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专题 10.9 统计、概率综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1． 是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日至10日的 日均值（单位： )的
折线图，则下列关于这10天中 日均值的说法不正确的是（ ）
A．众数为30
B．中位数为31.5
C．平均数小于中位数
D．后4天的方差小于前4天的方差
【答案】C
【分析】将数据从小到大排序，根据众数的定义，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B正确；
利用平均数的计算公式，求得数据的平均数，可判定C错误；根据数据的离散程度，可判定D正确.
【详解】对于A中，将数据从小到大排序，依次为 ，
其中 出现了2次，其他数据均出现了1次，所以数据的众数为 ，所以A正确；
对于B中，根据中位数的概念，可得第5个数和第6个数的平均数为中位数，
即为 ，所以B正确；
对于C中，由平均数的公式得 ，
其中 ，所以平均数大于中位数，所以C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D中，从图象可以看出后4天的数据更加集中，前4天的数据更加分散，
所以后4天的方差小于前4天的方差，所以D正确.
故选：C.
2．在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A．二项式系数和为32
B．各项系数和为128
C．常数项为
D．常数项为135
【答案】D
【分析】令 ，求出系数之和，再根据二项式系数的和结合已知求出 ，进而可判断AB；求出展开式
的通项，令 的指数等于零，即可判断CD.
【详解】令 ，得各项系数和为 ，
又二项式系数和为 ，则 ，得 ，
即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；
的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
因此展开式中的常数项为 ，故C不正确，D正确.
故选：D.
3．袋子中装有大小､形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的
是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件 ，根据古典概型结合计数原理求
，进而根据条件概率运算求解.
【详解】设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件 ，则事件 为第一次摸到红球且第二次摸
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】到红球，
可得 ， ，
所以 .
故选：B.
4．下列说法中正确的个数为（ ）个
①互斥事件一定是对立事件.
②在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 增加0.1个单位；
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
④在回归分析模型中，若相关指数 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的关系，回归分析及相关系数判断各项即可．
【详解】互斥事件不一定对立，所以①是错误的；
根据回归直线方程中回归系数的含义，可知当回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位
时，预报变量 增加 个单位,②是正确的；
根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近 ，两个变量的相关性就越强，所以③是正确的；
根据回归分析的基本思想可知相关指数 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，④是正确的．
故选：C.
5．随机变量 服从正态分布 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由随机变量 服从正态分布 ，其正态分布分布曲线的对称轴为直线 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
，且 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：D.
6．已知事件 ， 满足 ， ，则不能说明事件 ， 相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】举反例判断A，利用条件概率公式及相互独立事件的定义判断BCD.
【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子，事件A为向上的点数不超过4，事件B为向上的点数为4或5，
即 ， ， ，满足 ，但 ，
，所以事件 不相互独立，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，所以事件 相互独立，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以事件 相互独立，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，整理得
，所以事件 相互独立，故D正确；
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．随机变量 的分布列如下所示 则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由分布列的性质可得 的关系，再由期望公式求 ，由方差公式求 ，利用导数求
的最大值.
【详解】由题可知 ， ， ，
所以 ， ，
，
，
则 ，
令 ，
则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 的最大值为 ．
故选：D．
8．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】利用全概率公式结合条件可得 ，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐
项分析即得.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
由 ，可得 ，故B错误；
所以 ，故C正确；
所以 ， ，故D错误.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居
民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在 内的
居民有180人.则以下说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．
B．调查的总人数为4000
C．从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数
D．根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民
不超过全体居民的 ”的规定
【答案】ACD
【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质，概率的计算方法，以及中位数、平均
数的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由频率分布直方图的性质，可得 ，
即 ，解得 ，所以A正确；
设总共调查了 人，可得 ，
解得 ，即调查的总人数为300人，所以B错误；
中位数位于区间 ，设中位数为 ，
则 ，解得 ，
由频率分布直方图知各段的频率分别为 ，
设平均数为 ，
则 .
可得 ，所以C正确；
由评分在 的居民占调查总人数的 ，所以评分低于65分的居民不超过全体居民的 ，所以D
正确.
故选：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．在回归直线方程 中， 与 具有负线性相关关系
B．两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
D．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
【答案】AD
【分析】A选项，根据 作出判断；B选项，由相关系数的定义作出判断；C选项，根据题意列出
方程组，求出 ；D选项，根据正态分布对称性进行求解.
【详解】A选项，因为 ，故 与 具有负线性相关关系，A正确；
B选项，两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越大，越接近于1，B错误；
C选项， ，解得 ，C错误；
D选项， 服从正态分布 ，故 ，
则 ，即 ，
则 ，D正确.
故选：AD
11．若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】令 ，可判定A正确；求得展开式的通项 ，令 ，可判定B错误；由
，令 ，可判定C正确；两边求导数得到
，令 ，进而可判定以D错误.
【详解】由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于A中，令 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以B错误；
对于C中，由展开式的通项 知：
当 时，可得展开式的系数为正值，当 时，可得展开式的系数为负值；
所以 ，
令 ，可得 ，
即 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
两边求导数，可得 ，
令 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以D错误.
故选：AC.
12．已知随机变量 服从两点分布，且 ，若 ，则下列判断不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可.
【详解】依题意，得 ， ， 服从两点分布，
所以 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
，即 ，
所以ACD错误，B正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13． 的展开式中 项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据多项式相乘展开方法求解.
【详解】 的展开式中，构成 项只能是一个 、一个 、3个 相乘，
故此项为 ．
故答案为： .
14．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位： ）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，
收集了4组数据，用模型 去拟合x与y的关系，设 ，x与z的数据如表格所示：
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
得到x与z的线性回归方程 ，则 .
【答案】 /
【分析】根据已知条件，求得 ，进而代入回归方程可求得 ，从而得出 ，联立
，即可求得本题答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，
所以， ，
由 ，得 ，
所以， ，则 .
故答案为：
15．《英雄联盟》2023MSI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用
五局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的
胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为 ，比赛局数的期望值
记为 ，则 的最大值是 .
【答案】
【分析】设比赛局数为 ，分别计算出 可能取值的概率，进而求出期望值 ，再利用导数求得
的最大值，由此得解．
【详解】设比赛局数为 ，则 的可能取值为3，4，5，
则 ，
，
，
则 ，
所以 ，
因为函数 的图象对称轴为 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
16．土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施．中国现有耕地有近 受到不同程度的污染，
但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，
不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、
澳、台的30个省（区、市）．如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个
省（区、市）土壤修复工程类项目数据的第80分位数是 ，若图中未列出的其它20个省（区、
市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差
为 ．
【答案】 30 188.6
【分析】根据百分位数的定义即可求解；根据总体方差公式即可求解.
【详解】总共有30个省（区、市），第80分位数即为第24位和第25位的平均值，
第24位为广东，项目数据为28，第25位为山东，项目数据为32，故其第80分位数为30.
30个行政区域中，前10名的平均数为：
所以前10名的方差为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】除前10名外的20个省的平均数为 ，方差为44.7
而30个省的平均数为17，
方差
故答案为：30；188.6
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．2020年自主招生停止的同时，36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启，其考核内容包括学科素
质测试和体育测试.射洪中学为了解高一､高二学生对“强基计划”的了解程度，从高一､高二两个年级的学
生中随机抽取了100名同学进行问卷调查，经统计，抽到的学生中高一与高二的人数之比为 ，其中高
二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解.
(1)请补充完整 列联表，试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；
了解 不了解 合计
高二 50
高一 15
合计 100
(2)按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法，从被调查的高一学生中抽取了7人，若从这
7人中随机抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲，求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.
附表及公式： ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有把握
(2)
【分析】（1）根据题意，分别求出对应的人数，填表，然后代入公式得到的值与 比较大小，即可得
到本题答案；
（2）用列举法，即可求得本题答案.
【详解】（1）因为抽到的学生中高一与高二的人数之比为 ，
所以抽到的高一人数： ，高二人数： ，
又因为高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解，
所以高二学生不了解“强基计划”的有15人，高一新生了解的有20人，列表如下：
了解 不了解 合计
高二 50 15 65
高一 20 15 35
合计 70 30 100
因为 ，
所以，有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；
（2）因为高一学生中，了解的人数与不了解的人数是4:3，
从中抽取7人，则有4人了解情况，3人不了解情况，
设了解情况的4人为 ，不了解情况的3人为
共有情况21种： ， ，
， ， ， ，
满足情况有18种： ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， .
所以抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率 .
18．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平
和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作
用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取 位市民进行心理健康问卷调查，按所
得评分（满分 分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 的市民为 人.
(1)求 的值及频率分布直方图中 的值；
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取 人，进行心理疏导.据以往数据统计，
经过心理疏导后，调查评分在 的市民心理等级转为 “良好”的概率为 ，调查评分在 的市
民心理等级转为“良好”的概率为 ，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的 人中，经
过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
【答案】(1)2000，
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，
（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由已知条件可得 ，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知 ，
所以调查评分在 的人数占调查评分在 人数的 ，
若按分层抽样抽取 人，
则调查评分在 有 人， 有 人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的 人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为 ，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为 .
19．已知在 的展开式中，前 项的系数分别为 ， ， ，且满足 ．
(1)求展开式中各项的二项式系数的和；
(2)求展开式中系数最大的项；
(3)求展开式中所有有理项．
【答案】(1)
(2) 和
(3) 和
【分析】（1）由条件先求出 ，利用二项式定理系数的性质写出结果即可；
（2）写出展开式的通项，记第 项系数最大，则有 ，且 ，由此可得展开式中系数最大的项；
（3）令 的幂指数为整数，求得 的值，即可求得展开式中的有理项．
【详解】（1） 的展开式通项公式为 ， ， ， ， ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ，
因为 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以二项式 展开式中各项的二项式系数的和为 ；
（2）二项式 的展开式通项公式为 （ 且 ），
记第 项系数最大，则有 ，且 ，
即 ，解得 ，又 ，所以 或 ，
所以系数最大项为第3项 和第4项 ；
（3）因为二项式 的展开式通项公式为 （ 且 ），
令 ， 且 ，则 或 ，
所以展开式中有理项为 和 .
20．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民
（分为18﹣40岁、41岁﹣70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分
为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘
制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18﹣40 岁人群 60 30
41﹣70 岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)从A、B小区41﹣70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量
X，求X的分布列和数学期望；
(3)求事件E：“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，这两名居民均
对垃圾分类比较了解”的概率
【答案】(1) ；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）根据古典概型计算即可；
（2）根据随机事件求分布列的步骤求解计算可得；
（3）根据全概率及独立事件的概率乘法公式计算可得.
【详解】（1）设从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件C，
;
（2）A小区比较了解的概率为： ,B小区比较了解的概率为：
X可取
, ,
,
X的分布列为
.
（3）从A小区的三个年龄组随机抽取两组取18﹣40岁、41岁﹣70岁各一人为事件 ,从A小区的三个年
龄组随机抽取两组取18﹣40岁及其他人群各一人为事件 , 从A小区的三个年龄组随机抽取两组取41岁
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】﹣70岁及其他人群各一人为事件
.
21．某研发小组为了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额 （单位：亿元）的影响，结合近
10年的年研发资金投入量 和年销售额 的数据（ ），建立了两个函数模型：① ，
② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数.设 ， ，经过计
算得如下数据.
20 66 770 200 14
46
4.20 3125000 0.308 21500
0
(1)设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更
好的模型.
(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立 关于 的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归
方程，若当年的销售额大致为 亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式：相关系数 ，
线性回归直线 中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)模型 的拟合程度更好
(2) ，8亿元
【分析】（1）根据题干所给数据求出相关系数为 、 即可判断；
（2）由（1）可得 两边取对数可得 ，即 ，再由所给数据求出 、 ，即可得到
回归方程，再代入 求出 即可.
【详解】（1）由题意可知 ，
因为 ，所以从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好.
（2）因为 ，所以 ，即 .
由题中数据可得 ，
则 ，从而 关于 的线性回归方程为 ，
故 ，即 .
将年销售额 亿元，代入 ，得 ，解得 ，
故估计当年的研发资金投入量为 亿元.
22．根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】概
率
其中 ， .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭有
个孩子 ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增
加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由.
(2)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 .
【答案】(1)不存在 的值使得 ，理由见解析
(2) ，
【分析】（1）由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到 ，令
， ，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案；
（2）由 和 求出 ，并用全概率公式求出 .
【详解】（1）不存在 的值使得 ，理由如下：
由题意得， ①，且 ②，
由②得到 ，将其代入①，整理得到 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 在 处取得极小值，也是最小值，
又 ，
故 无解，
所以不存在 的值使得
（2）若 ，则 ，解得 ，
， ， ，
由全概率公式可得 ，
因为 ， ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
