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2022年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）
A． B． C． D．2
2．（3分）2022年5月，四川省发展和改革委员会下达了保障性安居工程2022年第一批中央
预算内投资计划，泸州市获得75500000元中央预算内资金支持，将75500000用科学记数法
表示为
A． B． C． D．
3．（3分）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，直线 ，直线 分别交 ， 于点 ， ，点 在直线 上， ，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是
第1页（共29页）A． B． C． D．
6．（3分）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻
的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁） ，32，33，35，35，40，则这组数
据的众数和中位数分别是
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
7．（3分）与 最接近的整数是
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是
A． B．
C． D．
9．（3分）已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若 ，
则 的值为
A． B． C． 或1 D． 或3
10．（3分）如图， 是 的直径， 垂直于弦 于点 ， 的延长线交 于点 ．
若 ， ，则 的长是
A．1 B． C．2 D．4
11．（3分）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 的坐标为 ，四边形
是菱形，且 ．若直线 把矩形 和菱形 组成的图形的面积分
成相等的两部分，则直线 的解析式为
第2页（共29页）A． B． C． D．
12．（3分）如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，过点
作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于
点 ，则 的长为
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）点 关于原点的对称点的坐标为 ．
14．（3分）若 ，则 ．
15．（3分）若方程 的解使关于 的不等式 成立，则实数 的取
值范围是 ．
16．（3分）如图，在 中， ， ， ，半径为1的 在
内平移 可以与该三角形的边相切），则点 到 上的点的距离的最大值为 ．
第3页（共29页）三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算： ．
18．（6分）如图， ， 分别是 的边 ， 上的点，已知 ．求证：
．
19．（6分）化简： ．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳
动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了 名学生在某个休息日做家
务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信
息，解答下列问题：
劳动时间 （单位：小时） 频数
12
28
16
4
（1） ， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在 范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在 范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2
名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
第4页（共29页）21．（7分）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件， 种农产品3件，
共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元．
（1） ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品共40件，且 种农产品的件数不
超过 种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件160元， 种每件
200元的价格全部售出，那么购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 ， ，已知点 的
纵坐标为6．
（1）求 的值；
（2）若点 是 轴上一点，且 的面积为3，求点 的坐标．
23．（8分）如图，海中有两小岛 ， ，某渔船在海中的 处测得小岛 位于东北方向，小岛
位于南偏东 方向，且 ， 相距 ．该渔船自西向东航行一段时间后到达点 ，
此时测得小岛 位于西北方向且与点 相距 ．求 ， 间的距离（计算过程中的
数据不取近似值）．
第5页（共29页）六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，交 于点
，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过 ，
两点，直线 与 轴交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）经过点 的直线分别与线段 ，直线 交于点 ， ，且 与 的面积相
等，求直线 的解析式；
（3） 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段 和直线 上是否分别存在点 ，
，使 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为一边的矩形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
第6页（共29页）第7页（共29页）2022年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）
A． B． C． D．2
【分析】根据算术平方根的定义判断即可．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（3分）2022年5月，四川省发展和改革委员会下达了保障性安居工程2022年第一批中央
预算内投资计划，泸州市获得75500000元中央预算内资金支持，将75500000用科学记数法
表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【解答】解： ，
故选： ．
3．（3分）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是
A． B．
第8页（共29页）C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形判定则
可．
【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形．
故选： ．
4．（3分）如图，直线 ，直线 分别交 ， 于点 ， ，点 在直线 上， ，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】首先利用平行线的性质得到 ，然后利用 得到 ，最后
利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，
直线 ，
，
，
，
又 ，
，
．
故选： ．
5．（3分）下列运算正确的是
第9页（共29页）A． B． C． D．
【分析】选项 根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底
数不变，指数相加；选项 根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系
数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项 根据积的乘方运算法则判断即
可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项 根据同底数幂的除法
法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】解： ． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项不合题意；
． ，故本选项符合题意；
． ，故本选项不合题意；
故选： ．
6．（3分）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻
的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁） ，32，33，35，35，40，则这组数
据的众数和中位数分别是
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
【分析】根据中位数和众数的定义求解可得．
【解答】解： 出现的次数最多，
这组数据的众数是35，
把这些数从小到大排列，排在中间的两个数分别为33、35，故中位数为 ，
故选： ．
7．（3分）与 最接近的整数是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】估算无理数 的大小，再确定 更接近的整数，进而得出答案．
【解答】解： ，而 ，
更接近4，
更接近6，
第10页（共29页）故选： ．
8．（3分）抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解答】解： 将抛物线 经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
抛物线 经过平移后不可能得到的抛物线是 ．
故选： ．
9．（3分）已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若 ，
则 的值为
A． B． C． 或1 D． 或3
【分析】根据方程 的两实数根为 ， ，得出 与 的值，再
根据 ，即可求出 的值．
【解答】解： 方程 的两实数根为 ， ，
， ，
，
，
解得： ， ，
方程有两实数根，
△ ，
即 ，
第11页（共29页）（不合题意，舍去），
；
故选： ．
10．（3分）如图， 是 的直径， 垂直于弦 于点 ， 的延长线交 于点 ．
若 ， ，则 的长是
A．1 B． C．2 D．4
【分析】由垂径定理可知，点 是 的中点，则 是 的中位线，所以 ，设
，则 ，则 ， ，在 中，由勾股定理可得
，即 ，求出 的值即可得出结论．
【解答】解： 是 的直径，
，
，
点 是 的中点，
是 的中位线，
，且 ，
设 ，则 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理可得， ，
，
第12页（共29页）解得 ．
．
故选： ．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 的坐标为 ，四边形
是菱形，且 ．若直线 把矩形 和菱形 组成的图形的面积分
成相等的两部分，则直线 的解析式为
A． B． C． D．
【分析】分别求出矩形 和菱形 的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的
直线即可得出结论．
【解答】解：连接 ， ，它们交于点 ，连接 ， ，它们交于点 ，
则直线 为符合条件的直线 ，如图，
四边形 是矩形，
．
的坐标为 ，
， ， ．
四边形 为菱形，
．
过点 作 于点 ，
第13页（共29页）在 中，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
， ，
．
．
的坐标为 ， 轴，
．
点 为 的中点，
．
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
故选： ．
12．（3分）如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，过点
作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于
点 ，则 的长为
第14页（共29页）A． B． C． D．1
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得 和 的长，然后根据
，即可求得 的长．
【解答】解：作 交于点 ，作 于点 ，
平分 ， ，
正方形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
，
，
正方形 的边长为3， ，
， ，
设 ，则 ，
，
解得 ；
， ，
，
，
， ，
，
设 ，则 ，
第15页（共29页），
解得 ，
即 ，
， ，
，
，
，
解得 ，
，
故选： ．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）点 关于原点的对称点的坐标为 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即：求关于原点
的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解： 点 关于原点对称，
点 关于原点对称的点的坐标为 ．
故答案为 ．
14．（3分）若 ，则 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出 、 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得， ， ，
解得 ， ，
第16页（共29页）所以， ．
故答案为： ．
15．（3分）若方程 的解使关于 的不等式 成立，则实数 的取
值范围是 ．
【分析】先解分式方程，再将 代入不等式中即可求解．
【解答】解： ，
，
，
解得： ，
， ，
是分式方程的解，
将 代入不等式 ，得：
，
解得： ，
实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
16．（3分）如图，在 中， ， ， ，半径为1的 在
内平移 可以与该三角形的边相切），则点 到 上的点的距离的最大值为
．
【分析】连接 、 ，根据正切的定义求出 ，根据切线长定理得到 ，根
据含 角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：当 与 、 都相切时，连接 并延长交 于点 ，则 为点 到
第17页（共29页）上的点的距离的最大值，
设 与 、 的切点分别为 、 ，连接 、 ，
则 ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算： ．
【分析】根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直接计
算即可．
【解答】解：原式
第18页（共29页）．
18．（6分）如图， ， 分别是 的边 ， 上的点，已知 ．求证：
．
【分析】根据平行四边形的性质，可以得到 ， ，再根据 ，利用
可以证明 和 全等，然后即可证明结论成立．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
在 和 中，
，
，
．
19．（6分）化简： ．
【分析】先把括号部分通分并计算加法，再根据分式的乘除法法则化简即可．
【解答】解：原式
．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳
动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了 名学生在某个休息日做家
务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信
息，解答下列问题：
第19页（共29页）劳动时间 （单位：小时） 频数
12
28
16
4
（1） 8 0 ， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在 范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在 范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2
名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用 组人数除以它所占的百分比得到 的值，然后 分别减去 、 、 、 组
的人数得到 的值；
（2）用640乘以 、 组的人数所占的百分比的和即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：（1） ，
；
故答案为：80；20；
（2） （人 ，
所以估计劳动时间在 范围的学生有160人；
（3）画树状图为：
第20页（共29页）共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率 ．
21．（7分）某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件， 种农产品3件，
共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元．
（1） ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品共40件，且 种农产品的件数不
超过 种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件160元， 种每件
200元的价格全部售出，那么购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？
【分析】（1）设每件 种农产品的价格是 元，每件 种农产品的价格是 元，根据“购进
种农产品2件， 种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需
720元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进 件 种农产品，则购进 件 种农产品，利用总价 单价 数
量，结合购进 种农产品的件数不超过 种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可
得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，设两种农产品全部售出后获
得的总利润为 元，利用总利润 每件的销售利润 销售数量，即可得出 关于 的函数关
系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件 种农产品的价格是 元，每件 种农产品的价格是 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每件 种农产品的价格是120元，每件 种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进 件 种农产品，则购进 件 种农产品，
依题意得： ，
解得： ．
设 两 种 农 产 品 全 部 售 出 后 获 得 的 总 利 润 为 元 ， 则
．
，
第21页（共29页）随 的增大而减小，
当 时， 取得最大值，此时 ．
答：当购进20件 种农产品，20件 种农产品时获利最多．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 ， ，已知点 的
纵坐标为6．
（1）求 的值；
（2）若点 是 轴上一点，且 的面积为3，求点 的坐标．
【分析】（1）先求出点 坐标，代入解析式可求解；
（2）先求出点 坐标，由面积的和差关系可求 ，即可求解．
【解答】解：（1） 点 在反比例函数 上，且 的纵坐标为6，
点 ，
直线 经过点 ，
，
；
（2）如图，设直线 与 轴的交点为 ，
第22页（共29页）设点 ，
直线 与 轴的交点为 ，
点 ，
由题意可得： ，
， ，
点 ，
，
，
，
点 或 ．
23．（8分）如图，海中有两小岛 ， ，某渔船在海中的 处测得小岛 位于东北方向，小岛
位于南偏东 方向，且 ， 相距 ．该渔船自西向东航行一段时间后到达点 ，
此时测得小岛 位于西北方向且与点 相距 ．求 ， 间的距离（计算过程中的
数据不取近似值）．
第23页（共29页）【分析】由勾股定理求出 过 作 于 ，分别在 中和 中，解直
角三角形即可求出 ．
【解答】解：由题意得， ， ．
，
，
过 作 于 ，
则 ，
在 中， ， ， ，
， ，
，
在 中，
，
答： ， 间的距离是 ．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，交 于点
，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
第24页（共29页）（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 ，证明 ， ，可得结论；
（2）过点 作 于点 ．利用勾股定理求出 ，利用面积法求出 ，证明
，推出 ，由此求出 即可．
【解答】（1）证明：连接 ．
是 的切线，
，
平分 ，
，
，
；
（2）解：过点 作 于点 ．
是直径，
，
， ，
，
，
，
第25页（共29页），
，
，
，
，
，
，
，
．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过 ，
两点，直线 与 轴交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）经过点 的直线分别与线段 ，直线 交于点 ， ，且 与 的面积相
等，求直线 的解析式；
（3） 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段 和直线 上是否分别存在点 ，
，使 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为一边的矩形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
第26页（共29页）【分析】（1）把 ， 两点代入抛物线 中列方程组解出即可；
（2）利用待定系数可得直线 的解析式，再设直线 的解析式为： ，点 是直线
和 的交点，列方程可得点 的横坐标，根据 与 的面积相等列等式可解
答；
（3）设 ，分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等
角的三角函数列等式可解答．
【解答】解：（1）把 ， 两点代入抛物线 中得：
解得： ；
（2）由（2）知：抛物线解析式为： ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
的解析式为： ，
设直线 的解析式为： ，
，
，
当 时， ，
第27页（共29页），
与 的面积相等， ，
，
，
，
， （舍 ，
直线 的解析式为： ；
（3）存在，
， ， ， 为顶点的四边形是以 为一边的矩形有两种情况：
设 ，
①如图1，过点 作 轴于 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
第28页（共29页），即 ，
解得： （舍 ， ，
；
②如图2，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，
同①可得： ， ，
，
，
，即 ，
解得： ， （舍 ，
， ；
综上，点 的坐标为 或 ， ．
第29页（共29页）
