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专题 10.6 离散型随机变量及其分布列、数学期望与
方差
题型一 离散随机变量
题型二 求分布列
题型三 分布列的性质应用
题型四 求离散随机变量的均值与方差
题型五 均值和方差的性质应用
题型六 决策问题
题型一 离散随机变量
例1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有 个黑球 个红球，任取 个，取得一个红球的可能性
例2．（多选）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（ ）
A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X
B．一个沿直线 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y
C．某景点7月份每天接待的游客数量
D．某人一生中的身高X
练习1．下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数 ；
②一个沿 轴进行随机运动的质点，它在 轴上的位置 ；
③某派出所一天内接到的报警电话次数 ；④某同学上学路上离开家的距离 ．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习2．(多选题)下列变量：
①某机场候机室中一天的旅客数量为 ；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 ；
③某水电站观察到一天中长江的水位为 ；
④某立交桥一天内经过的车辆数为 .
其中是离散型随机变量的是（ ）
A．①中的 B．②中的
C．③中的 D．④中的
练习3．(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用 表示甲的得分，
则 表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局平两局
练习4．下列随机变量中是离散型随机变量的是_____，是连续型随机变量的是_____（填序号）．
①某机场候机室中一天的旅客数量X；
②某水文站观察到一天中江水的水位X；
③某景区一日接待游客的数量X；
④某大桥一天经过的车辆数X.
练习5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到
取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为 .(1)写出 的所有可能取值;
(2)写出 所表示的事件.
题型二 求分布列
例3．（多选）已知随机变量ξ的分布列为：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若 ，则实数 的值可以是（ ）
A．5 B．7
C．9 D．10
例4．不透明的盒子中有 个球，其中 个绿球， 个红球，这 个小球除颜色外完全相同，每次不放回的
从中取出 个球，取出红球即停. 记 为此过程中取到的绿球的个数.
(1)求 ；
(2)写出随机变量 的分布列，并求 .
练习6．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此
人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对
值，则 等于_____．
练习7．掷两颗骰子，用X表示两点数差的绝对值.求X的分布.练习8．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为
记 ．
，
(1)求X的概率分布；
(2)求 .
练习9．同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，
若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入
闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为 ，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．
(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；
(2)同学甲成功通过关卡的个数为 ，求 的分布列．
练习10．某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.
在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5四个数字，抽奖规则为：
每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为 ， ，若
为奇数即为中奖.
(1)求某顾客甲获奖的概率；
(2)求随机变量 的分布列与数学期望 .
题型三 分布列的性质应用
例5．（多选）随机变量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且 ，
X 2 4 6
P a b c
则（ ）A．a＋b＋c＝1 B．
C． D．
例6．设 ，随机变量 的分布列为
0 1 2
P b
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大
B． 减小
C． 先减小后增大
D． 先增大后减小
练习11．已知随机变量 的分布列为 ，2，3， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习12．下列表中能称为随机变量X的分布列的是（ ）
A．
X －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B．
X 1 2 3P 0.4 0.7
C．
X 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D．
X 1 2 3
P 0.3 0.4 0.4
练习13．已知随机变量 的分布列为 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习14．设随机变量 的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P
且数列 满足 ，则 _____．
练习15．设随机变量 的概率分布为 ， 为常数， ， ， ， ，则 _____ ．
题型四 求离散随机变量的均值与方差
例7．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数，则（ ）
A． B．
C． D．
例8．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．
已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 ， .在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为_____．
练习16．（多选）设 ，随机变量的分布列如下：
ξ 0 1 2
P 0.5 0.5－x x
则当x在 内增大时（ ）
A． 减小 B． 增大
C． 减小 D． 增大
练习17．随机变量 的概率分布列如下：
－1 0 1
其中 ， ， 成等差数列，若随机变量 的期望 ，则其方差 ＝_____．
练习18．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、
丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为 ；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 和 ；丙在预赛和
半决赛中晋级的概率分别为 和 ，其中 ，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．
(1)试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 ，求三人中进入决赛的人数 的分布列和期望．
练习19．甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取
“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
练习20．喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班
可以从 两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每
个班的题目必须来自同一题库， 题库每题20分， 题库每题30分，一班能正确回答 题库每题的概
率分别为 、 ，二班能正确回答 题库每题的概率均为 ，且每轮答题结果互不影响．
(1)若一班前两轮选 题库，后三轮选 题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和二班在前两轮比赛中均选了 题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三
轮换成 题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为 ，求 的分布列，并从每班总分的均值来
判断，哪个班赢下这场比赛？
题型五 均值和方差的性质应用
例9．设随机变量 的分布列如下（其中 ）， 表示 的方差，则当 从0增大到1时（ ）
0 1 2A． 增大 B． 减小
C． 先减后增 D． 先增后减
例10．（多选）已知随机变量 的分布列为
若随机变量 ， ， ，则下列选项正确的为（ ）
A． B． C． D．
练习21．（多选）已知离散型随机变量 的分布列为
若离散型随机变量 满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 0 C． D．
练习22．（多选）若随机变量X服从两点分布，其中 ， ， 分别为随机变量X的
均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．练习23．（多选）已知随机变量 的分布列如下表所示，且满足 ，则下列选项正确的是（ ）
0 2
A． B． C． D．
练习24．（多选）设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量 描述一次试验的成功次数， ，
分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A． B．
C． D．
练习25．已知随机变量 的分布列为
0 1 2
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)若 ，求 .
题型六 决策问题
例11．从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选
项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确
答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三个选项的概率为 （其中 ）.现甲乙两名学生独立解题.
(1)假设每道题甲全部选对的概率为 ，部分选对的概率为 ，有选错的概率为 ；乙全部选对的概率为 ，
部分选对的概率为 ，有选错的概率为 ，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；
(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中
的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做
出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.
例12．核酸检测也就是病毒 和 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于
新型冠状乙肝､丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体
有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备 份试验用血液标本，
从标本中随机取出 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果
为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直
到确定所有样本的结果： 份阳性， 份阴性.若每次检测费用为 元（ 为常数），记检测的总费用为
元.
(1)当 时，求 的分布列和数学期望.
(2)以检测成本的期望值为依据，在 与 中选其一，应选哪个？
练习26．王师傅用甲、乙两台不同型号的车床加工某种零件，已知用甲车床加工的零件合格的概率为 ，
用乙车床加工的零件合格的概率为 ，且每次加工的零件是否合格相互独立．
(1)若王师傅用甲、乙车床各加工2个零件，求他加工的零件恰好有3个合格的概率；
(2)若王师傅加工3个零件，有以下两种加工方案：
方案一：用甲车床加工2个零件，用乙车床加工1个零件；
方案二：每次用一台车床加工1个零件，若加工的零件合格，则下次继续用这台车床加工，否则下次换另
一台车床加工，且第一次用甲车床加工．
若以加工的合格零件数的期望值为决策依据，应该选用哪种方案？练习27．2022年5月14日6时52分，编号为B-001J的C919大飞机从上海浦东机场第4跑道起飞，于9
时54分安全降落，标志着中国商飞公司即将交付首家用户的首架C919大飞机首次飞行试验圆满完成．
C919大飞机某型号的精密零件由甲、乙制造厂生产，产品按质量分为 ， ， 三个等级，其中 ， 等
级的产品为合格品， 等级的产品为不合格品．质监部门随机抽取了甲、乙制造厂的产品各400件，检测
结果为：甲制造厂的合格品为380件，甲、乙制造厂的 级产品分别为80件、100件，两制造厂的不合格
品共60件．
(1)补全下面的 列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为产品的合格率与制造厂有关？
不合格
合格品 合计
品
甲制造厂 400
乙制造厂 400
合计 800
(2)若每件产品的生产成本为200元，每件 ， 等级的产品出厂销售价格分别为400元、320元， 等级
的产品必须销毁，且销毁费用为每件20元．用样本的频率代替概率，试比较甲、乙制造厂生产1件这种产
品的平均盈利的大小．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
练习28．某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各
进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质
检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员
中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车．假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每
一次检测不合格的概率为
(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率p；
(2)每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，求每辆汽
车需要检测的费用X的分布列及数学期望．(3)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?
练习29．某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10
元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十
盒），获得如下数据：
日销售量/十盒 7 8 9 10
天数 8 12 16 4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
练习30．某学校组织“中亚峰会”知识竞赛，有 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择
一类并从中随机抽取一个问题回答.若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随
机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. 类问题中的每个问题回答正确得
分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得 分，否则得0
分.已知学生甲能正确回答 类问题的概率为 ，能正确回答 类问题的概率为 ，且能正确回答问题的
概率与回答次序无关.
(1)若学生甲先回答 类问题， ，记 为学生甲的累计得分，求 的分布列
和数学期望.
(2)若 ，则学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并说明理由.
