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[基础题组练]
1．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(
)
A．[－，] B．[－2，2]
C．[－－1，－1] D．[－2－1，2－1]
解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线
的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
2．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，
所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
3．(2019·成都模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交
于A，B两点，且|AB|＝，则OA·OB的值是( )
A．－ B.
C．－ D．0
解析：选A.在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝
1×1×cos 120°＝－.
4．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相
等，则b＝( )
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：选D.记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|
CB|＝可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝
±.
5．(2019·四川南充模拟)已知圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O 的圆心坐标为(2，1)．若
1 2
两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O 的方程为( )
2
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
解析：选C.设圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)．因为圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝
2 1
6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0，圆心O 到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，
1
得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2
2
＝22.6．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值
范围是________．
解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.
所以a∈(－2，0)∪(0，2)．
答案：(－2，0)∪(0，2)
7．过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是
____________．
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x＝，此时直线l与圆相离，没有公共
点，不符合题意．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－1＝k(x－)，即kx－y－k＋1＝0.
因为直线l和圆有公共点，
所以圆心到直线的距离小于或等于半径，则
≤1，计算得0≤k≤，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
答案：
8．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两
点，则|AB|的最小值为________．
解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1，2)，由已知可得圆C的标准方程为
x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0，1)，半径r＝2，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，
因为|CP|＝＝，故|AB| ＝2＝2.
min
答案：2
9．圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O 的圆心坐标为(2，1)．
1 2
(1)若圆O 与圆O 外切，求圆O 的方程；
1 2 2
(2)若圆O 与圆O 相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O 的方程．
1 2 2
解：(1)因为圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
1
所以圆心O(0，－1)，半径r＝2.
1 1
设圆O 的半径为r，由两圆外切知|OO|＝r＋r.
2 2 1 2 1 2
又|OO|＝＝2，
1 2
所以r＝|OO|－r＝2－2.
2 1 2 1
所以圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
2
(2)设圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
2
又圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
1
相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.
设线段AB的中点为H，因为r＝2，所以|OH|＝＝.
1 1
又|OH|＝＝，
1
所以＝，解得r＝4或r＝20.
所以圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
2
10．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直
径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x，y)，B(x，y)，l：x＝my＋2.
1 1 2 2
由可得y2－2my－4＝0，则yy＝－4.
1 2
又x＝，x＝，故xx＝＝4.
1 2 1 2
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y＋y＝2m，x＋x＝m(y＋y)＋4＝2m2＋4.
1 2 1 2 1 2
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径
r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0，
故(x－4)(x－4)＋(y＋2)(y＋2)＝0，
1 2 1 2
即xx－4(x＋x)＋yy＋2(y＋y)＋20＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2
由(1)可得yy＝－4，xx＝4.
1 2 1 2
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M
的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方
程为＋＝.
[综合题组练]
1．(创新型)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且
△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－1 B．－1
C．1或－1 D．1
解析：选C.由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，
所以＝，
解得a＝±1，故选C.
2．(2019·合肥市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且
与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k
的最小值为( )
A. B.C．2 D．4
解析：选D.由圆C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为＝2，
又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，
则圆心的横坐标x＝＝，
即圆心为(，2)，
所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4.
因为k>0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切，
可得2＝，
即k2－4k＝0，解得k＝4(k＝0舍去)，故选D.
3．(应用型)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两
点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，
2)，半径为3.由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直
线x－y＋a＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝6.
答案：0或6
4．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处
1
的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：因为两圆在点A处的切线互相垂直，所以OA⊥OA，
1
所以|OO |＝＝5，
1
故m＝±5，连接AB，交x轴于点C，由对称性知|AB|＝2|AC|＝2×2×＝4.
答案：4
5．(2019·河北武邑中学4月模拟)已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相
等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.
(1)求⊙H的方程；
(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范
围．
解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，
因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一
定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，
n＝1.
又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.
所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
(2)设N(x，y)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.
0 0
因为M，N两点均在⊙H上，所以(x－2)2＋(y－1)2＝2，①
0 0
＋＝2，
即(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，②
0 0设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，
由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，从而2－≤|HI|≤2＋，
即≤≤3，
整理可得2≤a2－4a＋5≤18，
解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，
所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3，2＋]．
6.(综合型)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半
轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接
AN，BN，求证：k ＋k 为定值．
AN BN
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，
则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，
所以m2＝4＋()2＝，
解得m＝，
所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝.
(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知k ＝k ＝0，
AN BN
即k ＋k ＝0.
AN BN
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整
理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
所以，则k ＋k ＝＋＝＋＝＝＝0.
AN BN
综上可知，k ＋k 为定值．
AN BN
