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专题 10.5 互斥对立，条件概率与独立事件
题型一 互斥与对立
题型二 频率与概率
题型三 古典概型
题型四 独立事件的概率
题型五 条件概率
题型六 全概率公式
题型七 贝叶斯公式
题型一 互斥与对立
例1．抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（
）．
A．掷出的点数为偶数 B．掷出的点数为奇数
C．掷出的点数小于2 D．掷出的点数小于3
【答案】C
【分析】根据已知写出对应事件的基本事件，根据互斥、对立概念判断各项与事件A的关系.
【详解】由题意， ，而事件 ，
“掷出的点数为偶数”对应基本事件有 ，与A不互斥，
“掷出的点数为奇数”对应基本事件有 ，与A不互斥，
“掷出的点数小于2”对应基本事件有 ，与A互斥且不对立，
“掷出的点数小于3”对应基本事件有 ，与A对立．
故选：C
例2．一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，
0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率．
(2)至少射中7环的概率．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)0.52
(2)0.87
【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；
（2）利用对立事件的概率求解.
【详解】（1）设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为
A，B，C，D，E，
可知它们彼此之间互斥，且 ，
所以 ，
所以所以射中10环或9环的概率为0.52.
（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，
则 ，
所以至少射中7环的概率为0.87.
练习1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生，
因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是；
对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是；
对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是；
对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是.
故选：A
练习2．已知随机事件 中， 与 互斥， 与 对立，且 ，则
（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由对立事件概率关系得到 发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可..
【详解】因为 ，事件 与 对立，
所以 ，
又 ， 与 互斥，
所以 ，
故选：C.
练习3．下列说法中正确的是（ ）
A．若事件 与事件 是互斥事件，则
B．对于事件 和 ，
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”
与事件“乙分得红牌”是互斥事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件以及事件的关系与运算逐一判断即可.
【详解】选项A，因为事件 与事件 是互斥事件，但不一定对立，所以 不一定成立，故
选项A错误；
选项B，因为事件 和 不一定是互斥事件，所以没有 ，故选项B错误；
选项C，因为事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”，可以同时发生，故选项C错误；
选项D，因为件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，所以这两事件是互斥事件，故选项
D正确.
故选：D.
练习4．（多选）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号为
1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于
5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件
C．事件 发生的概率为 D．事件 发生的概率为
【答案】CD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据已知，利用列举法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型进行求解.
【详解】由题可知，事件A的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，
甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个；
事件B的所有基本事件为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，
甲4乙5，甲4乙6，共8个；所以事件A与事件B有“公共部分”，故A、B错误；
所以事件 的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，
甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个；
又从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共 个基本事件，
所以事件 发生的概率为 ，故C正确；
事件 发生的概率为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4
乙6，共8个，所以事件 发生的概率为 ，故D正确；
故选：CD.
练习5．某射击运动员在一次射击中，射中 环的概率是射中 环的概率的2倍，运动员射中 环以下的概
率为 ，求运动员在一次射击中，射中 环的概率．
【答案】
【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案.
【详解】设事件 分别表示“射中 环”“射中 环”“射中 环以下”，则 ，
因为 ，所以 ，
得 .
即运动员在一次射击中，射中 环的概率为 .
题型二 频率与概率
例3．在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（ ）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
B．抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
C．抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5
【答案】D
【分析】根据古典概型判断AB，利用概率与频率的关系判断CD.
【详解】抛掷两枚硬币，出现的基本事件为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事
件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为 ，故A错误；
“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，不能说明 ，应有 ，故B错误；
抛掷100次硬币，事件A发生的频率与抛掷50次硬币A发生的频率不能判断谁更接近于0.5，故C错误；
根据频率与概率的关系知，当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5，故D正确.
故选：D
例4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米3285石，验得米内
有夹谷，抽样取米一把，数得261粒米内有夹谷29粒，则这批米内夹谷约为 石.
【答案】365
【分析】用样本频率估计总体频率，按比例计算．
【详解】设这批米内夹谷约为 粒，则 ，解得 ，
则这批米内夹谷约为 ．
故答案为： ．
练习6．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸
出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红
球约有 个.
【答案】
【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案.
【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近，
估计袋中红球个数是 .
故答案为： .
练习7．某制造商今年 月份生产了一批乒乓球，随机抽取 个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：
mm），将数据分组如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分组 频数 频率
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为 ，则这批乒乓球的直径误差不超过 的
概率是 ．
【答案】
【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案.
【详解】标准尺寸是 ，并且误差不超过 ，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为 ，
所以直径误差不超过 的概率约为 .
故答案为：
练习8．（多选）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下
的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：
总人次
大米套餐人次数 面食人次数
数
1000 550 260
假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件
H，若用频率估计事件发生的概率，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用频率求各事件对应的概率，应用互斥事件加法求 ，判断各项正误.
【详解】用频率估计概率得： ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故A，B，C正确；
表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，
故 ，故D错误，
故选：ABC．
练习9．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A
查到共有840人参与评价，其中好评率为 ，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为
．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为 .
故选：B.
练习10．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得
此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在 的概率约为0.5
【答案】C
【分析】利用各组的频率之和为1，求得 的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估
计概率值，从而判定D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ，解得 ，故A正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为 ，所以众数为45，故B正确；
质量指标大于等于60的有两组，频率之和为 ，所以60不是中位数，故C错误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为 ，可以近似认为从这批产品中随机选取1个
零件，其质量指标在 的概率约为0.5，故D正确.
故选:
题型三 古典概型
例5．用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，用列举法可写出所有基本事件，再利用古典概型可解．
【详解】根据题意，用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数有：102，120，210，201共四种情
况，
其中三位数是偶数有：102，210，120，共3种情况，
故用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是 .
故选：D．
例6．若从集合 中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰
好含有2个连续整数的概率等于 ；
【答案】 ./0.6
【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】从 中任取3个元素形成的子集共有 个，
当连续整数为1，2时，此时符合条件的子集有2个；
当连续整数为2，3时，此时符合条件的子集有1个；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当连续整数为3，4时，此时符合条件的子集有1个，
当连续整数为4，5时，此时符合条件的子集有2个，
故有6个子集中恰好含有两个连续整数．
故所求概率为 ，
故答案为：
练习11．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡
风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风
情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这
6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法、对立事件概率求法求概率即可.
【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有 种情况，
至少选一个苏州古镇的概率为 ．
故选：C
练习12．一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从
袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出所有可能的结果，并找出其中符合题意的情况即可得解.
【详解】由题意设2个红球分别用 表示，2个黑球分别用 表示，1个白球用 表示，
则取出的三个球的组合有以下 种情形：
、 、 、 、 、 、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】、 、 、 ，
其中符号条件的有以下四种情形：
、 、 、 .
因此从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为 .
故选：D.
练习13．2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举
办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事．赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动．现将4名志愿者
分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志
愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为 ．
【答案】
【分析】按照分组分配的方法，再结合古典概型概率公式，即可求解.
【详解】4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目，有 种方法，
将4名志愿者按照1，3的分组，再分配的方法，共有 种方法，
所以“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率 ．
故答案为：
练习14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王
的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组
分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为
．
【答案】
【分析】用列举法进行求解即可.
【详解】设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a，a，a，田忌的下等马、中等马、上等马分别为
1 2 3
b，b，b.
1 2 3
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a，b)，(a，b)，(a，b)，齐王获胜；
1 1 2 2 3 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(a，b)，(a，b)，(a，b)，齐王获胜；
1 1 2 3 3 2
(a，b)，(a，b)，(a，b)，齐王获胜；
2 1 1 2 3 3
(a，b)，(a，b)，(a，b)，齐王获胜；
2 1 1 3 3 2
(a，b)，(a，b)，(a，b)，田忌获胜；
3 1 1 2 2 3
(a，b)，(a，b)，(a，b)，齐王获胜，共6种．
3 1 1 3 2 2
其中田忌获胜的只有一种情形，即(a，b)，(a，b)，(a，b)，则田忌获胜的概率为 .
3 1 1 2 2 3
故答案为：
练习15．某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成 ， ，
， ， 五组，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据 ， ， 成等差数
列，成绩落在区间 内的人数为300.
(1)求出频率分布直方图中 ， ， 的值；
(2)估计该校学生分数的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)现采用分层抽样的方法从分数落在 ， 内的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取
2人进行现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间 内的概率.
【答案】(1) ， ，
(2)中位数为69，平均数为71
(3)
【分析】（1）由成绩落在区间 内的人数为300，可求出 ，再由各组的频率和为1，结合 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】成等差数列，可求出 ，
（2）先判断中位数的位置，再列方程求解，利用平均数的定义求平均数即可，
（3）由分层抽样的定义求得抽取的6人中成绩位于 的人数为4，这4人分别记为 ， ， ， ，
成绩位于 的人数为2，这2人分别记为 ， ，然后利用列举法求解概率.
【详解】（1）由已知可得 ，
则 ，即 ，
又因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
解得 ， ，
（2）可知 ， ，
设中位数为 ，则 ，由 ，解得 ，即中位数为69，
平均数为 .
（3）成绩位于区间 内的学生有 人，成绩位于区间 内的学生有
人，
通过分层抽样抽取的6人中成绩位于 的人数为 ，这4人分别记为 ， ， ， ，
成绩位于 的人数为 ，这2人分别记为 ， ，
从上述6人中抽取2人的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，共15种，
其中恰有1人的得分在区间 内的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8种，
故所求概率 .
题型四 独立事件的概率
例7．甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别 ，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】没有击中目标的概率为 ，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为 ，已知“甲击中目标”，“乙击中目
标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则 的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由独立事件的概率公式列方程组求解．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：C．
例8．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为 ，则灯亮的概率为 ．
【答案】 /0.8125
【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算.
【详解】记开关 闭合为事件A，B，C，D，
因为开关 断开且开关 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，
所以灯不亮的概率为 ,
所以灯亮的概率为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习16．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚骰子奇数面朝上”，事件 “第二枚骰子偶
数面朝上”，事件 “两枚骰子向上点数之和为 ”.则下列结论正确的是（ ）
A． 与 对立 B． 与 互斥
C． D． 与 独立
【答案】D
【分析】根据对立事件、互斥事件、古典概率、相互独立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，事件 “第一枚骰子奇数面朝上”， 事件 “第二枚骰子偶数面朝上”，
两个事件可以同时发生，即“第一枚骰子奇数面朝上，第二枚骰子偶数面朝上”，
所以 与 不是对立事件，A选项错误.
B选项，事件 “第一枚骰子奇数面朝上”， 事件 “两枚骰子向上点数之和为 ”，
两个事件可以同时发生，如“第一枚骰子为 点，第二骰子为 点”，
所以 与 不是互斥事件，B选项错误.
基本事件的总数为 ，
事件 “两枚骰子向上点数之和为 ”，包含的基本事件为：
，共 个，所以 ，C选项错误.
事件 “第二枚骰子偶数面朝上”，则 ，
事件 “第二枚骰子偶数面朝上，两枚骰子向上点数之和为 ”，包含的基本事件为：
，所以 ，
所以 ，所以 与 独立，所以D选项正确.
故选：D
练习17．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如
果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段
比赛的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均为 ，且三人每次
通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为 ，利用相互独立事件的概率计
算可得出结果.
【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为 ，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为 ，即进入决赛的概率为 .
故选：B
练习18．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采
用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在
平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率
为 ，樊振东发球时马龙得分的概率为 ，各球的结果相互独立，在双方 平后，马龙先发球，则双
方战至 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】记甲为马龙，乙为樊振东
在比分为 后甲先发球的情况下，甲以 赢下此局分两种情况：
①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为： .
②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为， ，
乙以 赢下此局分两种情况：
③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为：
④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，所求事件概率为 .
故选：A
练习19．（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为 事件，“第二次抛掷结
果向上的点数是3的倍数”记为 事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为 事件，“两次抛
掷结果向上的点数之和为奇数”记为 事件，则下列叙述中不正确的是（ ）
A． 与 互斥 B．
C． 与 相互独立 D． 与 不相互独立
【答案】ABC
【分析】由已知，根据题意，分别写出事件A、B、C、D包含的基本事件，并计算出概率，然后根据选项
一一验证即可做出判断.
【详解】因为抛掷一次骰子，包含 个基本事件，
事件 表示结果向上的点数为 、 ，所以 ；
事件 表示第二次抛掷结果向上的点数为 、 ，所以 ；
事件 表示结果向上的点数为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，共18种情况，
而抛掷两次骰子共出现 种情况，所以 ；
事件 表示结果向上的点数为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，共18种情况，
而抛掷两次骰子共出现 种情况，所以 ；
对于A：由上述事件 与事件 表示的结果可知， ，所以事件 与事件 互斥且对立，故A正
确；
对于B：因为 ， 表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小
于 的概率，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中 有 ， ， ， ， ， 共6种情况，
所以 ，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ， ，
表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，
其中 有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 与 相互独立，故C正确；
对于D：因为 ， ，
而 表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，
其中 有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 与 相互独立，故D错误；
故选：ABC.
练习20．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 ，乙同学一次投篮命中的概
率为 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是 ．
【答案】 /
【分析】根据互斥事件与独立事件的概率运算公式求解即可得所求事件的概率.
【详解】设A，B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中”
所以
则恰有一人命中的概率为 ．
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】题型五 条件概率
例9．从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件 ：“取出的5个不同的数的中位数是
4”，事件 ：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中位数的性质、平均数的定义，结合古典概型、条件概率的公式进行求解即可.
【详解】根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为 ，
这5个数的中位数是4的基本事件有 个，
所以 ，
其中5个数的平均数都是4的基本事件有
1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3种情况，
这3种情况恰好也是 的基本事件，
所以 ，所以 ，
故选：C
例10．（多选）已知 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据概率的性质及事件的运算关系，结合独立事件、条件概率公式判断各项的正误.
【详解】仅当 与 相互独立时， 成立，故A不正确；
当 和 是两个互斥事件时 才成立，故B不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABD
练习21．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习
“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，
现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（
）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出事件，利用条件概率求解公式计算.
【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，
所以 ， ，
所以 ．
故选：B
练习22．若 是互斥事件且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】因为 是互斥事件，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：D.
练习23．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中
随机取出一球放入乙罐，分别以 、 和 表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一
球，以 表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全概率公式求得 ，结合条件概型的知识确定正确答案.
【详解】依题意， ，A选项正确.
，B选项错误，
，C选项错误，
，D选项错误.
故选：A
练习24．已知 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】利用条件概率公式和对立事件的公式进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
.
故答案为：
练习25．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球为1个，
标号为1的2个，标号为2的n个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是 .
(1)求n的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据取到标号都是2的概率列出式子即可求解；
（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件 ，“另一个小球的标号是1”为事件 ，求出 ，
利用条件概率公式即可求出.
【详解】（1）由题意得 ，解得 或 （舍去）；
（2）记“其中一个小球的标号是1”为事件 ，“另一个小球的标号是1”为事件 ，
则 ， ，所以 .
题型六 全概率公式
例11．甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单
位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：
，
故选：D
例12．已知 ，则 ．
【答案】0.74/
【分析】运用条件概率公式、对立事件概率公式及全概率公式即可求得结果.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：0.74.
练习26．甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放
入乙口袋，分别以 ， 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以
表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出 ， ，再根据全概率公式求出 ，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】 ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
故选：A.
练习27．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为 ；若浇水，盆
栽枯萎的概率为 ．邻居浇水的概率为 ．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记 为事件“盆栽没有枯萎”， 为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得 的
值，再利用对立事件的概率公式可求得 的值.
【详解】记 为事件“盆栽没有枯萎”， 为事件“邻居给盆栽浇水”，
由题意可得 ， ， ， ，
由全概率公式可得 ,
由对立事件的概率公式可得 ，
故选：B.
练习28．有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占 ，乙工厂生产的占 .已知甲、乙两工厂生
产的该型号产品的次品率分别为 ， ，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 .
【答案】0.024
【分析】利用全概率公式直接求解．
【详解】设 ， 分别表示甲、乙厂生产的产品， 表示取到次品，
则 ， ，
， ，
从中任取一件产品取到次品的概率为：
，
故答案为：0.024．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习29．有 台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率为 ，第 ， 台加工的次品率均为 ，
加工出来的零件混放在一起，第 ， ， 台车床加工的零件数分别占总数的 ， ， .随机取一
个零件，记 “零件为次品”， “零件为第 台车床加工” ，则下列结论：
①
②
③
④
其中正确的序号为 .
【答案】①②③
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个结论即可.
【详解】因为 ，故①正确；
因为 ，故②正确；
因为 ， ，
所以 ，故③正确；
由③可得 ，
又因为 ，故④错误．
故答案为：①②③.
练习30．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000
多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青
团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青
团”和4个青菜馅的“青团”.问：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青
团”是蛋黄馅的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型方法求解即可；
（2）根据条件概率公式求解即可；
（3）从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱可能的情况有3种，再根据全概率与条件概率公式求解即可.
【详解】（1）设事件 “取出青团是蛋黄馅”， .
（2）设事件 “甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件 “取出第二个青团是肉馅”，
.
（3）设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”.
设事件 分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，
题型七 贝叶斯公式
例13．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：
，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中 称为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放
入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出 个球，其中白球的个数为 个的事件为 ，事件 的概率
为 ，从乙中取出 个球，其中白球的个数为2个的事件为 ，事件 的概率为 ，再分别分析
三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出 个球，其中白球的个数为 个的事件为 ，事件 的概率为 ，从乙中取出
个球，其中白球的个数为2个的事件为 ，事件 的概率为 ，由题意：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故选：C
例14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，
周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周
六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为
．
【答案】
【分析】设事件 为“甲同学周日去A馆”，事件 为“甲同学周六去A馆”，即求 ，根据贝叶
斯概率公式求解即可.
【详解】设事件 为“甲同学周日去A馆”，事件 为“甲同学周六去A馆”，即求 ，
根据题意得 ， ， ，
则 .
故答案为： .
练习31．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占 ，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都
占 ，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可.
【详解】设事件 表示“取到第 号袋子”( =1，2，3，4，5)，事件 表示“取到白球”，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则由贝叶斯公式得 ，
故选：A
练习32．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为
0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3
【答案】A
【分析】设 表示该汽车是货车， 表示该汽车是客车，即得 ， ，设 表示货车中途停车修
理， 表示客车中途停车修理，则 ， ，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车
中途停车修理，该汽车是货车的概率．
【详解】设 表示该汽车是货车， 表示该汽车是客车，则 ， ，
设 表示货车中途停车修理， 表示客车中途停车修理，则 ， ，
表示一辆汽车中途停车修理，则 ，
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：
．
故选：A
练习33．某货车为某书店运送书籍，共 箱，其中 箱语文书、 箱数学书、 箱英语书．到达目的地时
发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的 箱书中随机打开 箱，结果是 箱语文书、 箱数学书，
则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记事件 从剩下的 箱书中随机打开 箱，结果是 箱语文书、 箱数学书，记事件 丢失的一
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】箱是语文书，事件 丢失的一箱是数学书，事件 丢失的一箱是英语书，利用全概率公式求出 的
值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件 从剩下的 箱书中随机打开 箱，结果是 箱语文书、 箱数学书，
记事件 丢失的一箱是语文书，事件 丢失的一箱是数学书，事件 丢失的一箱是英语书，
则 ，
，
由贝叶斯公式可得 .
故选：B.
练习34．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3
台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的
10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概
率为 ．
【答案】
【分析】利用贝叶斯公式即可求得答案.
【详解】记事件 ：车床加工的零件为次品，记事件 ：第 台车床加工的零件，
则 ， ， ， ， ， ，
任取一个零件是次品的概率为
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为
.
故答案为： .
练习35．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】80%，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%，
某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为 （精确
到0.1%）.
【答案】86.4%
【分析】根据贝叶斯公式，即可求得答案.
【详解】用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品，
则由已知得 ， ， ，
∴
≈ ，
故答案为：86.4%
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
