文档内容
第 15 讲 圆锥曲线中的最值及范围问题
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
由方程研究曲线的性质
2024年新I卷，第11题,6分 纵坐标的最值问题
求平面轨迹方程
求平面轨迹方程
由导数求函数的最值 (不含参)
2023年新I卷，第22题,12分 周长最值问题
基本(均值)不等式的应用
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
根据椭圆过的点求标准方程
求椭圆中的最值问题
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分 求椭圆的切线方程
椭圆中三角形 (四边形)的面积
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的最值问题及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的范围问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会运算，需强化
训练复习考点一、 弦长及周长类最值
1．（2021·全国·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．3．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆 经过点 ，且其左焦点坐标为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形 的四个顶点都在 上，且两条对角线均过 的右焦点，求 的
最小值.
4．（21-22高三上·江苏南通·开学考试）已知C为圆 的圆心，P是圆C上的动点，点
，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点 的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O： 相交于E，F两点，求
的取值范围．
5．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平
分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆 ，其左、右焦点分别为F，F，离心率
1 2
，点P为该椭圆上一点，且 FPF 的面积的最大值为 .
1 2
△
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，
过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
3．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2的直线l与
x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时， 面积为
．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上､下顶点分
别为 ，四边形 的面积为 且有一个内角为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，过点 的直线与椭圆 交于 两点（点 在点 的
上方），线段 上存在点 ，使得 ，求 的最小值.
考点二、 面积类最值
1．（2020·新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM
的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；(2)过 的两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 两点和 两点，设 的中点分别为 ，求
面积的最大值．
3．（2024·广东珠海·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且 ，
点 在椭圆C上，直线 ．
(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；
(2)当 时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的
最大值．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，
且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过 且不垂直于坐标轴的直线 交 于 两点，点 为 的中点，记 的面积为 的
面积为 ，求 的取值范围.
1．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在
上， ， ， 为直线 上关于 轴对称的两个动点，直线 ， 与 的另一个交点
分别为 ， .
(1)求 的标准方程；
(2) 为坐标原点，求 面积的最大值.
2．（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆 的离心率为 ；直线 与 只有
一个交点.
(1)求 的方程；
(2) 的左､右焦点分别为 上的点 （ 两点在 轴上方）满足 .
①试判断 （ 为原点）是否成立，并说明理由；
②求四边形 面积的最大值.
3．（2024·河北唐山·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 ；菱形 内接于椭圆 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)（ⅰ）坐标原点 在边 上的投影为点 ，求点 的轨迹方程；
（ⅱ）求菱形 面积的取值范围．
4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）将圆 上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来
的4倍，所得的曲线为 .记曲线 与 轴负半轴和 轴正半轴分别交于 两点， 为
轴上一点.
(1)求曲线 的方程；
(2)连接 交曲线 于点 ，过点 作 轴的垂线交曲线 于另一点 .记 的面积为 ，记
的面积为 ，求 的取值范围.
5．（2024·湖南永州·三模）已知 为坐标原点，动点 在椭圆 上，动点 满足 ，
记点 的轨迹为
(1)求轨迹 的方程；
(2)在轨迹 上是否存在点 ，使得过点 作椭圆 的两条切线互相垂直？若存在，求点 的坐标：若不存
在，请说明理由：
(3)过点 的直线 交轨迹 于 ， 两点，射线 交轨迹 于点 ，射线 交椭圆
于点 ，求四边形 面积的最大值.
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 ， 分别是椭圆 ：
的右顶点，上顶点，若 的离心率为 ，且 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，其中点 在第一象限，点 在 轴下方且不在 轴上，
设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值，并求出该定值；
（ii）设直线 与 轴交于点 ，求 的面积 的最大值.
考点三、 斜率类最值1．（2021·全国·高考真题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
2．（2024·浙江台州·一模）已知椭圆 ： 的上、下顶点分别为 ， ，点 在线段 上
运动（不含端点），点 ，直线 与椭圆交于 ， 两点（点 在点 左侧）， 中点 的轨迹
交 轴于 ， 两点，且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的最小值．
1．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆 的右焦点、上顶点，过原点的直线 交椭
圆 于A，B两点，满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的下顶点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，这两条直线与椭圆 的另一个交点分别为
M，N，设直线 的斜率为 的面积为 ，当 时，求 的取值范围．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为2，P是E的右支上一点，且 ， 的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分
别即为 和 ，求 的最小值．
考点 四 、 角度及三角函数类最值
1．（2022·全国·高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
2．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 ，过 的
直线交 于 ， 两点，当 点的横坐标为1时，点 到抛物线的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，记直线 ，
的倾斜角分别为 ， .求 的最大值.
1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C： 的两焦点分别为 ，并且经
过点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的直线交椭圆C于A，B两点，设直线 与C的另一个交点分别为M，N，记直线AB，MN
的倾斜角分别为 ，当 取得最大值时，求直线AB的方程.
2．（2023·福建三明·三模）已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为椭圆上
任意一点， 的最大值为 .当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 、 为椭圆的左、右顶点，点 满足 ，当 与 、 不重合时，射线 交椭圆 于点 ，
直线 、 交于点 ，求 的最大值.
考点 五 、 参数类最值
1．（2024·吉林·模拟预测）已知点 ，直线 ，动圆 与直线 相切，交线段 于点 ，且
．
(1)求圆心 的轨迹方程，并说明是什么曲线；(2)过点 且倾斜角大于 的直线 与 轴交于点 ，与 的轨迹相交于两点 ，且
，求 的值及 的取值范围.
1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知椭圆 ，点 、 分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若椭圆上点 满足 ，求 的值；
(2)点 为椭圆的右顶点，定点 在 轴上，若点 为椭圆上一动点，当 取得最小值时点 恰与点
重合，求实数 的取值范围；
(3)已知 为常数，过点 且法向量为 的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆 上存在点 满足
（ ），求 的最大值.
考点 六 、 向量类最值
1．（2023·浙江台州·统考模拟预测）已知点 是双曲线 与椭圆 的公共点，
直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，设直线 与 的倾斜角分别为 ， ，且满足 .
(1)求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(2)记（1）中直线 恒过定点为 ，若直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，求 的取值范围.
2．（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦
点分别 、 焦距为2，且与双曲线 共顶点．P为椭圆C上一点，直线 交椭圆C于另一点
Q．(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为 ，求过P、Q、 三点的圆的方程；
(3)若 ，且 ，求 的最大值．
1．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，
根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被
广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的光线照射到
抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知 为椭圆C： 上的点，C的焦距为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O： 的两条切线，切点分别为A，B，求 的取值
范围．
3．（2024·贵州贵阳·二模）一动圆圆 与圆 外切，同时与圆 内切.设动
圆圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;
(2)若曲线 与 轴的左、右交点分别为A、B，过点 的直线 与曲线 交于P、Q两点，直线AP、BQ
相交于点 ，当点 的纵坐标为 时，若 ，求 的最小值.考点 七 、 点到直线距离类最值
1．（2023·广东佛山·二模）双曲线 的左顶点为 ，焦距为4，过右焦点 作垂直
于实轴的直线交 于 、 两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线 的方程；
(2) 、 是 右支上的两动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，求点 到直线
的距离 的取值范围．
x2 y2
1．（2024·吉林·二模）设 分别为椭圆C: + =1(a>b>0): 的左、右焦点， 是椭圆 短轴的
a2 b2
一个顶点，已知 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点 是 的重心
（i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
（ii）求点 到直线 的距离的最大值.
考点 八 、 点坐标及截距类最值
1．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率 ．左顶点为 ，下顶点为 是线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
2．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交
点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
1．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆 的左右顶点距离为 ，离心率为
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 ，斜率存在且不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求弦 垂直平分线的纵截距的取
值范围.1．（2024·四川绵阳·二模）已知直线 与抛物线 交于A，B两点，F为E的焦
点，直线FA，FB的斜率之和为0．
(1)求E的方程；
(2)直线 分别交直线 于 两点，若 ，求k的取值范围．
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且直线 与 的斜率互为相反数，求 的中点 到右焦点 的距离
的最小值.
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆 的两个顶点分别为 ，
离心率 为椭圆上的动点，直线 分别交动直线 于点C，D，过点C作 的
垂线交x轴于点H．
(1)求椭圆E的方程；
(2) 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆 经过点 ，右焦点为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且直线 与 的斜率互为相反数，求 的中点 与 的最小距离．
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知 ，动点 满足 与 的斜率之积为定值 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线 与曲线 交于 两点，且 均在 轴右侧，过点 作直线 的垂线，垂
足为 .
（i）求证：直线 过定点；
（ii）求 面积的最小值.
6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知双曲线 的虚轴长为4，渐近线方程
为 .(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 ， 是双曲线上的动点，求 的最小值；
(3)过双曲线右焦点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 、 ，点 是线段 的中点，过点
且与 垂直的直线 交直线 于点 ，点 满足 ，求四边形 面积的最小值.
7．（2024·江西·一模）已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线的倾斜角为 ，C的右焦
点F到该渐近线的距离为 .
(1)求C的方程；
(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆 交于与A，B不重合的M，N两点.
（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；
（ⅱ）求 的取值范围.
8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线 的实轴长为4，渐近线方程为
.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)双曲线的左､右顶点分别为 ，过点 作与 轴不重合的直线 与 交于 两点，直线 与
交于点S，直线 与 交于点 .
（i）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，若 ，求 的值；
（ii）求 的面积的取值范围.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标为
.
(1)若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
(2)当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距离；
(3)直线 ， 是第一象限内 上异于 的动点， 在直线 上的投影为点 ，直线 与直线 的交点
为 .若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围.
10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 为椭圆 ： 的左焦点，椭圆 过点
，且直线 的斜率为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)若点 ， 在椭圆 上，且 ，过 ， 分别作椭圆 的切线 ， ， 与
相交于点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求 周长的最小值.
11．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点，
为椭圆上任意一点， 的最大值为 ，当 时， 的面积为 .
(1)求 的值；
(2) 为椭圆的左､右顶点，点 满足 ，当 与 不重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线
交于点 ，求 的最大值.
12．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知动圆的圆心在 轴上，且该动圆经过点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设过点 的直线 交轨迹 于 两点，若 为轨迹 上位于点 之间的一点，点 关
于 轴的对称点为点 ，过点 作 ，交 于点 ，求 的最大值．
13．（2022·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该
动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q点．求
的值；
(3)若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．
依题意 ，即 ，则 ，
14．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆 的离心率为 ，上顶点 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 为坐标原点， ，点 是椭圆 上的动点，过 作直线 分别交椭圆
于另外 三点，求 的取值范围.
15．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆 ： 的左右焦点分别为 、 ，设
P(x ,y )是第一象限内椭圆 上的一点， 、 的延长线分别交椭圆 于点 ，
0 0
(1)若 轴，求 的面积；
(2)若 ，求点 的坐标；
(3)求 的最小值.
1．（全国·高考真题）设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与AB
相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求四边形 面积的最大值．
2．（四川·高考真题）设 分别是椭圆 的左、右焦点．
(1)若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值；
(2)设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角(其中 为坐标原点)，求直线
的斜率的取值范围．
3．（安徽·高考真题）设 是抛物线 的焦点．
（Ⅰ）过点 作抛物线 的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设 为抛物线 上异于原点的两点，且满足 ，延长 分别交抛物线 于点 ，
求四边形 面积的最小值．4．（辽宁·高考真题）设椭圆方程为 ，过点 的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，
点P满足 ，点N的坐标为 ，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2） 的最小值与最大值.
5．（湖南·高考真题）已知平面内一动点 到点F（1，0）的距离与点 到 轴的距离的差等于1．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ，设 与轨迹 相交于点 ， 与轨迹 相交于点
，求 的最小值．
6．（上海·高考真题）已知双曲线 ， 为 上的任意点．
（1）求证：点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点 的坐标为 ，求 的最小值.
7．（北京·高考真题）.已知点 ， ，动点 满足条件 .记动点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.
8．（天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是
.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以 为斜率的直线 与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐
标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围.
9．（四川·高考真题）设 分别是椭圆 的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若 ，求点P的坐标；
(2)设过定点 的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且 为锐角（其中O为坐标原点），求直
线l的斜率k的取值范围．
10．（上海·高考真题）已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ，
右顶点为 ，设点 .（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；
（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求ΔABC面积的最大值.
11．（北京·高考真题）已知椭圆 .过点（m,0）作圆 的切线l交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将 表示为m的函数，并求 的最大值.
12．（福建·高考真题）已知椭圆 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有 ，求a的
取值范围．
13．（北京·高考真题）已知抛物线 ，过 且斜率为1的直线 与抛物线交于不同的两
点
（1）求 的取值范围；
（2）若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 面积的最大值．
14．（全国·高考真题）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直
线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4， 时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当 时，求k的取值范围.
15．（山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,椭圆C截直
线y=1所得线段的长度为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.
设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求 EDF的最小值.16．（上海·高考真题）如图, 直线 与抛物线 交于 两点, 线段 的垂直平分线与直线
交于 点.
（1）求点 的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段 下方（含 ）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
17．（浙江·高考真题）已知m＞1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、
右焦点.
（Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点， ， 的重心分别为 .若原点 在以线段， 为
直径的圆内，求实数 的取值范围.
18．（天津·高考真题）抛物线 的方程为 ，过抛物线 上一点 ( )作斜率为的两条直线分别交抛物线 于 两点( 三点互不相同)，且满足 （
且 ）．
（1）求抛物线 的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线 上一点 ，满足 ，证明线段 的中点在 轴上；
（3）当 =1时，若点 的坐标为 ，求 为钝角时点 的纵坐标 的取值范围.
19．（山东·高考真题）已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 的内切
圆半径为 ．记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的垂直平分线． 是 上异于椭圆中心的点．
（i）若 （ 为坐标原点），当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程；
（ii）若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
20．（山东·高考真题）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过动点 的直线交 轴与点 ，交 于点 ( 在第一象限)，且 是线段 的中
点.过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，延长 交 于点 .
（ⅰ）设直线 的斜率分别为 ，证明 为定值；
（ⅱ）求直线 的斜率的最小值.
