文档内容
2025年陕西省中考数学试卷
一、单选题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符含题意的)
1．（3分）（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9
2．（3分）（2025•陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，
该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（
）
A．76° B．74° C．64° D．52°
4．（3分）（2025•陕西）计算2a2•ab的结果为（ ）
A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b
5．（3 分）（2025•陕西）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD 为 AB 边上的中线，
DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
第1页（共33页）7．（3分）（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，
则△CEF的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
8．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个
交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分)
9．（3分）（2025•陕西）满足√2＜a＜5的整数a可以是 （写出一个符合题意的数
即可）．
10．（3分）（2025•陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设
计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，
…则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
11．（3分）（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦
采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦
平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 小时．
12．（3分）（2025•陕西）如图，AB为 O的直径，^BC=^BD，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为
． ⊙
第2页（共33页）k
13．（3分）（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A（m，n），B
x
（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 ．
14．（3分）（2025•陕西）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，
AD上，且AM＝AN，以MN为边作▱等边△MNP，使点P始终在 ABCD的内部或边上．当△MNP的面
积最大时，DN的长为 ． ▱
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程)
15．（5分）（2025•陕西）计算：√3×√12+|-2|-(π-3) 0．
{ x+3＜5
16．（5分）（2025•陕西）解不等式组： ．
2(x+1)＞x-1
1 x+1
17．（5分）（2025•陕西）化简：(1- )÷ ．
x+2 x2+4x+4
18．（5分）（2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内
部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
第3页（共33页）19．（5分）（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．
求证：BE＝AC．
20．（5分）（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”
“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作
的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全
相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝
上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二
小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
21．（6分）（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们
带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶
端A的仰角 为45°，DE与坡面的夹角 为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为
22m．已知DαE＝1.7m，点A，B，C在同一β 条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高
AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）
第4页（共33页）22．（7分）（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体
温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测
得的部分数据如表：
气体温度x … 25 30 35 …
（℃）
气体体积y … 596 606 616 …
（L）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体
温度．
23．（7分）（2025•陕西）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国
航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞
赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，
绘制了如下统计图．
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，
80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为 分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计
本次竞赛的获奖人数．
第5页（共33页）24．（8分）（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的 O与AB相切于点D，与
BC相交于点E，EF为 O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． ⊙
（1）求证：AB＝AC；⊙
3
（2）若sinA= ，AB＝8，求DG的长．
5
25．（8分）（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L ，左、右门洞L ，L 均
1 2 3
呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L 的最高点B到AC的距离BO＝4m，L ，L 关于BO所在直线对称．
1 2 3
MN，MP，NQ为框架，点M，N在L
1
上，点P，Q分别在L
2
，L
3
上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以
O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L 的函数表达式；
1
3 5
（2）已知抛物线L 的函数表达式为y=- (x-4) 2 ，NQ= m，求MN的长．
3 16 2
26．（12分）（2025•陕西）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，请画出一个 BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，▱BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S
△BPC
＝9，△BPC
第6页（共33页）周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选
址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A
为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q
分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使
∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中
画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、
观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
第7页（共33页）2025年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D C B C D
一、单选题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符含题意的)
1．（3分）（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9
【考点】有理数的加法．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则计算即可．
【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2025•陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，
该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，可得选项D的图形．
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
第8页（共33页）3．（3分）（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（
）
A．76° B．74° C．64° D．52°
【考点】角平分线的定义；余角和补角．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1＝104°，由邻补角的性质即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，
∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的定义，余角和补角，关键是由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1．
4．（3分）（2025•陕西）计算2a2•ab的结果为（ ）
A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b
【考点】单项式乘单项式．
菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：2a2•ab＝2a3b．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
5．（3 分）（2025•陕西）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD 为 AB 边上的中线，
DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】直角三角形斜边上的中线；余角和补角．
菁优网版权所有
第9页（共33页）【答案】C
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，推出∠B＝∠BCD，∠ADE＝∠CDE，而
∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，即可得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
1
∴CD= AB，
2
∴CD＝AD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴图中与∠A互余的角共有4个．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，余角和补角，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出CD
＝AD＝BD，掌握余角的概念．
6．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，
平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，求出过点（1，0），（0，2）的直线解析式，再结合“上加下减”的平移法则，
求出平移后的直线解析式，据此进行判断即可．
【解答】解：令过点（1，0），（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
{k+b=0
则 ，
b=2
{k=-2
解得 ，
b=2
所以直线的解析式为y＝﹣2x+2，
则向上平移3个单位长度后，所得直线的解析式为y＝﹣2x+5，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
第10页（共33页）【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
7．（3分）（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，
则△CEF的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；正方形的性质．
菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正方形性质及勾股定理求出 AE＝BE＝2，CE=2√5，证明△BCE和△AEF相似得EF
=√5，再根据三角形的面积公式即可得出△CEF的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，
1
∴AE＝BE= AB＝2，
2
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=√BC2+BE2=√42+22=2√5，
∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝∠AEF，
∴△BCE∽△AEF，
EF AE
∴ = ，
CE BC
CE⋅AE 2√5×2
∴EF= = =√5，
BC 4
1 1
∴△CEF的面积为： CE•EF= ×2√5×√5=5．
2 2
故选：C．
第11页（共33页）【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的
判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
8．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个
交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】D
【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与
二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可．
【解答】解：由题意可得，
∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号，
a-3
∴x x = ＜0，
1 2 a
解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；
-2a
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线x=- =1，
2a
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当x＝1时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C不符合题意；
当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，
∴此时y＜0，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分)
9．（3分）（2025•陕西）满足√2＜a＜5的整数a可以是 3 （答案不唯一） （写出一个符合题意
的数即可）．
第12页（共33页）【考点】估算无理数的大小．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】先估算√2的取值范围，即可找出一个符合条件的整数a的值即可．
【解答】解：∵√1＜√2＜√4，
∴1＜√2＜2，
∵√2＜a＜5，a为整数，
∴a可以是3（答案不唯一），
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．
10．（3分）（2025•陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设
计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，
…则第10个图案需要用矩形的个数为 2 1 ．
【考点】规律型：图形的变化类；全等图形．
菁优网版权所有
【专题】规律型；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】21．
【分析】根据图形的变化情况得出规律，即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知，第1个图案用了3个矩形，即3＝2×1+1，
第2个图案用了5个矩形，即5＝2×2+1，
第3个图案用了7个矩形，即7＝2×3+1，
…
第n个图案用了（2n+1）个矩形，
∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1＝21（个），
故答案为：21．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形的变化，找出规律是解题的关键．
11．（3分）（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦
采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦
第13页（共33页）平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是 1. 2 小时．
【考点】一元一次方程的应用．
菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【答案】1.2．
【分析】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案．
【解答】解：设小康和小悦采摘了x小时，
依题意：6x﹣4x＝2.4，
解得：x＝1.2，
因此，小康采摘了1.2小时，
故答案为：1.2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．
12．（3分）（2025•陕西）如图，AB为 O的直径，^BC=^BD，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为
66° ． ⊙
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】66°．
【分析】连接BC，如图，先利用圆周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余
计算出∠ACD的度数．
【解答】解：连接BC，如图，
∵^BC=^BD，
∴∠BCD＝∠CDB＝24°，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．
故答案为：66°．
第14页（共33页）【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
k
13．（3分）（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A（m，n），B
x
（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 9 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【答案】9．
【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）
k
代入y= 进行计算，即可作答．
x
k
【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）
x
两点，
∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，
∴m＝3，n＝3，
∴A（3，3），
k
把A（3，3）代入y= ，
x
k
得3= ，
3
第15页（共33页）解得k＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点
的性质，掌握以上性质是解题的关键．
14．（3分）（2025•陕西）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，
AD上，且AM＝AN，以MN为边作▱等边△MNP，使点P始终在 ABCD的内部或边上．当△MNP的面
积最大时，DN的长为 5 ． ▱
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】5．
【分析】由题意可得AM＝AN，MP＝NP，则点P在AH上运动，由点P始终在 ABCD的内部或边上．
则AP的最大值为AH的长，通过证明△ABH是等边三角形，可得AB＝AH＝6，▱即可求解．
【解答】解：如图，连接AP，并延长交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵△MNP是等边三角形，
√3
∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积= MP2，
4
∵AM＝AN，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS），
∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，
∴∠AMP＝90°，
∴MP=√3AM，AP＝2AM，
√3
∴MP= AP，
2
3√3
∴△MNP的面积= AP2，
16
∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大，
第16页（共33页）∵∠B＝∠BAH＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝AH＝6，
∵AM＝AN，MP＝NP，
∴点P在AH上运动，
∵点P始终在 ABCD的内部或边上．
∴AP的最大值▱为AH的长，
即AP＝6，
∴AM＝AN＝3，
∴DN＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角
三角函数等知识点，确定点P的轨迹是解题的关键．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程)
15．（5分）（2025•陕西）计算：√3×√12+|-2|-(π-3) 0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】7．
【分析】根据零指数幂的性质，先算乘方，再根据二次根式的乘法法则计算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：原式=√3×12+2-1
=√36+2-1
＝6+2﹣1
＝7．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、二次根式的乘法法则和
绝对值的性质．
第17页（共33页）{ x+3＜5
16．（5分）（2025•陕西）解不等式组： ．
2(x+1)＞x-1
【考点】解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3＜x＜2．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
{ x+3＜5 ①
【解答】解： ，
2(x+1)＞x-1 ②
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．
1 x+1
17．（5分）（2025•陕西）化简：(1- )÷ ．
x+2 x2+4x+4
【考点】分式的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【答案】x+2．
【分析】先通分，同时将除法转化为乘法，然后约分即可．
1 x+1
【解答】解：(1- )÷
x+2 x2+4x+4
x+2-1 (x+2) 2
= •
x+2 x+1
x+1 (x+2) 2
= •
x+2 x+1
＝x+2．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（5分）（2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内
部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
第18页（共33页）【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，则点P即
为所求．
【解答】解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点
P，
1
∴∠CPO=∠COP=∠BOP= ∠AOB=25°，
2
∴∠AOP＝25°，CP∥OB，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
19．（5分）（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．
求证：BE＝AC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由DE∥AB，得∠D＝∠ABC，而BD＝AB，DE＝BC，即可根据“SAS”证明△BDE≌△ABC，则
BE＝AC．
【解答】证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB，
∴∠D＝∠ABC，
在△BDE和△ABC中，
第19页（共33页）{
BD=AB
∠D=∠ABC，
DE=BC
∴△BDE≌△ABC（SAS），
∴BE＝AC．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠D＝∠ABC，进而
证明△BDE≌△ABC是解题的关键．
20．（5分）（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”
“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作
的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全
相同．
1
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
5
；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝
上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二
小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】（1） ；
5
4
（2） ．
5
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，再由概率公
式求解即可．
【解答】解：（1）∵设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，
E）共五个研究方向，
第20页（共33页）1
∴从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 ，
5
1
故答案为： ；
5
（2）画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，
20 4
∴这两个小组研究方向不同的概率为 = ．
25 5
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们
带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶
端A的仰角 为45°，DE与坡面的夹角 为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为
22m．已知DαE＝1.7m，点A，B，C在同一β 条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高
AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】信号杆的高AB为16m．
【分析】理解题意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH 中，运用HD＝BD×sin72.5°，BH＝
BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出HD，BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI＝HD＝
20.9m，根据∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把数值代入AB＝AI+IH﹣BH
第21页（共33页）进行计算，即可作答．
【解答】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵AB，DE均与水平线FC垂直，
∴DE∥AC，
∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，
∵DH⊥AC，
∴∠DHI＝90°，
DH
在Rt△DBH中，BD=22m，sin72.5°= ，
BD
则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），
BH
在Rt△DBH中，BD＝22m，cos72.5°= ，
BD
则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m），
∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC，
∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，
∴四边形EDHI是矩形，
∴EI＝HD＝20.9m，
∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，
∴∠EAI＝45°，
∴AI＝EI＝20.9m，
∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），
信号杆的高AB为16m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．（7分）（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体
温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测
第22页（共33页）得的部分数据如表：
气体温度x … 25 30 35 …
（℃）
气体体积y … 596 606 616 …
（L）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体
温度．
【考点】一次函数的应用．
菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2x+546；
（2）77℃．
【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可；
（2）当y＝700时，求出对应x的值即可．
【解答】解：（1）根据表格，气体温度升高 1℃，气体体积增大 2L，则 y＝596+2（x﹣25）＝
2x+546，
∴y与x的函数关系式为y＝2x+546．
（2）当y＝700时，得2x+546＝700，
解得x＝77．
答：停止加热时的气体温度为77℃．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式是解题的关键．
23．（7分）（2025•陕西）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国
航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞
赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，
绘制了如下统计图．
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，
80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为 8 4 分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为 5 0 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 8 0 分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计
本次竞赛的获奖人数．
第23页（共33页）【考点】中位数；用样本估计总体；加权平均数．
菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）84；
（2）50，80；
（3）120人．
【分析】（1）根据加权平均数公式解答即可；
（2）用B组的个数除以B组所占百分比可得样本容量，再根据中位数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中成绩90分及以上的学生的人数所占比例即可．
1
【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为： ×（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝84
15
（分），
故答案为：84；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为：15÷30%＝50，
A组人数为：50×24%＝12（个），
把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是80，80，
80+80
所以本次被抽取的所有成绩的中位数为： = 80（分），
2
故答案为：50，80；
（3）500×24%＝120（人），
答：估计本次竞赛的获奖人数为120人．
【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
24．（8分）（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的 O与AB相切于点D，与
BC相交于点E，EF为 O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． ⊙
（1）求证：AB＝AC；⊙
第24页（共33页）3
（2）若sinA= ，AB＝8，求DG的长．
5
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直
角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
12√2
（2）DG的长是 ．
7
【分析】（1）连接OD，由∠F＝45°，得∠DOE＝2∠F＝90°，由切线的性质得AB⊥OD于点D，则
∠ODA＝∠DOE＝90°，所以AB∥OE，因为OC＝OE，所以∠B＝∠OEC＝∠C，则AB＝AC；
OD 3 5 5
（2）由 =sinA= ，得OA= OD，因为OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，所以 OD+OD＝
OA 5 3 3
8，则 OF＝OD＝3，求得 OA＝5，DF＝3√2，则 AD＝4，由 AD∥OF，证明△AGD∽△OGF，则
DG AD 4 4 12√2
= = ，求得DG= DF= ．
FG OF 3 7 7
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠F＝45°，
∴∠DOE＝2∠F＝90°，
∵ O与AB相切于点D，
∴A⊙B⊥OD于点D，
∴∠ODA＝∠DOE＝90°，
∴AB∥OE，
∵OC＝OE，
∴∠B＝∠OEC＝∠C，
∴AB＝AC．
OD 3
（2）解：∵ =sinA= ，
OA 5
第25页（共33页）5
∴OA= OD，
3
∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，
5
∴ OD+OD＝8，
3
∴OF＝OD＝3，
5
∴OA= ×3＝5，DF=√OF2+OD2=√2OF＝3√2，
3
∴AD=√OA2-OD2=√52-32=4，
∵AD∥OF，
∴△AGD∽△OGF，
DG AD 4
∴ = = ，
FG OF 3
4 4 4 12√2
∴DG= DF= DF= ×3√2= ，
4+3 7 7 7
12√2
∴DG的长是 ．
7
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、
勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
25．（8分）（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L ，左、右门洞L ，L 均
1 2 3
呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L 的最高点B到AC的距离BO＝4m，L ，L 关于BO所在直线对称．
1 2 3
MN，MP，NQ为框架，点M，N在L
1
上，点P，Q分别在L
2
，L
3
上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以
O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L 的函数表达式；
1
3 5
（2）已知抛物线L 的函数表达式为y=- (x-4) 2 ，NQ= m，求MN的长．
3 16 2
第26页（共33页）【考点】二次函数的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用．
1
【答案】（1）y=- x2+4；（2）12（m）．
16
【分析】（1）理解题意，先设抛物线L 的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，结合二次函数的对称性得
1
A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4进行求解，即可作答；
5 1
（2）理解题意，得出y= y - y = ，再结合抛物线 L L 的函数表达式分别为 y=- x2+4，
N Q 2 1 3 16
3
y=- (x-4) 2 代入y＝y ﹣y ＝2，整理得x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，再解方程，可作答．
16 N Q
【解答】解：（1）∵BO＝4m，
∴抛物线L 的顶点B坐标为（0，4），
1
设抛物线L 的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，
1
∵AC＝16m，
结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0），
将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，
得0＝64a+4，
1
则a=- ，
16
1
∴y=- x2+4；
16
1
（2）由（1）得抛物线L 的函数表达式y=- x2+4，
1 16
5 3
∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ=
2
m，且抛物线L
3
的函数表达式为y=-
16
(x-4) 2 ，
1 3 5
∴y= y - y =- x2+4-[- (x-4) 2 ]= ，
N Q 16 16 2
整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，
第27页（共33页）∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，
∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，
解得x ＝x ＝6，
1 2
∴MN＝2×6＝12（m）．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
26．（12分）（2025•陕西）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，请画出一个 BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，▱BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S
△BPC
＝9，△BPC
周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选
址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A
为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q
分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使
∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中
画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、
观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
第28页（共33页）【考点】四边形综合题．
菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力．
【答案】（1）见详解；
（2）6√2+6；
80
（3）AP= m．
3
【分析】（1）先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF，再以点B为圆心，以DE的长为半
径画弧，交线段BC于一点F，连接EF，则DE＝BF，故四边形BDEF是平行四边形，即可作答；
（2）过P点作PH⊥BC于点H，解得PH＝3，故P在线段MN上运动的，整理C
△BPC
＝BP+CP+6，经
过分析当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值，即作B点关于MN的对称点B'，当B'，P，
C 三点共线时，BP+CP 有最小值，即 B'C 的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得
B'C=√B'B2+BC2=6√2，即可作答；
（3）取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，得MN是△ABC的中位线，再过点P作PD∥AC，
PB AB 120 2
证明△PBD∽△ABC，整理 = = = ，故AQ＝PD，再证明四边形APDQ是平行四边形，因
PD AC 180 3
第29页（共33页）OE OD 1
为O是PQ的中点，得AO＝OD，证明△ADH∽△ODE， = = ，由题意得OE为定值，则点O
AH AD 2
在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆 T，当且仅当 T与MN相切时，∠BOC的值最大，
⊙ ⊙
1 BK BM
先得出MB= ×AB=60m，CM⊥AB，运用三角函数得cos∠ABC= = ，代入数值进行计算，
2 BM BC
即可作答．
【解答】解：（1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF，
再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F，
连接EF，则DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF是平行四边形，
即 BDEF如图所示：
▱
（2）如图，过P点作PH⊥BC于点H，
∵S ＝9，BC＝6，
△BPC
1 1
∴ ×BC×PH= ×6×PH=9，
2 2
解得PH＝3，
过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的，
则C ＝BP+CP+BC＝BP+CP+6，
△BPC
当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值，
作B点关于MN的对称点B'，
∴BM＝B'M＝3，B'P＝BP，
第30页（共33页）∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C，
当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△BB'C中，B'B＝6，BC＝6，
∴B'C=√B'B2+BC2=√36+36=6√2，
此时△BPC的周长=BP+CP+6=6√2+6；
（3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，
∴MN是△ABC的中位线，
过点P作PD∥AC，
∴∠BAC＝∠BPD，
又∵∠ABD＝∠PBD，
∴△PBD∽△ABC，
PB PD PB AB 120 2
∴ = ，即 = = = ，
AB AC PD AC 180 3
BP 2
∵ = ，
AQ 3
∴AQ＝PD，
∵PD∥AC，
∴四边形APDQ是平行四边形，
连接AD，
第31页（共33页）∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形，
∴AO＝OD，
∴O是AD的中点，
过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E，
∴∠AHD＝∠OED＝90°，
∵∠ADH＝∠ODE，
∴△ADH∽△ODE，
OE OD 1
∴ = = ，
AH AD 2
∵AB＝120m，AC＝BC＝180m，
∴AH为定值，
∴OE为定值，
则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆 T，
当且仅当 T与MN相切时，∠BOC的值最大， ⊙
∠BO'C＝∠⊙BFC＝∠BOC+∠OBF，
故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC，
如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT，
∵ T与MN相切于点O'，
∴∠⊙MO'T＝90°，
∵O'L⊥BC于点L，
∴∠BLO'＝90°，
∵MN∥BC，
第32页（共33页）∴∠MO'L＝90°．
故O'，L，T三点共线，
∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，则BC⊥LT，
1
∴BL= BC，
2
∵BC＝AC＝180m，M是AB的中点，
1
∴MB= ×AB=60m，CM⊥AB，
2
BK BM
∴cos∠ABC= = ，
BM BC
BK 60
即 = ，
60 180
∴BK＝20（m），
1
∴MO'=KL=BL-BK= BC-BK=90-20=70(m)，
2
∵点M是AB的中点M，O是AD的中点，
∴MO是三角形ABD的中位线，
2 2 280
∴BD＝2MO'＝140m，BP= BD= ×140= (m)，
3 3 3
280 80
∴AP=AB-BP=120- = (m)．
3 3
【点评】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判
定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
第33页（共33页）
