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[基础题组练]
1．(2019·唐山五校联考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为( )
A. B．2
C．4 D．6
解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝
0，平移该直线，易知当直线过点时，z ＝2×＋＝，故选A.
min
2．(2019·广州市调研测试)已知点A(2，1)，O是坐标原点，P(x，y)的坐标满足：，设z＝
OP·OA，则z的最大值是( )
A．－6 B．1 C．2 D．4
解析：选D.法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z＝OP·OA＝2x＋y，作出
直线2x＋y＝0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值，由，得，即C(1，2)，则z的最大值
是4，故选D.
法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z＝
OP·OA＝2x＋y，易知目标函数z＝2x＋y的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别
为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z＝2x＋y，对应z的值为0，4，－6，
故z的最大值是4，故选D.
3．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范
围为( )
A．(0，3] B．[－1，1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：选D.直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，
由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1，2)时，k最小，
此时k ＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.
CM4．(2019·湖北黄冈模拟)若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，
动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A．9 B．3
C. D.
解析：选D.如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，
由动直线x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1，知△ACD是斜边为3
的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立解得所以D，所以区域的
面积S ＝S －S ＝×3×－×1×1＝，故选D.
阴影 △ACD △OEC
5．实数x，y满足(a<1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所
示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过
可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.
6．(2019·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．
解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，
当u＝x－2y经过点A(1，3)时取得最小值，即u ＝1－2×3＝－5，此时z＝取得最大值，即
min
z ＝＝32.
max法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝的最大值在区域的
顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝，即可求得最大值．联立得解得A(1，
3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通过
比较可知，在点A(1，3)处，z＝取得最大值32.
答案：32
7．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为________．
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分
所示，
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点
D(2，0)的距离的平方，
由图知C，D间的距离最小，此时z最小．
由得即C(0，1)，
此时z ＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5.
min
答案：5
8．已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为________．
解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)．
目标函数z＝表示过点Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC平面区域
内(含边界)．显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为＝－.
答案：－
9.如图所示，已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三
角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取
值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原
点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，
解得－18
