§1.1 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、
集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给
定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集
的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及
集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或 B ⊇ A .
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 x A ，就称集合A是集合B的真子集，记
作AB或BA.
∉
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
所有属于集合A或属于
并集 集合B的元素组成的集 {x|x∈A，或x∈B} A ∪ B
合
所有属于集合A且属于
交集 集合B的元素组成的集 {x|x∈A，且x∈B} A ∩ B
合
全集U中不属于集合A
的所有元素组成的集合
补集 {x|x∈U，且x A} ∁ A
U
称为集合A相对于全集U
∉
的补集
微思考
1．若一个集合A中有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？
提示 子集：2n，真子集：2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是( )
A．2 A B．8⊆A
C．{4}∈A D．{0}⊆A
∉
答案 AD
3．已知集合P＝{1，a}，Q＝{1，a2}，若P＝Q，则a＝________.
答案 0
4.设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁ A)∪B＝________.
U
答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为∁ A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁ A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
U U
题组三 易错自纠5．已知集合A＝{x|x－a>0}，B＝{x|x>1}，若AB，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
答案 0或1或－1
解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴N＝∅或N＝M，
∴a＝0或a＝±1.
题型一 集合的含义与表示
1．(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1 A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
∉ ∉
答案 BCD
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；
令－11＝3k－1，得k＝－∉Z，所以－11 A，所以B正确；
因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，∉所以C正确；
令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．
2．已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1,0,1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)}，共有5个元素．
3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 ①当a－3＝－3时，即a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，即a＝－1，
此时A＝{－4，－3，－3}舍，
③当a2－4＝－3时，即a＝±1，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
4．已知a，b∈R，若＝，则a2 021＋b2 021＝________.答案 －1
解析 由已知得a≠0，则＝0，
所以b＝0，
于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，
又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，
故a＝－1，
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限
制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
题型二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合
C的个数为________．
答案 4
解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围
是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 ∵B⊆A，
①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，
②当B≠ ∅时，
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则
易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1 (1)(八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁ M⊆N，则M∪(∁ N)等于( )
R R
A．∅ B．M C．N D．R
答案 B
解析 画Venn图即可，注意最后求并集．(2)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋1}，若AB，则实数m的取值范
围是________．
答案 [2,4]
解析 A＝{x|(x＋1)(x－5)≤0}＝{x|－1≤x≤5}，
∵AB，
∴或
解得2≤m≤4.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于( )
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
答案 C
解析 A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}
＝{x|1≤x<4}．
(2)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B可以是________．(只要写出
一个即可)
答案 {0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}
解析 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∵A∪B＝{0,1,2}，∴0∈B，∴集合B可以是{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例3 (1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围
是( )
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 因为 A∩B有4个子集，所以 A∩B中有 2个不同的元素，所以 a∈A，所以 a2－
3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.
(2)(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a
等于( )A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案 B
解析 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝.
由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，
所以a＝－2.
[高考改编题] 已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值
范围是( )
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
答案 D
解析 集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，
由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4.
思维升华 (1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用 Venn图表示；
如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．
跟踪训练2 (1)已知全集U＝R，集合A＝{x|2x>4}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，则(∁ A)∩B等于
U
( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1,3) D．(－∞，2]
答案 B
解析 A＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，∁ A＝{x|x≤2}，B＝{x|1<x<3}．
U
∴(∁ A)∩B＝{x|1<x≤2}．
U
(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠ ∅ ，则a的取值范围是( )
A．－1<a≤2 B．a>2
C．a≥－1 D．a>－1
答案 D
解析 在数轴上画出集合A，B(如图)，
观察可知a>－1.
题型四 集合的新定义问题例4 (1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：
A*B＝{x|x＝x＋x，x∈A，x∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( )
1 2 1 2
A．15 B．16 C．20 D．21
答案 D
解析 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x ＋x ，
1 2
x∈A，x∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2
1 2
＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之
和为21.
(2)若集合A ，A 满足A∪A ＝A，则称(A ，A)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A
1 2 1 2 1 2 1
＝A 时，(A，A)与(A，A)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同
2 1 2 2 1
分拆种数是________．
答案 27
解析 不妨令A＝{1,2,3}，∵A∪A＝A，
1 2
当A＝∅时，A＝{1,2,3}，
1 2
当A＝{1}时，A 可为{2,3}，{1,2,3}共2种，
1 2
同理A＝{2}，{3}时，A 各有两种，
1 2
当A＝{1,2}时，A 可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，
1 2
同理A＝{1,3}，{2,3}时，A 各有4种，
1 2
当A＝{1,2,3}时，A 可为A 的子集，共8种，
1 2 1
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．
素养提升 解决集合新定义问题的关键是
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结
合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结
合集合的相关性质求解．
(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．
跟踪训练3 (2021·长沙模拟)定义一种新的集合运算※：A※B＝{x|x∈A且x B}．若集合A＝
{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算※，B※A等于( )
∉
A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}
C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}
答案 B
解析 由题意知，A＝{x|1<x<3}，在数轴上表示出A，B的区间，可得B※A＝{x|3≤x≤4}．课时精练
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁ A)等于( )
U
A．{1,6} B．{1,7} C．{6,7} D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁ A＝{1,6,7}．
U
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁ A)＝{6,7}．
U
2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 ∵M＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．
3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B等于( )
A．{(1,1)} B．{(－2,4)}
C．{(1,1)，(－2,4)} D．∅
答案 C
解析 首先注意到集合A与集合B均为点集，
联立解得或
从而集合A∩B＝{(1,1)，(－2,4)}．
4．设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则( )
A．MN B．NM C．M∈N D．N∈M
答案 A
解析 N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，
当n＝2k，k∈Z时，N＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}＝M，
当n＝2k＋1，k∈Z时，N＝{x|x＝4k＋3，k∈Z}，
所以MN.
5．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－
1，故集合A中的元素个数为4.6．(多选)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的真子集可以为(
)
A．∅ B．{1} C．{3} D．{1,3}
答案 ABC
解析 由题意，得B＝{－1,1,3,5}，
∴A∩B＝{1,3}．
故集合A∩B的真子集可以为∅，{1}，{3}．
7．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是( )
A．A∪B＝B
B．(∁ B)∪A＝R
R
C．A∩B＝{x|1<x≤2}
D．(∁ B)∪(∁ A)＝{x|x≤1或x>2}
R R
答案 CD
解析 因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，
所以A＝{x|1≤x≤2}；
因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}．
所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}．
(∁ B)∪A＝{x|x≤2或x>3}，(∁ B)∪(∁ A)＝{x|x≤1或x>2}．
R R R
8．(多选)已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx＝1，m∈R}，若B⊆A，则实数m可能的取值为(
)
A．0 B．1 C. D．2
答案 ABC
解析 当m＝0时，B＝∅⊆A成立；
当m≠0时，则B＝{x|mx＝1，m∈R}＝，
∵B⊆A，∴＝1或＝2，
解得m＝1或m＝.
综上所述，实数m可能的取值为0,1，.
9．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.
答案 0或3
解析 因为B⊆A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合中元素的互异性可
知m≠1，所以m＝0或3.
10．已知集合A＝{x|－5<x<1}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，若A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝
________.
答案 0
解析 ∵A∩B＝(－1，n)，∴m＝－1，n＝1，
∴m＋n＝0.
11．已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|m<x<m＋9}，若A∩B≠
∅
，则实数m的取值范围是
________．
答案 {m|－11<m<3}
解析 若A∩B＝∅，则有m＋9≤－2或m≥3，
解得m≤－11或m≥3，
所以当A∩B≠ ∅时，
实数m的取值范围为{m|－11<m<3}．
12．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{3,5}，则用列举法表示 A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝
________.
答案 {－1，－3,1,3}
解析 当a＝1，b＝3时，2a－b＝－1，
当a＝1，b＝5时，2a－b＝－3，
当a＝2，b＝3时，2a－b＝1，
当a＝2，b＝5时，2a－b＝－1，
当a＝3，b＝3时，2a－b＝3，
当a＝3，b＝5时，2a－b＝1，
∴A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝{－1，－3,1,3}．
13．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古
典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，
阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生
人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
答案 C
解析 根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用Venn图表示如图，所以该校阅读过
《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
14．已知集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当a－1≤1时，A∪B＝R，
故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a<1时，A＝(－∞，
a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又∵a－1<a，∴A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知
a∈(－∞，2]．
15．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋3a－5＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取
值范围是( )
A．∅ B．{2}
C．(2,10) D．[2,10)
答案 D
解析 由题意，可得A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
因为A∩B＝B，所以B⊆A.
(1)当B＝∅时，方程x2－ax＋3a－5＝0无解，则Δ＝a2－4(3a－5)<0，解得2<a<10，此时满
足题意．
(2)当B≠ ∅时，若B⊆A，则B＝{1}或{2}或{1,2}．
①当B＝{1}时，1－a＋3a－5＝0，得a＝2，此时B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，满足题意；
②当B＝{2}时，4－2a＋3a－5＝0，得a＝1，此时B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，不满足题
意，即a≠1；
③当B＝{1,2}时，根据根与系数的关系可得此时无解．
综上得，实数a的取值范围为[2,10)．
16．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从
连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建
立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年
的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集 Q划分为两个非空的子集
M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称
(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案 BD
解析 对选项A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，
N有一个最小元素0，故B正确；
对选项C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝
∅，故C错误；
对选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N
也没有最小元素，故D正确．
