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[基础题组练]
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A.设圆心为(0，a)，则＝1，
解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝8 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝16 D．(x＋1)2＋y2＝16
解析：选A.因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x－y＋3＝0的
距离即为该圆的半径r，即r＝＝2.所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8.故选A.
3．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D.由题意得即或
故原方程表示两个半圆．
4．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2
均相切，则该圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝
2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.
5．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的
圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：选A.法一：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为
y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为
y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.
法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝16，
解方程组，得或(舍去)，即B(，)，因为A(8，0)，所以k ＝＝－，所以直线AB的方程为y－
AB
0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故选A.6．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的范围
为________．
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得
(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2<10，解得00)的直线l
与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x＋x＝.
1 2
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x＋1)＋(x＋1)＝.
1 2
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝
－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x，y)，则
0 0
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[综合题组练]
1．(应用型)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ
的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.
2．(创新型)设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最
小值为( )
A.－2 B.
C.－2 D.－2
解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x
－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，|PQ| ＝|CA|－2＝－2.故选
minC.
3．(2019·台州模拟)一个圆的圆心在直线y＝2x上，且与x轴的正半轴相切，被y轴截得
的弦长为2，则该圆的标准方程为________．
解析：根据题意，要求圆的圆心在直线y＝2x上，设其圆心为(m，2m)，
又由其与x轴的正半轴相切，则m＞0，则半径r＝2m，
则圆的标准方程为(x－m)2＋(y－2m)2＝4m2，
又由该圆被y轴截得的弦长为2，则有4m2＝3＋m2，
解可得：m＝±1，又由m＞0，则m＝1，
则该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
答案：(x－1)2＋(y－2)2＝4
4．(应用型)(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，
B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________．
解析：由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于点
P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－
(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为
6×4－12＝12.
答案：12
5．(应用型)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m
的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x，y)，N(x，y)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y
1 1 2 2
＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y＋y＝，yy＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即xx＋
1 2 1 2 1 2
yy ＝0.因为xx ＝(4－2y)(4－2y)＝16－8(y ＋y)＋4yy ，所以xx ＋yy ＝16－8(y ＋y)＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5yy＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.
1 2
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x＋x)＝，b＝(y＋y)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求
1 2 1 2
圆的方程为＋＝.
6．(创新型)在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的
两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x，0)，B(x，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x＋x＝m，xx＝2m.
1 2 1 2 1 2
令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC·BC＝0，得xx＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所
1 2
以m＝0或m＝－.
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.
