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§10.4 随机事件的概率与古典概型
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概
率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一
些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
1．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的
次数n 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f(A)＝为事件A出现的频率．
A n
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件A发生的频率f(A)随着试验次数的增加稳定于概率
n
P(A)，因此可以用频率f(A)来估计概率P(A)．
n
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B
包含关系 B ⊇ A (或A⊆B)
包含事件A(或称事件A包含于事件B)
相等关系 若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A ＝ B
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发
并事件(和事件) 生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或 A∪B(或A＋B)
和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发
交事件(积事件) 生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或 A∩B(或AB)
积事件)
互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则 A∩B＝∅且 P(A∪B)
对立事件
称事件A与事件B互为对立事件 ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 1
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 .
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ．(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝ 1 － P ( B ) ．
4．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
P(A)＝.
微思考
1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
提示 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机
试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？
提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即
两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(2)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能
事件．( × )
(4)试验“口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红
球”是古典概型．( × )
题组二 教材改编
2．下列事件中，不是随机事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B．经过有信号灯的路口，遇上红灯
C．下周六是晴天
D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
答案 A
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次
射击中不够8环的概率为( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
答案 D
解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为________．
答案
解析 设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C.容易
得到如图．
甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝.
题组三 易错自纠
5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加
三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5
天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝＝.故选B.
6．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，
则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
答案
解析 由题意知，事件A表示“出现的是1点，3点或5点”；事件B表示“出现的是3点
或6点”．
所以事件A∪B表示“出现的是1点，3点，5点或6点”，包含4个基本事件；事件A∩B
表示“出现的是3点”，包含1个基本事件．
又抛掷一枚骰子的结果有6种，
所以P(A∪B)＝＝，P(A∩B)＝.
题型一 随机事件命题点1 随机事件的关系
例1 (1)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对
立事件的是( )
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
答案 A
解析 依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对
立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次
答案 D
解析 根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中
三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
命题点2 随机事件的频率与概率
例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气
温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六
月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为
450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，
最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
命题点3 互斥事件与对立事件的概率
例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖
单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖
的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
依题意，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中
一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
思维升华 (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；
若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．
(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增
加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大
小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，
利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件
的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正
难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
跟踪训练1 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取 3个球，给出下列四组事件：
①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”和“全是黑球”；③“至少有
1个白球”和“至少有2个白球”；④“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”．在上述
每组事件中，互为对立事件的是( )
A．① B．② C．②③ D．①④
答案 B
解析 ①互斥但不对立；②互为对立事件，③不是互斥事件，④不是互斥事件．
(2)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35～50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是( )
A．该教职工具有本科学历的概率低于60%
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50%
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
答案 D
解析 A中，该教职工具有本科学历的概率P＝＝＝62.5%>60%，故错误；B中，该教职工
具有研究生学历的概率P＝＝＝37.5%<50%，故错误；C中，该教职工的年龄在50岁以上
的概率P＝＝≈8.3%<10%，故错误；D中，该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学
历的概率P＝＝＝12.5%>10%，故正确．
(3)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事
件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A∪(表示事件B的对立事件)发生的
概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵事件B表示“小于5的点数出现”，
∴B的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
∴表示的事件是出现的点数为5或6.
∵事件A表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现的点数为2或4，
∴P(A)＝＝，P()＝＝，∴P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
题型二 古典概型
1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一
项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词
最早见于东汉徐岳所撰写的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周
甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作
定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一
粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的
大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的
数为质数(除了1和本身没有其它的约数)的概率是( )A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意可知，算盘所表示的数可能有：7,16,25,52,61,70，
其中是质数的有：7,61，故所求事件的概率为P＝＝.
2．(2020·江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为
5的概率是________．
答案
解析 列表如下：
第一次
和 1 2 3 4 5 6
第二次
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
点数的和共有36种等可能情形，其中和为5的共有4种情形，由古典概型的概率公式可得
点数和为5的概率P＝＝.
3．(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学联考)从左至右依次站着甲、乙、
丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概
率是________．
答案
解析 从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两
次这样的调换，基本事件总数为n＝C·C＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随
机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，
第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲乙丙、丙甲
乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙左边包含的基本事件个数 m＝6，∴经过这样的调换后，
甲在乙左边的概率P＝＝＝.
思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A包含的基本事件的
个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法以及排列、组合法．
题型三 古典概型与统计的综合应用
例4 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校
本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用
在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五
组，得到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1
人在[6,8)组中的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得0.06×2＋0.08×2＋0.2×2＋2m＋0.06×2＝1，所以m＝0.1，
学生的平均学习时间为1×0.12＋3×0.16＋5×0.4＋7×0.2＋9×0.12＝5.08.
(2)由频率分布直方图可得，[4,6)中有20人，[6,8)中有10人，根据分层抽样，需要从[4,6)中
抽取4人，分别记为A ，A ，A ，A ，从[6,8)中抽取2人，分别记为B ，B ，再从这6人中
1 2 3 4 1 2
随机抽取 2人，所有的抽取方法有 AA ，AA ，AA ，AB ，AB ，AA ，AA ，AB ，
1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 2 3 2 4 2 1
AB，AA，AB，AB，AB，AB，BB 共15种，其中恰有一人在[6,8)组中的抽取方法有
2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2
AB ，AB ，AB ，AB ，AB ，AB ，AB ，AB 共8种，所以，从这6人中随机抽取2人，
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2
恰有1人在[6,8)组中的概率为.
思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考
查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频数分布表、频率分布直方图、
茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．
跟踪训练2 空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空
气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～
200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录了某地2020年
某月10天的AQI的茎叶图如图所示．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指
标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率．
解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本
中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的概率为，从而估计该月空气质量优良
的天数为30×＝12.
(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a，a，a，a；
1 2 3 4
为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.
从中随机抽取两天的所有可能结果有(a ，a)，(a ，a)，(a ，a)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，
1 2 1 3 1 4 1 1 2
a)，(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15
3 2 4 2 2 3 4 3 3 4 4
个．
其中空气质量等级恰好不同的结果有(a ，b)，(a ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，b)，(a ，c)，
1 1 2 2 3 3
(a，b)，(a，c)，(b，c)，共9个．
4 4
所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为＝.
课时精练
1．从6个篮球，2个排球中任选3个球，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3个都是篮球 B．至少有1个排球
C．3个都是排球 D．至少有1个篮球
答案 D
解析 根据题意分析可得A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件．
2．(2020·全国Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3
点共线的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，
D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，共10种，其中取到的3点共线的有(O，A，C)，(O，B，D)，共2种，所以所求概率为
＝.
3．(2020·重庆模拟)第六届世界互联网大会发布了15项世界互联网领先科技成果，其中有5
项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏 920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端 AI
芯片、思元270、赛灵思的Versa自适应计算加速平台．现有3名学生从这15项世界互联网
领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选
择芯片领域的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之
间的选择互不影响，则基本事件总数n＝15×15×15＝3 375，至少有1名学生选择芯片领域
的对立事件是没有学生选择芯片领域，则至少有1名学生选择芯片领域的概率P＝1－＝.
4．(2021·西安模拟)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项
活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 基本事件总数n＝·A＝6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m＝
CC·A＝2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率P＝＝＝.
5．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率
是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任
意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋
P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，
甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙
取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上
的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件
答案 BCD
解析 对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼
梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确；
对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，基本事
件为{正品，次品}，有2个，故D正确．
7．(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名
同学中至少有1名女同学的概率是________．
答案
解析 记3名男同学为A，B，C,2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，
(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其
中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，
共7种，故所求概率为.
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.则该
企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．
答案 0.9
解析 方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品
企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投
诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件
D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
方法二 记“该食品企业在一个月内被消费者投拆的次数为2”为事件C，“该食品企业在
一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知C与D是对立事件，所以P(D)＝1
－P(C)＝1－0.1＝0.9.
9．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰
好有1名同学”的概率是________．
答案
解析 A，B，C，D 4名同学排成一排有A＝24(种)排法．当A，C之间是B时，有2×2＝
4(种)排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为＝.
10．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、
丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为________．
答案
解析 甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、
丙每人一张，基本事件总数n＝A＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝
CCC＝3，所以恰有一人取到自己身份证的概率为P＝＝＝.
11．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此
种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件
样品进行检测．地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区
的概率．
解 (1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)方法一 设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为
A；B，B，B；C ，C .
1 2 3 1 2
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B}，{A，B}，{A，B}，
1 2 3
{A，C }，{A，C }，{B ，B}，{B ，B}，{B ，C }，{B ，C }，{B ，B}，{B ，C }，
1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1
{B，C }，{B，C }，{B，C }，{C ，C }，共15个．
2 2 3 1 3 2 1 2
每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B ，B}，
1 2
{B，B}，{B，B}，{C ，C }，共4个．
1 3 2 3 1 2
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
方法二 这2件商品来自相同地区的概率为＝＝.
12．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加一支球队，
具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知
3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员
属于3支球队”，所以P(E)＝1－P()＝1－＝.
13．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到基本事件的个数为9(如下表所示)．
a
1 2 3
b
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
因为A∩B＝B，所以B可能是∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．
当B＝∅时，a2－4b<0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.
当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.
当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，b.
综上，符合条件的结果有8种．
故所求概率为.
14．(2020·衡水联考)某省高考数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学
多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他
能得分的概率为________．
答案
解析 随机地填涂了至少一个选项共有C＋C＋C＋C＝15(种)涂法，
得分的涂法为3种，
故他能得分的概率为.
15.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人
欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )A. B. C. D.
答案 B
解析 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，
2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A＝5 040(种)．因为不能连续向上，
所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来，就是把3
次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A，则最近的行走路线
中不连续向上攀登的路线共有AA＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的
概率P＝＝.
16．(2020·绵阳模拟)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个
小球，小球上分别写
有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小
球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．
抽奖活动的奖励规则是：
①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；
②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]内，则奖励汽车玩具一个；
③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．
解 (1)基本事件总数有16种，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，
(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)；
记“获得飞机玩具”为事件A，则事件A包含的基本事件有 3种，分别为(2,3)，(3,2)，
(3,3)．
∴每对亲子获得飞机玩具的概率P(A)＝.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B，“获得饮料”为事件C，
事件B包含的基本事件有6个，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，
∴每对亲子获得汽车玩具的概率P(B)＝＝，
每对亲子获得饮料的概率P(C)＝1－P(A)－P(B)＝.
∵<，∴每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率．
