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2022年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）实数 ，0， ，2中，为负数的是
A． B．0 C． D．2
2．（4分）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记
数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）下列英文字母为轴对称图形的是
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
5．（4分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A． B． C． D．
6．（4分）中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这
组数据的中位数和众数分别是
A．7.5，7 B．7.5，8 C．8，7 D．8，8
7．（4分）在 中， ， ， ，点 ， ， 分别为边 ， ， 的中
点，则 的周长为
A．9 B．12 C．14 D．16
8．（4分）化简 的结果是
A．1 B． C． D．
9．（4分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，
直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只
第1页（共28页）羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛 两银子，1只羊 两银子，则可列
方程组为
A． B．
C． D．
10．（4分）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分别相切于点
， ，不倒翁的鼻尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
11．（4分）一次函数 的值随 的增大而增大，则点 所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（4分）如图，四边形 为正方形，将 绕点 逆时针旋转 至 ，点 ，
， 在同一直线上， 与 交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ， ，
．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其
中正确结论的个数为
第2页（共28页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应
的位置上.
13．（4分）分解因式： ．
14．（4分）如图，已知 ， ，则 的度数为 ．
15．（4分）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为 ．
16．（4分）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
17．（4分）将一组数 ，2， ， ， ， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为 ．
18．（4分）如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连接 ，
第3页（共28页），若 ， ，则 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）计算： ．
20．（8分）解方程： ．
21．（10分）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取
了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩 分 频数
3
9
▲
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 等级的频数为 ， 所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀
等级的人数；
（3）已知 等级中有2名男志愿者，现从 等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状
图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
22．（10分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高 ．如图，在楼前平地
第4页（共28页）处测得楼顶 处的仰角为 ，沿 方向前进60 到达 处，测得楼顶 处的仰角为 ，
求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： ，
23．（10分）已知直线 与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线 向上平移 个单位后与 的图象交于点 和点 ，求
的值；
（3）在（2）的条件下，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，求证： ．
24．（10分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资
金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小
区改造费用增加 ．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多
少个老旧小区？
25．（10分）如图， 为 的直径，点 是 上一点， 与 相切于点 ，过点 作
，连接 ， ．
（1）求证： 是 的角平分线；
（2）若 ， ，求 的长；
第5页（共28页）（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点
的左侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
（3）如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ，
， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
第6页（共28页）2022年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）实数 ，0， ，2中，为负数的是
A． B．0 C． D．2
【分析】根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．
【解答】解：
负数是： ，
故选 ．
2．（4分）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记
数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：367.7万 ；
故选： ．
3．（4分）下列英文字母为轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解： 、 是轴对称图形，符合题意；
、 不是轴对称图形，不合题意；
、 不是轴对称图形，不合题意；
、 不是轴对称图形，不合题意．
故选： ．
4．（4分）下列运算中，正确的是
A． B．
第7页（共28页）C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析
选项即可知道答案．
【解答】解： ． ，根据同底数幂的乘法法则可知： ，故选项计算错误，不
符合题意；
． ， 和 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
． ，根据完全平方公式可得： ，故选项计算错误，不符
合题意；
． ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选： ．
5．（4分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解： 、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选： ．
6．（4分）中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这
组数据的中位数和众数分别是
A．7.5，7 B．7.5，8 C．8，7 D．8，8
【分析】分别计算该组数据的众数、中位数后找到正确答案即可．
【解答】解：根据题意，
这组数据按从小到大排列为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，9；
中位数为：8；众数为8；
故选： ．
7．（4分）在 中， ， ， ，点 ， ， 分别为边 ， ， 的中
第8页（共28页）点，则 的周长为
A．9 B．12 C．14 D．16
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出 的周长
的周长．
【解答】解：如图，点 ， 分别为各边的中点，
、 、 是 的中位线，
， ， ，
的周长 ．
故选： ．
8．（4分）化简 的结果是
A．1 B． C． D．
【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：
．
故选： ．
9．（4分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，
直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只
羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛 两银子，1只羊 两银子，则可列
方程组为
A． B．
第9页（共28页）C． D．
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于 ，
的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解： 头牛，2只羊共19两银子，
；
头牛，3只羊共12两银子，
．
可列方程组为 ．
故选： ．
10．（4分）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分别相切于点
， ，不倒翁的鼻尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接 ，由 得， ， ；因为
、 分别切 于点 、 ，则 ，利用四边形内角和即可求出
．
【解答】解：连接 ，
，
，
，
、 分别切 于点 、 ，
， ，
第10页（共28页），
；
．
故选： ．
11．（4分）一次函数 的值随 的增大而增大，则点 所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质求出 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断 点所处的
象限即可．
【解答】解： 一次函数 的值随 的增大而增大，
，
解得： ，
在第二象限，
故选： ．
12．（4分）如图，四边形 为正方形，将 绕点 逆时针旋转 至 ，点 ，
， 在同一直线上， 与 交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ， ，
．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其
中正确结论的个数为
第11页（共28页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知
②正确；证明 ，得到 ，即 ，利用 是等腰直
角三角形，求出 ，再证明 即可求出 可知③正确；过点 作
交 于点 ，求出 ，再证明 ，即可知④正
确．
【解答】解： 旋转得到 ，
，
为正方形， ， ， 在同一直线上，
，
，故①正确；
旋转得到 ，
， ，
，
，
，
，
，
，故②正确；
第12页（共28页）设正方形边长为 ，
， ，
，
，
，
，即 ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，即 ，解得： ，
，
，故③正确；
过点 作 交 于点 ，
，
，
，
，
第13页（共28页），
， ，
，
，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应
的位置上.
13．（4分）分解因式： ．
【分析】直接提取公因式 ，进而得出答案．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
14．（4分）如图，已知 ， ，则 的度数为 ．
【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知 ，再借助 与
为对顶角即可确定 的度数．
【解答】解：如下图，
， ，
，
与 为对顶角，
．
故答案为： ．
第14页（共28页）15．（4分）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为 1 1 ．
【分析】多边形的内角和定理为 ，多边形的外角和为 ，根据题意列出方程求
出 的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为 ，
根据题意可得： ，
解得： ，
故答案为：11．
16．（4分）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 1 0 ．
【分析】由根与系数的关系，得到 ， ，然后根据完全平方公式变形求值，
即可得到答案．
【解答】解： ， 是方程 的两个实数根，
， ，
；
故答案为：10．
17．（4分）将一组数 ，2， ， ， ， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为 ．
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
【解答】解：题中数字可以化成：
， ， ， ；
第15页（共28页）， ， ， ；
规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
，28是第14个偶数，而 ，
的位置记为 ，
故答案为： ．
18．（4分）如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连接 ，
，若 ， ，则 的最小值为 6 ．
【分析】作点 关于 的对称点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则 的
最小值为 的长度；然后求出 和 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则
的最小值为 的长度，
四边形 为矩形，
， ，
在 中， ， ，
，
，
由对称的性质可知， ， ，
， ，
，
， ，
是等边三角形，
，
第16页（共28页）是直角三角形，
，
的最小值为6，
故答案为：6．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）计算： ．
【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法
则计算即可．
【解答】解：
．
20．（8分）解方程： ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
方程两边同乘 得：
，
解这个整式方程得：
，
检验：当 时， ，
是原方程的解．
21．（10分）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取
第17页（共28页）了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：
84 93 91 87 94 86 97 100 88 94 92 91 82 89 87 92 98 92 93 88
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级 成绩 分 频数
3
9
▲
2
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） 等级的频数为 6 ， 所对应的扇形圆心角度数为 ；
（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀
等级的人数；
（3）已知 等级中有2名男志愿者，现从 等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状
图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据总人数为20人，减去 、 、 的频数即可求出 等级的频数；求出 等级
所占的百分比再乘以 即可得到 对应的扇形圆心角的度数；
（2）求出成绩大于等于9（0分）的人数所占的百分比，然后再乘以1500即可得到成绩达到优
秀等级的人数；
（3）画出树状图即可求解．
【解答】解：（1）等级 的频数 ，
所占的百分比为： ，
所对应的扇形圆心角度数为： ．
故答案是：6， ；
（2）随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于9（0分）的人数共有12人，其占样本人
数的百分比为： ，
名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有： 人．
第18页（共28页）（3）列出树状图如下所示：
共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有4种，
恰好抽到一男一女的概率 ．
22．（10分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高 ．如图，在楼前平地
处测得楼顶 处的仰角为 ，沿 方向前进60 到达 处，测得楼顶 处的仰角为 ，
求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据： ，
【 分 析 】 在 中 ， ， 设 为 ， 则 ，
，在 中， ，解方程
即可．
【解答】解：在 中， ，
设 为 ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ．
答：此建筑物的高度约为82 ．
第19页（共28页）23．（10分）已知直线 与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线 向上平移 个单位后与 的图象交于点 和点 ，求
的值；
（3）在（2）的条件下，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，求证： ．
【分析】（1）先根据一次函数求出 点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出 的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ，即可根据 、 坐标证明
，得到 ， ，再求出 、 坐标即可得到
，即可证明 ．
【解答】（1）解： 直线 过点 ，
，
将 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为 ，
点 在 的图象上，
，
，
由平移得，平移后直线 的解析式为 ，
第20页（共28页）将 代入 中，得 ；
（3）证明：如图，过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ．
由（1）知，反比例函数的解析式为 ，
点 在 的图象上，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
由（2）知， ，
平移后直线 的解析式为 ，
又 直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
．
24．（10分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资
第21页（共28页）金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小
区改造费用增加 ．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多
少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，利用2021年投入资金金额
年投入资金金额 年平均增长率） ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造 个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于
2022年投入资金金额，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得
出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ．
（2）设该市在2022年可以改造 个老旧小区，
依题意得： ，
解得： ，
又 为整数，
的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
25．（10分）如图， 为 的直径，点 是 上一点， 与 相切于点 ，过点 作
，连接 ， ．
（1）求证： 是 的角平分线；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
第22页（共28页）【分析】（1）连接 ，先证明 ，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证
明结论成立；
（2）根据题目中的条件，可以得到 ， ，从而可以得到
，利用相似三角形的性质即可求出 的长度；
（3）先证明 是等边三角形，然后求出扇形 和 的面积，即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接 ，如图1，
与 相切于点 ， 为半径，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ；
（2）解：如图2，
第23页（共28页）平分 ，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
或 （不符合题意，舍去），
的长为 ；
（3）解：如图3，作 于 ，连接 ，
是直径， ，
第24页（共28页），
在 中， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
阴影部分的面积为： ．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点
的左侧），与 轴交于点 ，且点 的坐标为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
（3）如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ，
， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
第25页（共28页）【分析】（1）把点 的坐标代入 ，求出 的值即可；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，证明 是等腰直角三角
形，得 ，当 最大时， 最大，运用待定系数法求直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，求得 ，再根据二次函数的性质求解
即可；
（3）分三种情况讨论：①当 为平行四边形的对角线时，②当 为平行四边形的对角线
时，③当 为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解答】解：（1） 点 在抛物线 的图象上，
，
点 的坐标为 ；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，
，
直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
第26页（共28页），
，
当 时， 最大为 ，
此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
分三种情况：①当 为平行四边形对角线时，
，
解得 ，
点 的坐标为 ；
②当 为平行四边形对角线时，
，
解得 ，
点 的坐标为 ；
③当 为平行四边形对角线时，
，
解得 ，
点 的坐标为 ；
第27页（共28页）综上，点 的坐标为： 或 或 ．
第28页（共28页）
