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2022年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分） 的相反数是
A．2022 B． C． D．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是
A． B． C． D．
3．（4分）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将
这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）如图，直线 ， 是截线，若 ，则
A． B． C． D．
5．（4分）化简：
A． B． C．4 D．2
6．（4分）分式 有意义的条件是
A． B． C． D．
7．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
8．（4分）一组数据4、5、6、 、 的平均数为5，则 、 的平均数为
A．4 B．5 C．8 D．10
第1页（共29页）9．（4分）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的
圆心角 ，则扇形部件的面积为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．（4分）一次函数 的图象一定不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（4分）如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，若 ， ，
，则 的长为
A． B． C． D．
12．（4分）已知抛物线 经过点 和点 ，且对称轴在 轴的左侧，则下
列结论错误的是
A．
B．
C．抛物线经过点
D．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算： ．
14．（4分）分解因式： ．
第2页（共29页）15．（4分）如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 ，若
的面积为3，则 ．
16．（4分）如图， 是平面镜，光线从 点出发经 上点 反射后照射到 点，若入射角
为 ，反射角为 （反射角等于入射角）， 于点 ， 于点 ，且 ，
， ，则 的值为 ．
17．（4分）如图， 的直径 经过弦 的中点 ，若 ， ，则 的
半径为 ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）解方程： ．
19．（5分）先化简，再求值： ，其中 为满足 的整数．
20．（7分）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组
建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、
演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调
第3页（共29页）查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：
（1）该班的总人数为 人，并补全条形图（注 在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果
该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两
人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
21．（7分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从 处压折，
塔尖恰好落在坡面上的点 处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人
员迅速奔赴现场进行处理，在 处测得 与水平线的夹角为 ，塔基 所在斜坡与水平
线的夹角为 ， 、 两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
22．（8分）在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，菱形 的面积为40．求 的长．
第4页（共29页）四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
23．（5分）已知实数 、 满足 ，则代数式 的最小值是 ．
24．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中， 是 的外接圆，点 ， ， 在格点上，
则 的值是 ．
五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（8分）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求
和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体
育活动时间，某班计划采购 、 两种类型的羽毛球拍．已知购买3副 型羽毛球拍和4副
型羽毛球拍共需248元；购买5副 型羽毛球拍和2副 型羽毛球拍共需264元．
（1）求 、 两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购 、 两种类型的羽毛球拍共30副，且 型羽毛球拍的数量不少于 型羽
毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
26．（10分）阅读材料：
材料1：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值．
解： 一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ． ．
第5页（共29页）（2）类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为 、 ，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数 、 满足 ， ，且 ，求 的值．
27．（10分）如图，已知半径为5的 经过 轴上一点 ，与 轴交于 、 两点，连接 、
， 平分 ， ．
（1）判断 与 轴的位置关系，并说明理由；
（2）求 的长；
（3）连接 并延长交 于点 ，连接 ，求直线 的解析式．
28．（12分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 和点
，顶点为 ，点 在其对称轴上，且位于点 下方，将线段 绕点 按顺时针方向
旋转 ，点 落在抛物线上的点 处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点 ，这时点 落在点 的位置，在 轴上是否存在点
，使得 的值最小，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共29页）2022年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分） 的相反数是
A．2022 B． C． D．
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【解答】解： 的相反数是2022，
故选： ．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选： ．
3．（4分）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将
这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，且
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解： ．
故选： ．
4．（4分）如图，直线 ， 是截线，若 ，则
第7页（共29页）A． B． C． D．
【分析】根据两直线平行，得到 ，根据对顶角相等得到 ，从而得到
．
【解答】解：如图， ，
，
，
，
故选： ．
5．（4分）化简：
A． B． C．4 D．2
【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．
【解答】解：
，
故选： ．
6．（4分）分式 有意义的条件是
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得 ，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
，
第8页（共29页）故选： ．
7．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边．
【解答】解： ，不能组成三角形，不符合题意；
，不能组成三角形，不符合题意；
，能组成三角形，符合题意；
，不能组成三角形，不符合题意．
故选： ．
8．（4分）一组数据4、5、6、 、 的平均数为5，则 、 的平均数为
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】首先求得 、 的和，再求出 、 的平均数即可．
【解答】解： 一组数据4、5、6、 、 的平均数为5，
，
，
、 的平均数为 ，
故选： ．
9．（4分）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的
圆心角 ，则扇形部件的面积为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】连结 ， ， 所对的弦是直径，根据 的直径为1米，得到 米，
根据勾股定理得到 的长，根据扇形面积公式即可得出答案．
【解答】解：连结 ， ，如图所示，
，
是 的直径，
第9页（共29页）的直径为1米，
（米 ，
（米 ，
扇形部件的面积 （米 ，
故选： ．
10．（4分）一次函数 的图象一定不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解： 函数 中， ， ，
当 时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；
当 时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
则一定不经过第四象限．
故选： ．
11．（4分）如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，若 ， ，
，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】根据 ，得到 ，根据 ，得到 ， ，得到
第10页（共29页），根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．
【解答】解： ，
，
，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
12．（4分）已知抛物线 经过点 和点 ，且对称轴在 轴的左侧，则下
列结论错误的是
A．
B．
C．抛物线经过点
D．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
【分析】根据题意做出抛物线 的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
【解答】解：由题意作图如下：
第11页（共29页）由图知， ，
故 选项说法正确，不符合题意，
抛物线 经过点 和点 ，
， ，
，
故 选项说法正确，不符合题意，
对称轴在 轴的左侧，
抛物线不经过 ，
故 选项说法错误，符合题意，
由图知，抛物线 与直线 有两个交点，故关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
故 选项说法正确，不符合题意，
故选： ．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算： 202 2 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：2022．
14．（4分）分解因式： ．
【分析】原式提取 ，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
15．（4分）如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 ，若
的面积为3，则 6 ．
第12页（共29页）【分析】根据反比例函数系数 的几何意义得出结论即可．
【解答】解：由题知， 的面积为3，点 在反比例函数 的图象上，
，
即 ，
，
故答案为：6．
16．（4分）如图， 是平面镜，光线从 点出发经 上点 反射后照射到 点，若入射角
为 ，反射角为 （反射角等于入射角）， 于点 ， 于点 ，且 ，
， ，则 的值为 ．
【分析】先根据平行线的判定与性质可得 ， ，从而可得 ，再根据相似
三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，然后根据正切的
定义即可得．
【解答】解：如图，
由题意得： ，
第13页（共29页）又 ，
，
，
同理可得： ，
，
，
在 和 中 ，
，
，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
17．（4分）如图， 的直径 经过弦 的中点 ，若 ， ，则 的
半径为 ．
【分析】连接 ，由垂径定理的推论得出 ，由三角函数求出 ，由勾股定理得
出 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即
可．
【解答】解：连接 ，如图所示
是 的直径，且经过弦 的中点 ，
第14页（共29页），
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
；
故答案为： ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）解方程： ．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为
，
， ．
19．（5分）先化简，再求值： ，其中 为满足 的整数．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
第15页（共29页），
， ，
当 时，原式
．
20．（7分）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组
建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、
演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调
查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：
（1）该班的总人数为 5 0 人，并补全条形图（注 在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果
该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两
人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【分析】（1）由选择“声乐”社团人数及其所占百分比可得该班总人数，用该班总人数乘以
选择“演讲”人数所占比例即可得出其人数，据此可补全图形；
（2）设美术社团为 ，演讲社团为 ，声乐社团为 ．画树状图列出所有等可能结果，从中找
到恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的结果数，再根据概率公式求解即可得出答
案．
第16页（共29页）【解答】解：（1）该班总人数为 （人 ，
则选择“演讲”人数为 （人 ，
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）设美术社团为 ，演讲社团为 ，声乐社团为 ．画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人
参加演讲社团的有4种结果，
所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为 ．
21．（7分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从 处压折，
塔尖恰好落在坡面上的点 处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人
员迅速奔赴现场进行处理，在 处测得 与水平线的夹角为 ，塔基 所在斜坡与水平
线的夹角为 ， 、 两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
第17页（共29页）【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得 、 和 长，然后将它们相加，
即可得到压折前该输电铁塔的高度．
【解答】解：由已知可得，
， 米， ， ，
，
米，
（米 ，
， ，
，
米，
（米 ，
米，
答：压折前该输电铁塔的高度是 米．
22．（8分）在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
第18页（共29页）（2）若 ，菱形 的面积为40．求 的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得 ， ，利用中点的定义可得
，从而证明 ，然后利用全等三角形的性质可得 ，再根据
是 的中点，可得 ，从而可证四边形 是平行四边形，最后利用直角三角形
斜边上的中线可得 ，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形 的面积 的面积，再根据点 是 的中点，可
得 的面积 的面积，进而可得菱形 的面积 的面积，然后利用三
角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明： ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，
点 是 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
， 是 的中点，
，
四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
菱形 的面积 的面积，
点 是 的中点，
的面积 的面积，
菱形 的面积 的面积 ，
第19页（共29页），
，
，
的长为10．
四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
23．（5分）已知实数 、 满足 ，则代数式 的最小值是 6 ．
【分析】根据 得出 ，代入代数式 中，然后结合二次函数的
性质即可得到答案．
【解答】解： ，
，
原式
，
，
又 ，
，
，
当 时，原式的值随着 的增大而增大，
当 时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
24．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中， 是 的外接圆，点 ， ， 在格点上，
则 的值是 ．
第20页（共29页）【分析】先连接 ， ，然后根据题意，可以求得 的值，再根据圆周角定理可以得
到 ，从而可以得到 的值．
【解答】解：连接 ， ， 和 相交于点 ，
是 的直径，
，
， ，
，
，
，
的值是 ，
故答案为： ．
五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（8分）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求
和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体
育活动时间，某班计划采购 、 两种类型的羽毛球拍．已知购买3副 型羽毛球拍和4副
型羽毛球拍共需248元；购买5副 型羽毛球拍和2副 型羽毛球拍共需264元．
第21页（共29页）（1）求 、 两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购 、 两种类型的羽毛球拍共30副，且 型羽毛球拍的数量不少于 型羽
毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【分析】（1）设 种球拍每副 元， 种球拍每副 元，根据题意列出二元一次方程组，解方
程组即可；
（2）设购买 型球拍 副，根据题意列出不等式，解不等式求出 的范围，根据题意列出费用
关于 的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设 种球拍每副 元， 种球拍每副 元，
，
解得 ，
答： 种球拍每副40元， 种球拍每副32元；
（2）设购买 型球拍 副，总费用 元，
依题意得 ，
解得 ，
，
，
随 的增大而减小，
当 时， 最小， （元 ，
此时 （副 ，
答：费用最少的方案是购买 种球拍20副， 种球拍10副，所需费用1120元．
26．（10分）阅读材料：
材料1：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值．
解： 一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
第22页（共29页）则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ．
．
（2）类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为 、 ，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数 、 满足 ， ，且 ，求 的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得： ， ，再利用分式的化简求值的方法进行运
算即可；
（3）可把 与 看作是方程 的两个实数根，则有 ， ，再利用分式
的化简求值的方法进行运算即可．
【解答】解：（1） 一元二次方程 的两个根为 ， ，
， ，
故答案为： ， ；
（2） 一元二次方程 的两根分别为 、 ，
， ，
第23页（共29页）；
（3） 实数 、 满足 ， ，
，与 看作是方程 的两个实数根，
， ，
，
，
，
，
．
27．（10分）如图，已知半径为5的 经过 轴上一点 ，与 轴交于 、 两点，连接 、
， 平分 ， ．
（1）判断 与 轴的位置关系，并说明理由；
（2）求 的长；
（3）连接 并延长交 于点 ，连接 ，求直线 的解析式．
第24页（共29页）【分析】（1）连接 ，由 平分 可得 ，又 ，所以
，进而可得 ，所以 ，可得 轴，进而可得结
论；
（2）过点 作 轴于点 ，则 ，且四边形 是矩形，设 ，可分别
表达 和 ，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；
（3）连接 ，可得 ，根据勾股定理可求出 的长，进而可得出点 的坐标，利用
待定系数法可得出结论．
【解答】解：（1）猜测 与 轴相切，理由如下：
如图，连接 ，
平分 ，
，
又 ，
，
，
，
轴，
轴，
是半径，
与 轴相切．
（2）如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
第25页（共29页）设 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理可知， ，
，
解得 或 （舍去），
，
．
（3）如图，连接 与 交于点 ，
是直径，
，
轴，
，
由勾股定理可得 ，
．
由（2）可得 ，
设直线 的解析式为： ，
，解得 ．
直线 的解析式为： ．
28．（12分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 和点
，顶点为 ，点 在其对称轴上，且位于点 下方，将线段 绕点 按顺时针方向
旋转 ，点 落在抛物线上的点 处．
第26页（共29页）（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点 ，这时点 落在点 的位置，在 轴上是否存在点
，使得 的值最小，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到 ，则根据二次函数的性质得到 点坐标和抛物线的对称
轴为直线 ，如图，设 ，则 ，根据旋转性质得 ， ，
则 ，然后把 代入 得到关于 的方程，从而解方程求
出 ，即可得到点 的坐标；
（3） 点坐标为 ，顶点 坐标为 ，利用抛物线的平移规律确定 点坐标为 ，
找出点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则
的值最小，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，即可得到点 的坐标．
【解答】解：（1）把 和点 代入 ，
得 ，
解得： ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
第27页（共29页），抛物线的对称轴为直线 ，
如图，设 ，则 ，
线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 落在抛物线上的点 处，
， ，
，
把 代入 得：
，
整理得 ，
解得： （舍去）， ，
；
（3） 点坐标为 ，顶点 坐标为 ，将抛物线平移，使其顶点落在原点 ，这时点
落在点 的位置，
点坐标为 ，
点 关于 轴的对称点 ，
连接 交 轴于 ，则 的值最小，
第28页（共29页）设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ．
第29页（共29页）
