文档内容
第10讲 圆锥曲线的弦长问题万能公式（硬解定
理）（高阶拓展、竞赛适用）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求椭圆的离心率
根据椭圆过的点求标准方程
2024年新I卷，第16题,15分 求弦长
椭圆中三角形(四边形)的面积
根据韦达走理求参数
抛物线标准方程
由导数求函数的最值 (不含参)
2023年新I卷，第22题,12分 求直线与抛物线相交所得弦的弦长
基本(均值)不等式的应用
求平面轨迹方程
根据抛物线方程求焦点或准线
2022年新I卷，第11题,5分 求直线与抛物线相交所得弦的弦长
判断直线与抛物线的位置关系
根据离心率求椭圆的标准方程
求椭圆中的弦长
2021年新Ⅱ卷，第20题,12分 根据弦长求参数
椭圆中的直线过定点问题
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的弦长公式及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 弦长公式
若直线 与圆雉曲线相交于 两点，则弦长
2. 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）
设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论),
圆锥曲线的方程为: f (x,y)=0, 把直线方程代入曲线方程,
可化为 ax2+bx+c=0(a≠0)或(a y2+by+c=0),(a≠0),
设直线和曲线的两交点为 A(x ,y ),B(x ,y ), 求根公式为
1 1 2 2
−b±√b2−4ac
x=
2a
(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0(a≠0)
则弦长公式为:
|AB|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=√1+k2 ⋅|x −x |
1 2 1 2 1 2
|−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac|
¿=√1+k2 ⋅ −
2a 2a
√Δ
¿=√1+k2
|a|
(2) 若消去 x,得a y2+by+c=0(a≠0)则弦长公式为:
√ 1
|AB|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2= 1+ ⋅|y −y |
1 2 1 2 k2 1 2
√ 1 |−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac|
¿= 1+ ⋅ −
k2 2a 2a
√ 1 √Δ
¿= 1+
k2 |a|
考点一、 椭圆中的弦长问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆 与直线 的交点，求线段AB的长度.
2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知点 为椭圆 上不同两点，点
为椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
(2)若 的面积 ，求直线 的方程.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，点
在 上，且 的面积 ．
(1)求 的标准方程；
(2)过点 作直线 与 交于另一点 ，求直线 的斜率．
4．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．1．（2023·全国·模拟预测）直线 与椭圆 交于 两点，长轴的右顶点为点 ，
则 的面积为 .
2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆 的上顶点 ，点 在椭
圆 上，斜率为 的直线 过点 交椭圆 于另一点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 的面积是 时，求 .
3．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点
为椭圆 上一点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若倾斜角为 的直线l与C相交于两个不同的点 ，求 的最大值．
4．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆 过 和 两点. 分别为椭圆的
左､右焦点， 为椭圆上的点（ 不在 轴上），过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求 的范围.
考点二、 双曲线中的弦长问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 是双曲线 与直线 的交点，求线段 的长度.
2．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互
垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线 右焦点 的直线与 的左､右支分别交于点 ，与圆 ： 交于 （异于 ）两点.
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)求 的取值范围.
1．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知双曲线 的实轴长为2，右焦点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，求 .
2．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲线
上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
3．（2023·河南·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直线l交C
的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.
(1)求C的方程；
(2)证明： ，求 .
考点三、 物线中的弦长问题
1．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
3．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点
的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知直线l： 与抛物线C： 交于P、Q两点，O为坐标原点，
则三角形OPQ的面积等于 ．
2．（2024·广东江门·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为2的直线 与 交
于A，B两点，且 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作 轴的平行线 是动点，且异于点 ，过点 作AP的平行线交 于 ， 两点，证明：
．
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，点 到焦点 的
距离为5，过点 做两条互相垂直的弦 、 ．
(1)求抛物线 的方程．
(2)求 的最小值．
一、单选题
1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A，
B两点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三·全国·专题练习）设F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则 （ ）
A． B．8 C．12 D．
二、填空题
3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线 与椭圆 交于 两点，则
.
4．（23-24高二下·上海·期中）已知点 、 分别椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直
线交椭圆于 、 两点，则弦 的长为 .
5．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆 经过原点，且与直线 相切，记圆心 的轨迹为 ，直线
与 交于 两点，则 .
三、解答题
6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆 左焦点的 、右顶点 ，过 且斜率为 的
直线l与椭圆交于 两点，求 的面积.
7．（21-22高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M 满足直线AM与BM的斜率之
积为 ，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线 和曲线C相交于E，F两点，求 .
8．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦
点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
9．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知椭圆C： 的焦距为 ，离心率为 .
(1)求C的标准方程；
(2)若 ，直线l： 交椭圆C于E，F两点，且 的面积为 ，求t的值.
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一
点， ，原点 到直线 的距离为 .(1)求椭圆 的离心率；
(2)平面上点B满足 ，过 与 平行的直线交 于 两点，若 ，求椭圆 的
方程.
一、单选题
1．（2024·北京·模拟预测）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 的
同一支交于 ， 两点，且 ，则线段 的长度为（ ）
A． B．9 C． D．6
2．（24-25高三上·河南·开学考试）已知 是双曲线 的左焦点，过点 的直线与 交于
两点（点 在 的同一支上），且 ，则 （ ）
A．6 B．8 C． D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，圆 .若
过 的直线分别交 的左、右两支于A，B两点，且圆 与 相切， 的离心率为 到 的渐近线的距
离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为F，
，过点M的直线l与C交于A，B两点，且 ，直线BN与C的另一
个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上的两点．若直线 的斜率为 ，
且 ，延长 分别交 于 两点，则四边形 的面积为 ．
三、解答题6．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 过点 ，且与 交于 两点，当 最大时，求直线 的方程.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知直线 ： 交椭圆 ： 于A，B两点， 为椭
圆上一点．
(1)证明 ；
(2)求 的最大值．
8．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知 和 为椭圆 上的两
点.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，求 的取值范围.
9．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆 的左、右焦点 作两条平行直线，与
C在x轴上方的曲线分别交于点 ．
(1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
(2)求四边形 的面积的最大值．
10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
在椭圆上，且直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点 重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求 的值．
1．（2022·北京·高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 时，求k的值．
2．（2022·全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
3．（2021·全国·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点
的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
