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[基础题组练]
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C. ＋> D. ＋≥2
解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显
错误．
对于D，因为ab>0，
所以＋≥2 ＝2.
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x；
对于选项B，当sin x<0时显然不成立；
对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对于选项D，因为x2＋1≥1，
所以0<≤1.故选C.
3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )
A. B.
C．－1 D．0
解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)
在上的最小值是0.
4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
5．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以lg(2x·8y)＝lg 2，所以2x＋3y＝2，
所以x＋3y＝1.
因为x>0，y>0，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故
选C.
6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．
解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，
所以≥1；
又≥M恒成立，
所以M≤1，即M的最大值为1.
答案：1
7．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
所以＋＝
＝＋＋≥＋2＝.
当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
8．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大
值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
答案：2
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，
即x＝1时取等号，
所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[综合题组练]
1．(应用型)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
解析：选B.由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，
即a＝3b时等号成立，
所以m≤12，所以m的最大值为12.
2．(应用型)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B.
C．9 D．16
解析：选B.＋
＝·
＝
≥
＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.
3．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k
的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k
的值为1，
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时取等号，
故函数f(x)的最小值为3.
答案：1 3
4．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，
所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·
＝≥＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由
解得
所以＋的最小值为.
5．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x
万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年
销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要
再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固
定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k k＝2，所以x＝3－(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
⇒
所以2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1 m＝3(万元)时，y ＝21(万元)．
max
故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
⇒
