文档内容
第 10 讲 图形类解三角形综合
（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分
【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形
2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解
【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复
习
知识讲解
1. 正弦定理
（其中 为 外接圆的半径）
2. 余弦定理
， ，
3. 三角形的面积公式
，
考点一、 图形类解三角形综合考查
1．（江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
2．（全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 已知 .
（1）求角 和边长 ；
（2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积.
3．（四川·高考真题）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若 求 的值.
4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 中， .
(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记
∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求 的值；
(2)若△ABD的面积为 ，△BCD的面积为 ，求 的最大值.
1．（湖南·高考真题）如图，在平面四边形 中，
,
(1)求 的值；
(2)求 的长
2．（湖南·高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝ .
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－ ，sin∠CBA＝ ，求BC的长．
3．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形 中， ．(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
4．（2024·山东菏泽·二模）已知在 中， 的面积为 ．
(1)求角 的度数；
(2)若 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ．当 取到最小值时，求 的
值．
1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
， ，点D在边BC上，且 .
(1)求 ；
(2)求线段AD的长.
2．（23-24高三上·湖北·期末）如图，在 中， ，点 是边 上一点，且
，(1)求 的面积；
(2)求线段 的长.
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
4．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形 中， 的
面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
5．（2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 ，
， 交 于点 .(1)求 ；
(2)求 .
6．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知A，B，C，D四点逆时针排列于同一个圆O上，其中
的面积为 ， ．
(1)求边 的长；
(2)当圆心O在 上时，求 ．
7．（23-24高三上·江西·阶段练习）如图，在梯形 中， ， ， .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 .
8．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在 中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边上, ,
, .
(1)求 的大小;
(2)若 ,求 的面积.9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ，
的角平分线与 相交于点 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)求 的值.
10．（2024·山西晋中·三模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，在边 上（不含端点）存在点 ，使得 ，求 的取值范围．
1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在 中，已知 为锐角， 边上的两条中线
相交于点 的面积为 .
(1)求 的长度；
(2)求 的余弦值.
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且
．
(1)求A；
(2)若 ，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转 ， ，旋转后相交于点D（如图所示），且 ，求AD．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点 ， ， ， 构成的四边形 中， ，
， ， .
(1)求 面积的取值范围；
(2)若四边形 存在外接圆，求外接圆面积.
4．（2024·浙江绍兴·二模）在三角形 中，内角 对应边分别为 且 .
(1)求 的大小；
(2)如图所示， 为 外一点， ， ， ， ，求 及
的面积.
5．（2024·广西来宾·模拟预测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 平分线，
(1)求 ；
(2)若 ， 上存在点 ，使得 ，求 ．
6．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
．(1)求A；
(2)如图所示，D为平面上一点，与 构成一个四边形ABDC，且 ，若 ，求AD的最
大值．
7．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗
尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线
及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是 中BC边上的中线，则 .
(1)若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 中，若 ，D为BC中点， ， ， ，
求 的值.
8．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ，
设 .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 .
9．（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在 中， ，AD平分 ，且 .(1)若 ，求BC的长度；
(2)求k的取值范围；
(3)若 ，求k为何值时，BC最短.
10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在 中，已知 ， ， ， 边
上的中点为 ，点 是边 上的动点（不含端点）， ， 相交于点 ．
(1)求 的正弦值；
(2)当点 为 中点时，求 的余弦值．
(3)当 取得最小值时，设 ，求 的值．
1．（北京·高考真题）如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ，
.
（1）求 ；
（2）求 的长.
2．（安徽·高考真题）在 ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a= ，b= ， ，求边BC上的
高.
3．（海南·高考真题）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于
E，AB=2.
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE．
4．（全国·高考真题）如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ ，BC＝1，P为 ABC内一点，∠BPC＝90°.
△ △
(1)若PB＝ ，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
5．（湖南·高考真题）如图， 是直角 斜边 上一点， ，记 , .
（1）证明 ；
（2）若 ，求 的值.
