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2022年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）4的平方根是
A．2 B． C． D．16
2．（4分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是
A． B．
C． D．
3．（4分）下列计算不正确的是
A． B． C． D．
4．（4分）某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个
选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
5．（4分）如图，在 中， ， 是 上的点， 交 于点 ，
交 于点 ，那么四边形 的周长是
A．5 B．10 C．15 D．20
第1页（共30页）6．（4分）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．
2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄
武岩形成的年龄为 亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（单位
年）
A． B． C． D．
7．（4分）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强
第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成
多少套桌凳？设原计划每天完成 套桌凳，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
8．（4分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
是
A． B． 且 C． 且 D．
9．（4分）如图，在矩形纸片 中， ， ，将 沿 折叠到 位置，
交 于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
10．（4分）已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值为
A．0 B． C．3 D．10
11．（4分）已知抛物线 的图象与 轴交于点 、 ，若以 为直径
的圆与在 轴下方的抛物线有交点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
第2页（共30页）12．（4分）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点 是 边
上的动点（不与点 、 重合）， 与 交于点 ，连结 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④在 内存在唯一一点 ，使得
的值最小，若点 在 的延长线上，且 的长为2，则 ．其中含
所有正确结论的选项是
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横
线上．
13．（4分）分解因式： ．
14．（4分）不等式组 的解集为 ．
15．（4分）如图， 中，点 、 分别在边 、 上， ．若 ， ，
，则 ．
16．（4分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三
边 、 、 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公
第3页（共30页）式，即为 ．现有周长为18的三角形的三边满足 ，
则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
17．（4分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成
的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大
正方形的面积为 ．
18．（4分）如图， 是边长为10的等边三角形，反比例函数 的图象与边
、 分别交于点 、 （点 不与点 重合）．若 于点 ，则 的值为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）计算：
（1） ；
（2） ．
20．（10分）已知：如图，点 、 、 、 在同一直线上， ， ， ．求
证： ．
第4页（共30页）21．（10分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，
要求所有同学从4类书籍中 ：文学类； ：科幻类； ：军事类； 其他类），选择一类自
己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图
中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求 的值；
（3）如果选择 类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择 类书籍的同学
中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女
同学去参加读书交流活动的概率．
22．（10分）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼
（如图 成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的
高度，在梯步 处（如图 测得楼顶 的仰角为 ，沿坡比为 的斜坡 前行25米到
达平台 处，测得楼顶 的仰角为 ，求东楼的高度 ．（结果精确到1米．参考数据：
，
第5页（共30页）23．（12分）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比
例函数 的图象交于点 、 ．若 ， ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 的面积．
24．（12分）如图，点 是以 为直径的 上一点，点 是 的延长线上一点，在 上
取一点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，交 的延长线于点 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若点 是 的中点， ， ，求 的长．
25．（14分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点
第6页（共30页），其顶点为点 ，连结 ．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点 ，点 为抛物线上一动点，使得以点 、 、 、 为顶点、
为边的四边形为平行四边形，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点 向下平移5个单位得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，
求 的最小值．
第7页（共30页）2022年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）4的平方根是
A．2 B． C． D．16
【分析】根据平方根的定义，求数 的平方根，也就是求一个数 ，使得 ，则 就是 的
平方根，由此即可解决问题．
【解答】解： ，
的平方根是 ．
故选： ．
2．（4分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层是三个相邻的小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选： ．
3．（4分）下列计算不正确的是
A． B． C． D．
第8页（共30页）【分析】利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法则逐个计算，根据计算结果
得结论．
【解答】解： ． ，故选项 计算不正确；
． ，故选项 计算正确；
． ，故选项 计算正确；
． ，故选项 计算正确．
故选： ．
4．（4分）某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个
选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为88，91，93，94，95，95，97，
所以这组数据的众数是95，中位数是94．
故选： ．
5．（4分）如图，在 中， ， 是 上的点， 交 于点 ，
交 于点 ，那么四边形 的周长是
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】由于 ， ，则可以推出四边形 是平行四边形，然后利用平行四
边形的性质可以证明 的周长等于 ．
【解答】解： ， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
， ，
， ，
的周长 ．
第9页（共30页）故选： ．
6．（4分）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．
2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄
武岩形成的年龄为 亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（单位
年）
A． B． C． D．
【分析】先求出此玄武岩形成的年龄最小值，再运用科学记数法进行表示．
【解答】解： （亿 ，
且20.26亿 ，
故选： ．
7．（4分）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强
第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成
多少套桌凳？设原计划每天完成 套桌凳，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天完成 套桌凳，则实际每天完成 套，根据原计划完成的时间 实
际完成的时间 天列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天完成 套桌凳，则实际每天完成 套，
根据原计划完成的时间 实际完成的时间 天得： ，
故选： ．
8．（4分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
是
A． B． 且 C． 且 D．
【分析】根据根的判别式即可列不等式，计算即可得答案，注意 ．
【解答】解：由题意可得： ，
且 ，
故选： ．
9．（4分）如图，在矩形纸片 中， ， ，将 沿 折叠到 位置，
第10页（共30页）交 于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得 ，设 ，则 ， ，在
中利用勾股定理列方程，即可求出 的值，进而可得 ．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
由折叠的性质可得 ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
，
故选： ．
10．（4分）已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值为
A．0 B． C．3 D．10
【分析】由于 、 是一元二次方程 的两个根，根据根与系数的关系可得
， ，而 是方程的一个根，可得 ，即 ，那么
，再把 、 的值整体代入计算即可．
【解答】解： 、 是一元二次方程 的两个根，
， ，
第11页（共30页）是 的一个根，
，
，
．
故选： ．
11．（4分）已知抛物线 的图象与 轴交于点 、 ，若以 为直径
的圆与在 轴下方的抛物线有交点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】把 、 两点坐标代入二次函数解析式，用 表示 、 ，进而把抛物线的解析式用
表示，设抛物线的顶点为点 ， 的中点为点 ，求得抛物线的对称轴与顶点坐标，根据抛
物线与以 为直径的圆在 轴下方的抛物线有交点得 ，且 求得 的取值范
围便可．
【解答】解：把 、 代入 得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为： ，
设抛物线的顶点为点 ，
抛物线的顶点 ，对称轴为 ，
设 为 的中点，则 ，
以 为直径的圆与在 轴下方的抛物线有交点，
， 即 ，
．
第12页（共30页）故选： ．
12．（4分）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点 是 边
上的动点（不与点 、 重合）， 与 交于点 ，连结 ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 ；④在 内存在唯一一点 ，使得
的值最小，若点 在 的延长线上，且 的长为2，则 ．其中含
所有正确结论的选项是
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】①正确．证明 ，可得结论；
②正确．证明 ， ， ， 四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设 ，则 ． ， ，过点 作 于点 ，
求出 ， ，可得结论；
④错误．将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当点 ，点 ，点 ，点
共线时， 值最小，此时 ， ， ，设
，则 ，构建方程求出 ，可得结论．
【解答】解：如图1中，
，
，
第13页（共30页）， ，
，
， ，故①正确，
，
，
，
，
取 的中点 ，连接 ， ， ，则 ，
， ， ， 四点共圆，
，故②正确，
设 ，则 ． ， ，
过点 作 于点 ，
，
，
， ，
，
，故③正确．
如图2中，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
， ， ，
第14页（共30页）是等边三角形，
，
，
当 点 ， 点 ， 点 ， 点 共 线 时 ， 值 最 小 ， 此 时
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，故④错误．
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横
线上．
13．（4分）分解因式： ．
【分析】应先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
14．（4分）不等式组 的解集为 ．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
故原不等式组的解集为 ，
第15页（共30页）故答案为： ．
15．（4分）如图， 中，点 、 分别在边 、 上， ．若 ， ，
，则 ．
【分析】由 ， ，得出 ，再由相似三角形的性质即可得出 的
长度．
【解答】解： ， ，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为： ．
16．（4分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三
边 、 、 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公
式，即为 ．现有周长为18的三角形的三边满足 ，
则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
【分析】根据题意先求出 、 、 ，再代入公式进行计算即可．
【解答】解：根据 ，设 ， ， ，
第16页（共30页）则 ，
解得： ，
， ， ，
，
故答案为： ．
17．（4分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成
的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大
正方形的面积为 28 9 ．
【分析】如图，设内切圆的圆心为 ，连接 、 ，则四边形 为正方形，然后利用内
切圆和直角三角形的性质得到 ， ，接着利用完全平方公式
进行代数变形，最后解关于 的一元二次方程解决问题．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为 ，连接 、 ，
则四边形 为正方形，
，
，
，
，
，
而 ，
①，
小正方形的面积为49，
第17页（共30页），
②，
把①代入②中得
，
，
（负值舍去），
大正方形的面积为 289．
故答案为：289．
18．（4分）如图， 是边长为10的等边三角形，反比例函数 的图象与边
、 分别交于点 、 （点 不与点 重合）．若 于点 ，则 的值为
．
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，设 ，通过解直角三角
形和等边三角形的性质用 表示出 、 两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出
的方程求得 ，便可求得 的值．
【解答】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图，
是边长为10的等边三角形，
， ，
第18页（共30页）设 ，则 ， ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
、 两点都在反比例函数数 的图象上，
，
解得 或5，
当 时， ，此时 与 重合，不符题意，舍去，
，
，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）计算：
（1） ；
第19页（共30页）（2） ．
【分析】（1）先计算二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后计算加减；
（2）先计算括号里面的，再变除法为乘法进行分式的乘法运算．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
．
20．（10分）已知：如图，点 、 、 、 在同一直线上， ， ， ．求
证： ．
【分析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】证明： ，
．
在 和 中，
，
．
第20页（共30页），
，
即： ．
21．（10分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，
要求所有同学从4类书籍中 ：文学类； ：科幻类； ：军事类； 其他类），选择一类自
己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图
中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求 的值；
（3）如果选择 类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择 类书籍的同学
中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女
同学去参加读书交流活动的概率．
【分析】（1）根据选择 类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级（1）班的人数，求出
选择 类书籍的人数，补全条形统计图；
（2）求出选择 类书籍的人数，求出 ；
（3）根据题意画出画树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为： （人 ，
选择 类书籍的人数为： （人 ，
补全条形统计图如图所示；
（2） ，
则 ；
（3） 选择 类书籍的同学共4人，有2名女同学，
有2名男同学，
画树状图如图所示：
第21页（共30页）则 （一男一女） ．
22．（10分）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼
（如图 成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的
高度，在梯步 处（如图 测得楼顶 的仰角为 ，沿坡比为 的斜坡 前行25米到
达平台 处，测得楼顶 的仰角为 ，求东楼的高度 ．（结果精确到1米．参考数据：
，
【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以得到 和 的值，然后根据题目中的数据，可
以计算出 的值．
【解答】解：由已知可得，
， 米， ， ， ，
第22页（共30页）设 米， 米，
，
解得 ，
米， 米，
， ，
，
，
设 米，则 米， 米，
，
，
解得 ，
答：东楼的高度 约为40米．
23．（12分）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比
例函数 的图象交于点 、 ．若 ， ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 的面积．
【分析】（1）求出 ， 两点坐标，代入直线的解析式求出 ， ，再求出点 的坐标，求出
即可；
（2）构建方程组求出点 的坐标，再利用割补法求出三角形面积．
【解答】解：（1）在 中， ，
第23页（共30页），
， ，
，
， 两点在直线 上，
，
，
直线 的解析式为 ，
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2）由 ，解得 或 ，
，
过点 作 轴于点 ，
第24页（共30页）24．（12分）如图，点 是以 为直径的 上一点，点 是 的延长线上一点，在 上
取一点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，交 的延长线于点 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若点 是 的中点， ， ，求 的长．
【分析】（1）要证明 是 的切线，只要证明 即可，根据题目中的条件和等腰三
角形的性质、直角三角形的性质，可以得到 ，从而可以证明结论成立；
（2）根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得 和 的长，从而可以得到
的长．
【解答】（1）证明：连接 ，如图所示，
， 为 的切线，
， ，
， ，
，
， ，
， ，
又 ，
，
，
第25页（共30页），
，
是 的切线；
（2）解：由（1）知， 是 的切线，
，
， ， ，
，
即 ，
解得 ，
，
，
点 为 的中点， ，
，
，
， ，
，
，
即 ，
解得 ，
，
即 的长是 ．
第26页（共30页）25．（14分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点
，其顶点为点 ，连结 ．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点 ，点 为抛物线上一动点，使得以点 、 、 、 为顶点、
为边的四边形为平行四边形，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点 向下平移5个单位得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，
求 的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，推出 ，设
，则 ，可得 ，推出 或 ，即可解
决问题；
（3）由题意， ， ， 关于对称轴直线 对称，连接 交对称轴于
点 ，连接 ， ，过点 作 于点 ，交对称轴于点 ，连接 ．则
第27页（共30页）， ， ， 证 明 ， 由 ， 推 出
为最小值．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 、 ， ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
，
顶点 的坐标为 ；
（2）设直线 是解析式为 ，
把 ， 代入，得 ，
，
直线 的解析式为 ，
过点 作 于点 ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，
， ，
，
，
，
，
第28页（共30页）设 ，则 ，
，
或 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
综上所述，满足条件点 的坐标为 或 ；
（3）由题意， ， ， 关于对称轴直线 对称，连接 交对称轴于
点 ，连接 ， ，过点 作 于点 ，交对称轴于点 ，连接 ．则
， ， ，
在 中， ，则在 中， ，
，
，
为最小值，
第29页（共30页），
，
的最小值为 ．
第30页（共30页）
