，AN=√3MN＝6，再计算出AS= AB＝4，BS=√3AS＝4√3，即
2 2
8√7
可求出 SE＝8，则 BE=√BS2+SE2=4√7，通过△BES∽△QER，求出 ER= ，可求出 NR＝
7
8√7 1
NA+AE+ER＝10+ ，则利用S = MN⋅NR即可求出．
7 △MNQ 2
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝ ＝60°，
∴△ABC是等边三角形， α
第36页（共40页）∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
由旋转得∠DAE＝60°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝60°﹣20°＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝100°；
（2）HF=√2CF，证明如下：
如图，连接CE，DH，
∵ ＝∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠αABD＝∠ACB＝45°，
由旋转知AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CGD＝∠ACB＝45°，
∴DG＝DC，
∴△BDG≌△ECD（SAS），
∴∠BGD＝∠EDC，BG＝DE，
∵点H是BG的中点，∠BDG＝90°，
1
∴DH=HG= BG，
2
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠HDG＝∠EDC，
第37页（共40页）∴∠HDG+∠GDE＝∠EDC+∠GDE，
即∠HDF＝∠GDC＝90°，
∵点F是DE的中点，∠DCE＝90°，
1
∴DF=CF= DE，
2
∴DH＝DF，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=√2DF=√2CF，
即HF=√2CF；
（3）如图，取BC中点U，AC中点V，连接AU，EV，UV，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，
1
∴∠ACU＝30°，∠CAU= ∠BAC=60°，AU⊥BC，
2
1
∴AU= AC=4，
2
∵V是AC中点，
1
∴AV = AC，
2
∴AU＝AV，
由旋转知AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∠DAE＝∠CAU＝60°，
∴∠DAU＝∠EAV，
∴△ADU≌△AEV（SAS），
∴∠AVE＝∠AUD＝90°，
由点V为固定点，∠AVE＝90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当CE取最小值时，即CE垂直于点E运动轨迹的直线，
即点E和点V重合时，CE最小，
此时如图，
第38页（共40页）由翻折可知AE＝QE，
∴点Q的轨迹为以点E为圆心，AE＝4为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当B、E、Q依次共线时，BQ取最大值，
此时如图，连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过点Q作QR⊥CN于点R，
由旋转知BM＝BE，∠MBE＝60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠BEM＝60°，BE＝EM，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠BEM＝∠AED＝60°，
∴∠AEM＝∠DEB，
∴△MAE≌△BDE（SAS），
∴MA＝BD，∠MAE＝∠BDE，
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠DAE＝∠BAD＝60°，
∴AD⊥BC，
1
∴AD= AB＝4，BD=√3AD=4√3，
2
∴MA=BD=4√3，
∵E为AC中点，
∴DE＝CE，
第39页（共40页）∴∠EDC＝∠ACB＝30°，
∴∠MAE＝∠BDE＝180°﹣∠EDC＝150°，
∴∠MAN＝180°﹣∠MAE＝30°，
1
∴MN= MA=2√3，AN=√3MN＝6，
2
∵∠BAS＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABS＝30°，
1
∴AS= AB＝4，BS=√3AS=4√3，
2
∴SE＝AS+AE＝4+4＝8，
∴BE=√BS2+SE2=4√7，
∵BS⊥CN，QR⊥CN．
∴∠BSE＝∠QRE＝90°，
又∵∠BES＝∠QER，
∴△BES∽△QER，
BE SE
∴ = ，
EQ ER
4√7 8
即 = ，
4 ER
8√7
解得ER= ，
7
8√7
∴NR=NA+AE+ER=10+ ，
7
∵MN⊥CA，QR⊥CN，
1 1 8√7 8√21
∴S = MN⋅NR= ×2√3×(10+ )=10√3+ ．
△MNQ 2 2 7 7
【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，
含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
第40页（共40页）
