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4.5 导数的综合运用（精讲）
一．导数与不等式的证明
1.作差构造法：一个函数的最值
（1）待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通
过研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
（2）解题的基本步骤
①作差或变形；
②构造新的函数g(x)；
③利用导数研究g(x)的单调性或最值；
④根据单调性及最值，得到所证不等式．2.隔离最值法：两个函数的最值
（1）在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式 f(x)，
g(x)，使f(x) >g(x) 恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；
min max
3.适当放缩法
常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
4.换元法：双变量
构造函数证明双变量函数不等式：对于f(x，x)≥A的不等式，可将函数式变为与或x·x有关的式子，
1 2 1 2
然后令t＝或t＝xx，构造函数g(t)求解．
1 2
二．恒成立与有解
1.分离参数法
不等式类型 与最值的关系
∀x∈D，f(x)>M ∀x∈D，f(x) >M
min
∀x∈D，f(x)M ∀x∈D，f(x) >M
0 0 max
∃x∈D，f(x)g(x) ∀x∈D，[f(x)－g(x)] >0
min
∀x∈D，f(x)g(x) ∀x∈D，∀x∈D，f(x) >g(x)
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 min 2 max
∀x∈D，∃x∈D，f(x)>g(x) ∀x∈D，∀x∈D，f(x) >g(x)
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 min 2 min
∃x∈D，∀x∈D，f(x)>g(x) ∀x∈D，∀x∈D，f(x) >g(x)
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 max 2 max
∃x∈D，∃x∈D，f(x)>g(x) ∀x∈D，∀x∈D，f(x) >g(x)
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 max 2 min
2.拆解法求参数的取值范围：拆解法是针对难度较大的压轴题抢分解答所采用的一种手段，目的是把题目
难度层层分解，使题设条件到求(证)结论思维跨度较大的一些题目中间架设过渡阶梯，降低思维跨度，使
解题过程中的步骤分应得尽得．
三．函数零点
1.数形结合法
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的
函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
2. 函数性质法
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问
题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
3.构造函数法
①涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
②解决此类问题的关键是构造函数F(x)将函数零点(方程的根)、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，
体现转化与化归的思想方法．
4.解决隐零点
(1)直接观察法：有些导函数的零点可以直接观察出来，如常用1，e，等特殊值代入试求．
(2)零点代换法：当导函数的零点不可求时，根据导数的单调性，特殊值等特征，判断其是否存在零点，
若存在，则虚设零点．虚设零点的关键步骤是“零点代换”，如本例中ex＝，x＝－ln x，进而把指、
0 0 0
对数函数转化为幂函数求解．注意：有些问题还要利用零点的存在性定理对隐零点的范围进行判断．
四．极值点偏移
1.极值点不偏移
已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x，即极值点在两
0 0
根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x＝x两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).
0
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x)＝f(x)，则x＋x＝2x.
1 2 1 2 0
2.极值点偏移
若≠x，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).
0 0
图(2)
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x)＝f(x)，则x＋x＞2x；
1 2 1 2 0
图(3)
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x)＝f(x)，则x＋x＜2x.
1 2 1 2 0
3.极值点偏移问题的常见解法
①(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x＋x＞2x型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)；对结论xx＞
1 2 0 0 1 2
x型，构造函数F(x)＝f(x)－f，通过研究F(x)的单调性获得不等式.
②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明.考法一 导数证明不等式
【例1-1】（2023·北京密云·统考三模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： .
1
f xaex x2x
【例1-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数 ．
2
f x
R
(1)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围；
x2, f xsinx
a1
(2)当 时，证明： ， ．【一隅三反】
1.（2023广东云浮）设 f(x)＝2x ln x＋1．
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x．
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)判断 的导函数在 上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当 时， .
注： .f xx2axex(aR)
x,x
3．（2023·山东潍坊·三模）已知函数 有两个极值点 1 2．
(1)求实数a的取值范围；
x x ln4
(2)证明： 1 2 ．
考法二 恒成立与有解
f(x)lnxlna(a1)x2(a0)
【例2-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 f(x)的单调性；
ex2 f(x) a
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．1
【例2-2】（2023·青海西宁·统考二模）设函数 f(x)x alnx．
x
(1)若函数 f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
1
(2)当
a2
时，设函数gxxlnx
e
，若在[1,e] 上存在
x
，
x
使
f(x)g(x )
成立，求实数a的取值范
1 2 1 2
围．
【一隅三反】
f xexaxaR
1．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数 .
f x
(1)试求函数 的极值；
xebx exb1x2xlnx0
x0 b
(2)若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围.f xexax
x0 aR
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数 ， 且 ．
f x
(1)求函数 的单调性；
f xx21
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
x
3．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数 f x axa0 ．
lnx
f x
a0
(1)若 ，求函数 的单调区间；
1
(2)若存在x
1
e,e2
，使 f x
1
4
成立，求实数
a
的取值范围．考法三 导数解决函数零点
f xxexax2aR
【例3-1】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知函数 .
1
(1)当 a 时，求曲线y f x在点1, f 1处的切线方程；
2
gxxlnxxex f x
(2)若函数 有两个极值点，求实数a的取值范围.
xa
【例3-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 且 ，函数 f x (x0).
a0 a1 ax
f x
(1)讨论 的单调区间；
y f x y1 a
(2)若曲线 与直线 恰有一个交点，求 取值范围.【一隅三反】
xasinx
1．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数 f x aR 在 处的切线方程为
ex xπ
π2xeπyππ2 0
．
(1)若a；
1
(2)证明gx f x 有两个零点．
2e2
f xxlnxax2 fx f x
2．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知函数 ， 为 的导数．
fx
(1)讨论 的单调性；
e2
(2)若直线y 与曲线y f x有两个交点，求a的取值范围．
23.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
考法四 极值点偏移
【例4-1】（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，
f x
gx aax．
x
f x≥lnx2
x1
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
gx x x xx e2
(2)若 的两个相异零点为 1， 2，求证： 1 2 ．【例4-2】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，证明： .
【一隅三反】
f x xalnx
1．（2023·山东日照·统考二模）已知函数 ．
f x1
a
(1)若 恒成立，求实数 的值：
x >0 x 0 ex1 lnx x x ex1 x 2
(2)若 1 ， 2 ， 2 1 2，证明： 2 ．f(x)lnxax
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
a1 f(x ) f(x )(x x ) x x 2
(2)当 时，若 1 2 1 2 ，求证： 1 2
1
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数
f xxe1ex ex2e2x
．
2
f x
(1)求函数 的单调区间与极值．
x x
3 1 e1
(2)若 f x f x f x x x x ，求证： 2 ．
1 2 3 1 2 3
