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2022年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）下面四个数中，比0小的数是
A． B．1 C． D．
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋
中任取1个球，取出黑球的概率是
A． B． C． D．
5．（3分）关于 的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，则这两根之积为
A． B． C．1 D．
6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思
得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为
第1页（共31页）A．88 B．90 C．91 D．92
7．（3分）如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，
垂足为 ．若 ， ， ，则 的长为
A．4 B．3 C． D．2
8．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程 （千米）与所用的时间 （分钟）
之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米 分钟
第2页（共31页）D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
9．（3分）如图，在 中， ， ，点 是 上一点，连结 ．若
， ，则 的长为
A． B．3 C． D．2
10．（3分）如图，等腰 的面积为 ， ， ．作 且 ．
点 是线段 上一动点，连结 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ， 是线段
的中点．那么，当点 从 点运动到 点时，点 的运动路径长为
A． B．3 C． D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分） ．
12．（3分）如图，已知直线 ， ， ．则 ．
第3页（共31页）13．（3分）已知菱形 的两条对角线 、 的长分别是 和 ．则菱形的面积为
．
14．（3分）已知 ，则 ．
15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩
形”．如图所示，“优美矩形” 的周长为26，则正方形 的边长为 ．
16．（3分）如图，平行四边形 的顶点 在 轴上，点 在 上，且 轴，
的延长线交 轴于点 ．若 ，则 ．
三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分） ．
18．（9分）解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后
结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
第4页（共31页）所以原不等式组解集为 ．
19．（9分）如图， 是线段 的中点， ， ．求证： ．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间
各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人
到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载
完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车
的速度．
22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择： ．文学鉴赏，
．趣味数学， ．川行历史， ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程
的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计
图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结
论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．
．随机抽取八年级三班的40名学生
．随机抽取八年级40名男生
．随机抽取八年级40名女生
．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生
都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，
估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
第5页（共31页）五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于点 ，直
线 经过点 ，且与 关于直线 对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（10分）如图，线段 为 的直径，点 、 在 上， ，过点 作 ，
垂足为点 ．连结 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）已知 的半径为6， ，延长 至点 ，使 ．求证： 是 的切
线．
第6页（共31页）六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形 中， ．求证： ．
证明：设 与 交于点 ，
四边形 是正方形，
， ．
，
，
．
．
，
．
．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形 中，点 、 、 、 分别在线段 、 、 、 上，且
．试猜想 的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形 中， ， ，点 、 、 、 分别在线段 、 、 、
上，且 ．则 ．
【拓展应用】
如图3，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在线段 、
上，且 ．求 的值．
第7页（共31页）26．（13分）如图1，已知二次函数 的图象与 轴交于点 、
，与 轴交于点 ，且 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点 作 轴交二次函数图象于点 ， 是二次函数图象上异于点 的一
个动点，连结 、 ，若 ，求点 的坐标；
（3）如图3，若点 是二次函数图象上位于 下方的一个动点，连结 交 于点 ．设点
的横坐标为 ，试用含 的代数式表示 的值，并求 的最大值．
第8页（共31页）2022年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）下面四个数中，比0小的数是
A． B．1 C． D．
【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越
大这个负数越小，利用这些法则即可求解．
【解答】解： ，
比0小的数是 ．
故选： ．
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项 、 、 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以是轴对称图形，
故选： ．
3．（3分）点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第9页（共31页）【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．
【解答】解： ，横坐标为 ，纵坐标为：2，
点在第二象限．
故选： ．
4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋
中任取1个球，取出黑球的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可知存在 种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求
出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．
【解答】解： 一个布袋中放着6个黑球和18个红球，
从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是 ，
故选： ．
5．（3分）关于 的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，则这两根之积为
A． B． C．1 D．
【分析】直接把 代入一元二次方程即可求出 的值，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解： 方程的其中一个根是1，
，解得 ，
两根的积为 ，
两根的积为 ，
故选： ．
6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思
得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为
第10页（共31页）A．88 B．90 C．91 D．92
【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．
【解答】解：李老师的综合成绩为： （分 ；
故选： ．
7．（3分）如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，
垂足为 ．若 ， ， ，则 的长为
A．4 B．3 C． D．2
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，结合三角形及平行四边形的面积
公式计算可求解．
【解答】解：在平行四边形 中， ，
， ，
，
， ， ，
，
解得 ，
故选： ．
8．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程 （千米）与所用的时间 （分钟）
第11页（共31页）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是
A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米 分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为 （千米 分），乙的速度是
（千米 分），
甲比乙的速度慢，故 正确，不符合题意；
经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故 正确，不符合题意；
甲40分钟走了3.2千米，
甲的平均速度为 （千米 分钟），故 正确，不符合题意；
经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，
甲比乙走过的路程多，故 错误，符合题意；
故选： ．
9．（3分）如图，在 中， ， ，点 是 上一点，连结 ．若
， ，则 的长为
第12页（共31页）A． B．3 C． D．2
【分析】过 点作 于 ，由锐角三角函数的定义可得 ，再解直角三角形可
求得 的长，利用勾股定理可求解 的长，进而求解 的长．
【解答】解：过 点作 于 ，
， ，
， ，
，
在 中， ， ，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
故选： ．
第13页（共31页）10．（3分）如图，等腰 的面积为 ， ， ．作 且 ．
点 是线段 上一动点，连结 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ， 是线段
的中点．那么，当点 从 点运动到 点时，点 的运动路径长为
A． B．3 C． D．4
【分析】如图，过点 作 于点 ．当点 与 重合时，点 与 重合，当点 与
重合时，点 的对应点为 ，点 的运动轨迹是 的中位线， ，利用相
似三角形的性质求出 可得结论．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ．
当点 与 重合时，点 与 重合，当点 与 重合时，点 的对应点为 ，
点 的运动轨迹是 的中位线， ，
， ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
第14页（共31页），
四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
△ ，
，
，
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分） 6 ．
【分析】根据绝对值的化简，由 ，可得 ，即得答案．
【解答】解： ，
则 ，
故答案为6．
12．（3分）如图，已知直线 ， ， ．则 ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出 ，再根据平行线的性质解答即可．
第15页（共31页）【解答】解：在 中， ， ，
则 ，
，
，
故答案为： ．
13．（3分）已知菱形 的两条对角线 、 的长分别是 和 ．则菱形的面积为
24 ．
【分析】根据菱形的面积 对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
【解答】解： 菱形 的两条对角线 、 的长分别是 和 ，
菱形的面积是 ，
故答案为：24．
14．（3分）已知 ，则 4 ．
【分析】根据完全平方公式得出 和 的值即可得出结论．
【解答】解： ，
，
即 ，
， ，
，
故答案为：4．
15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩
形”．如图所示，“优美矩形” 的周长为26，则正方形 的边长为 5 ．
【分析】设正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的
边长为 ，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可求出 的
值，再将其代入 中即可求出结论．
第16页（共31页）【解答】解：设正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形
的边长为 ，
依题意得： ，
解得： ，
，
即正方形 的边长为5．
故答案为：5．
16．（3分）如图，平行四边形 的顶点 在 轴上，点 在 上，且 轴，
的延长线交 轴于点 ．若 ，则 3 ．
【分析】连接 、 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据三角形的面积公式得到
， ，进而求出 ，根据反比例函数系数 的几何意义解答即可．
【解答】解：设 与 轴交于点 ，连接 、 ，
四边形 为平行四边形，
，
， ，
，
，
故答案为：3．
第17页（共31页）三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分） ．
【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合
并即可求解．
【解答】解：原式
．
18．（9分）解不等式组 ．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后
结果）．
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大
大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为 ，
第18页（共31页）故答案为： ， ， ．
19．（9分）如图， 是线段 的中点， ， ．求证： ．
【分析】根据 判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明： 点 为线段 的中点，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
． ．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将 的值代入化
简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间
第19页（共31页）各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人
到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载
完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车
的速度．
【分析】设摩托车的速度为 千米 小时，则抢修车的速度为 千米 小时，根据时间 路程
速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于 的分
式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设摩托车的速度为 千米 小时，则抢修车的速度为 千米 小时，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米 小时．
22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择： ．文学鉴赏，
．趣味数学， ．川行历史， ．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程
的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计
图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结
论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 ①③②④ ．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ．
．随机抽取八年级三班的40名学生
．随机抽取八年级40名男生
．随机抽取八年级40名女生
．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生
都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，
估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．
第20页（共31页）【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；
（2）根据抽样调查的特点解答即可；
（3）根据样本估计总体思想解答即可．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2）根据抽样调查的特点易判断出： ，
故答案为： ；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
（人 ，
，
答：至少应该开设5个班．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于点 ，直
线 经过点 ，且与 关于直线 对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
第21页（共31页）【分析】（1）将 点坐标代入直线 解析式，求出 的值，确定 点坐标，再代入反比例函数解
析式即可；
（2）通过已知条件求出直线 解析式，用 的面积 的面积解答即可．
【解答】解： 点 在直线 上，
，
，
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2）易知直线 与 、 轴的交点分别为 ， ，
直线 经过点 ，且与 关于直线 对称，
直线 与 轴的交点为 ，
设 ，则 ，
解得： ，
，
与 轴的交点为 ，
阴影部分的面积 的面积 的面积 ．
第22页（共31页）24．（10分）如图，线段 为 的直径，点 、 在 上， ，过点 作 ，
垂足为点 ．连结 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）已知 的半径为6， ，延长 至点 ，使 ．求证： 是 的切
线．
【分析】（1）证明 可得结论；
（2）证明 可得 ，从而得结论．
【解答】证明：（1）连接 ，
线段 为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
第23页（共31页）；
（2）连接 ，交 于 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形 中， ．求证： ．
证明：设 与 交于点 ，
四边形 是正方形，
， ．
，
，
．
．
第24页（共31页），
．
．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形 中，点 、 、 、 分别在线段 、 、 、 上，且
．试猜想 的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形 中， ， ，点 、 、 、 分别在线段 、 、 、
上，且 ．则 ．
【拓展应用】
如图3，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在线段 、
上，且 ．求 的值．
【分析】（1）过点 作 交 于点 ，作 交 的延长线于点 ，利用正
方形 ， ， 求证 即可；
（2）过点 作 交 于点 ，作 交 的延长线于点 ，利用在长方形
第25页（共31页）中， ， 求证 ．再根据其对应边
成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点 作 于点 ．设 交 于点 ．证明 ，推出
，可得结论．
【解答】解：（1）结论： ．
理由：如图1中，过点 作 交 于点 ，作 交 的延长线于点 ，
， ，
在正方形 中， ， ，
，
，
，
在 和 中， ， ， ，
，
，即 ，
；
（2）如图2中，过点 作 交 于点 ，作 交 的延长线于点 ，
第26页（共31页）， ，
在长方形 中， ， ，
，
，
．
．
，
， ，
．
故答案为： ；
（3）如图3中，过点 作 于点 ．设 交 于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
第27页（共31页）．
26．（13分）如图1，已知二次函数 的图象与 轴交于点 、
，与 轴交于点 ，且 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点 作 轴交二次函数图象于点 ， 是二次函数图象上异于点 的一
个动点，连结 、 ，若 ，求点 的坐标；
（3）如图3，若点 是二次函数图象上位于 下方的一个动点，连结 交 于点 ．设点
的横坐标为 ，试用含 的代数式表示 的值，并求 的最大值．
【分析】（1）在 中求出 的长，从而确定点 坐标，将二次函数设为交点式，将点
坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点 在第三象限和第一象限两种情形．当点 在第三象限时，设点 ，
可表示出 的面积，当点 在第三象限时，作 交 于 ，先求出直线 ，从
而得出 点坐标，从而表示出 的面积，根据 ，列出方程，进一步求得结果，
当 在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作 于 ，交 于 ，根据 ， ，表示出 的长，根据
，得出 ，从而得出 ，从而得出 的函数表达式，进一步
第28页（共31页）求得结果．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
点 ，
设二次函数的解析式为： ，
，
，
；
（2）设点 ，
如图1，当点 在第三象限时，作 交 于 ，
， ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ， 轴， ，
点 ，
，
第29页（共31页），
，
，
（舍去）， ，
当 时， ，
， ，
如图2，当点 在第一象限时，
作 轴于 ，交直线 于 ，
，
，
，
， （舍去），
当 时， ，
， ，
综上所述： ， 或 ， ；
（3）如图3，
第30页（共31页）作 于 ，交 于 ，
， ，
，
，
，
，
当 时， ．
第31页（共31页）
