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第 3 讲 概率及随机变量的分布列
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：古典概型
突破二：互斥（对立）事件，事件相互独立
突破三：条件概率
突破四：离散型随机变量的数学期望和方差
突破五：超几何分布
突破六：二项分布
突破七：正态分布
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件
的概率 .
其中， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数．
2、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件 ，都有 ；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ， ；
性质5：如果 ，那么 ，由该性质可得，对于任意事件 ，因为 ，所以
.
性质3：如果事件 与事件 互斥，那么 ；
注意：只有事件 与事件 互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
性质4：如果事件 与事件 互为对立事件，那么 ， ；性质6：设 ， 是一个随机试验中的两个事件，有
3、相互独立事件的概念
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件 、不可能事件 与任意事件相互独立
性质2：如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
则： ， ，
4、条件概率
（1）一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生的条
件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已
知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.
②事件 在“事件 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同
的.
③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生
影响了所求事件的概率，也是条件概率.
④在条件概率的定义中，要强调 ,当 时，不能用这一方法定义事件 发生的条件下，事
件 发生的概率.
（2）条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 ；
③设 和 互为对立事件，则 ．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即： .
5、事件的相互独立性
（1）事件 与事件 相互独立：对任意的两个事件 与 ,如果 成立，则称事件
与事件 相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件 与事件 相互独立，则 与 , 与 , 与 也都相互独立， ,
.
（3）易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概
率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.6、离散型随机变量的均值和方差
一般地，若离散型随机变量 的概率分布为：
… …
… …
（1）则称 为随机变量 的均值(mean)或数学期望
(mathematical expectation),数学期望简称期望.
（2）称
为随机变量 的方差，有时也记为 .
称 为随机变量 的标准差.
7、 重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件 发生的概率是 ,事件 在 次试验中发生 次，共有 种情形，
由试验的独立性知，每种情形下， 在 次试验中发生，而在其余 次试验中不发生的概率都是
,所以由概率加法公式知，在 重伯努利试验中，事件 恰好发生次的概率为
( ) .
8、二项分布
（1）一般地，在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ( )，用 表示事件
发生的次数，则 的分布列为 ， .
如果随机变量 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布，记作 ．
（2）二项分布的均值与方差
若随机变量 服从参数为 , 的二项分布，即 ,则 , .
9、超几何分布
一般地，假设一批产品共有 件，其中有 件次品，从 件产品中随机抽取 件(不放回)，用
表示抽取的 件产品中的次品数，则 的分布列为 ， .
其中 ， ， ， ， ．
如果随机变量 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 服从超几何分布．
10、正态分布
（1）正态分布若随机变量 的概率密度函数为 ，( ,其中 ， 为参数)，称随机
变量 服从正态分布，记为 .
（2）标准正态分布
若随机变量 ,则当 , 时，称随机变量 服从标准正态分布，标准正态分布的密
度函数解析式为 , ,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.
（3）正态分布的 原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设 ，可以证明：对给定的 是一
个只与 有关的定值.
特别地， ，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是 ，但在一次试验中， 的值几乎总是落在区间
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 中的值，这
在统计学中称为 原则.
第二部分：重难点题型突破
突破一：古典概型
1．（2022·广西·模拟预测（理））将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】先考虑总情况，7个位置选3个放1，有 种，再考虑任意两个1都不相邻的情况，将3个1插入
4个0形成的5个空中，有 种，则概率为 ，故选：C.
2．（2022·四川雅安·模拟预测（理））甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有
A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服
务的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，4名志愿者到三个小区服务的试验的基本事件有 种，它们等可能，
甲不在A小区、乙不在B小区服务，甲、乙各有2种选法，丙、丁各有3种选法，
甲不在A小区、乙不在B小区服务的事件 含有的基本事件有 种，
所以甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率 .
故选：B
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生
更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人
单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，
所以每所高校共有 种选择，
所以甲、乙两所高校共有 种选择，
其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有 种，
所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为 ，
故选：D
4．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）5个同学报名参加志愿者活动，每人可从3项活动中任选一项参
加.则其中恰有2项活动有同学报名的概率是 __________.【答案】
【详解】全部可能的报名情况数为 种，
恰有2项活动有人报名可以看作先从3个项目中选出2个，有 种选法，
然后再让5名同学参加，则共有 种方法，
但必须减去5名同学都参加其中一个这种情况， ，
故恰有2项活动有同学参加有 种情况，其概率为 ；
故答案为： .
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏
羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友
居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽
出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为______．
【答案】 ##0.4
【详解】依题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，
从阳数和阴数中分别随机抽出1个有：
，共25个结果，
被抽到的2个数的数字之和超过12的有： ，共
10种，所以被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为 .
故答案为：
6．（2022·河南新乡·一模（文））某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了100位市民调查，
结果统计如下．
不支
支持 合计
持
年龄不大于50岁 30
年龄大于50岁 10 25
合计 100
(1)根据已有数据，把表格填写完整．
(2)能否有 的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名男性，其中3名是医生，现从这6名男性中随机抽取3
人，求至少有2名医生的概率．
附： ， ．
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)列联表见解析；
(2)没有把握；
(3) .
【详解】（1）
不支
支持 合计
持
年龄不大于50岁 45 30 75
年龄大于50岁 10 15 25
合计 55 45 100（2）因为 ，
所以没有 的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关．
（3）记6人分别为a，b，c，d，e，f．其中a，b，c表示医生，
从6人中任意抽3人的所有基本事件有
共20个，
其中至少有2名医生的基本事件有 ，共10个，
所以所求概率是 ．
7．（2022·贵州·模拟预测（文））2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航
天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩
（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率
分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这50名同学的平均成绩；
(2)先用分层抽样的方法从评分在 和 的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取
2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由已知 ，∴ ，记平均成绩为 ， .
（2）先用分层抽样的方法从分数在 和 的同学中抽取5名同学，
则应从 中抽取1人，记为 ， 中抽取4人，记为 ， ， ， .
从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：
， ， ， ， ， 共6种.
故所求概率 .
突破二：互斥（对立）事件，事件相互独立
1．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3
个白球，现从袋中随机抽取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：
至多有1个蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（ ）
A．事件甲与事件丁为对立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍
C．事件丙和事件丁相互独立 D．事件甲与事件丙相互独立
【答案】B
【详解】事件甲与事件丁为互斥事件，但事件取得的3个球为2个红球，1个白球发生时，事件甲与事件
丁都不发生，所以事件甲与事件丁不对立，A项错误；事件甲的概率 ，事件乙的概率
，事件丙的概率 ，事件丁的概率 ， ，
故B项正确；事件丙和事件丁同时发生的概率 ，故C项错误；因为事件甲与事件丙同时发生的事件为甲事件，且 ，所以事件甲与事件丙不相互独立，故D项错误．
故选：B．
2．（2022·江苏·二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升
学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地
冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门
课程学习，设事件 “甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件 “甲乙两人所选课程完全不同”，
事件 “甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】C
【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；
故 与 互斥不对立， 与 不互斥，
所以 ， ，
且 ， ，
所以 ， ，
即 与 相互独立， 与 不相互独立.
故选：C
3．（2022·广西·南宁三中二模（文））从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：
①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件；
②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；
③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件；
④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.
在上述说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设两个红球为球a、球b，两个黑球为球1、球2.
则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，所有可能的情况为共6种.
①至少有一个黑球与都是黑球有公共事件 ，故二者不是互斥事件，判断错误；
②至少有一个黑球与至少有一个红球有公共事件 ，故二者不是互斥事件，判断正确；
③恰好有一个黑球包含事件 ，恰好有两个黑球包含事件 ，故二者是互斥事件，判
断正确；
④至少有一个黑球包含事件 ，都是红球包含事件 ，故二者是对立事件，判
断正确.
故选：C
4．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件 ，“第二枚为正
面”记为事件 ， “两枚结果相同”记为事件 ，那么事件 与 ， 与 间的关系是（ ）
A． 与 ， 与 均相互独立 B． 与 相互独立， 与 互斥
C． 与 ， 与 均互斥 D． 与 互斥， 与 相互独立
【答案】A
【详解】由题意得 ， ，
所以 .
所以 与 ， 与 均相互独立， 与 ， 与 均不互斥.
故选：A.
突破三：条件概率
1．（2022·湖南永州·一模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人
只去一处景点，设事件 为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了九嶷山”，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为 ，
事件 的情况数为 ，则事件 发生的概率为 ，
事件 与事件 的交事件 为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”
事件 的情况数为 ，则事件 发生的概率为 ，
即 .
故选：C.
2．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，
以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，故选项A正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C错误；
因为 ，所以 ，故选项D正确.
故选：C.
3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，
“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、
宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，
事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得， ， ，
所以 ．
故选：D
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））若 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
故选：A
5．（2022·山东威海·三模）设随机事件A、B，已知 ， ， ，则
______， ______.
【答案】 0.12 0.24
【详解】 ，
，
.故答案为：0.12；0.24.
6．（2022·湖南·长沙一中一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取
两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是
2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命
题正确的序号有______．
①A与C互斥；② ；③A与D相互独立；④B与C相互独立．
【答案】①③
【详解】因为 与 不可能同时发生，所以 与 互斥，故①正确；
包含： ， ， ， ， ，共5个基本事件， 包含： ， ， ， ，
， ，共6个基本事件，
故 ， ， ， ，
则 ，故③正确；
，故④错误；
，故②错误；
故答案为：①③
7．（2022·辽宁鞍山·一模）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以 表示事件
“试验反应为阳性”，以 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 ， .现在对自
然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为 ，即 ，则 __________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以由全概率公式可得 ，
因为
所以 .
故答案为： .
8．（2022·天津市新华中学模拟预测）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会
志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中
至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是__________；至少有一名是女志
愿者的概率为__________．
【答案】
【详解】解：记全是男志愿者为事件 ，至少有一名男志愿者为事件 ，则
，
故 ，
记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件A互为对立事件，则
故答案为： ．
9．（2022·天津河北·一模）袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸
出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次
摸到红球的概率为_______.【答案】 ##0.3 ##0.5
【详解】解：因为袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球，
每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，
所以两次都摸到红球的概率为
设第一次摸到红球的事件为A，第二次摸到红球的事件为B,
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ，
故答案为： ，
突破四：离散型随机变量的数学期望和方差
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机摸
出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为 ，则 为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】 可能的取值有1，2，3
.
故选：D
2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
X 0 a 1P
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．E（X）不变 B．E（X）减小 C．V（X）先增大后减小 D．V（X）先减小后增大
【答案】D
【详解】 ，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量 的概率分布列为 ，k＝1，2，3，其中c
是常数，则 的值为（ ）
A．10 B．117 C．38 D．35
【答案】C
【详解】 ，k＝1，2，3，
，解得 ，
，
，
.
故选：C
4．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设 ，随机变量 的分布列分别如下，则( )0 1 2
P
0 1 2
P
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【详解】设随机变量为X，其可能的取值是 ，对应概率为 ，
则其数学期望(均值)为 ，
其方差为：
，
则 ， ，
；
， ，
；
∴ ，
若 ，则 ， ，故 ，即 ，故A正确，B错误；若 ，则 ，但无法判断 与1的大小，故无法判断 的大小，故CD错
误．
故选：A．
5．（2022·山东淄博·三模）设随机变量 ，满足 ．若 ，则 _____．
【答案】 ##1.5
【详解】由 ，故 ，则 ，
所以 ，则 ，而 ，
则 .
故答案为：
6．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）若随机变量 等可能的在 ， ， 中取值，其中 ，
则 的最小值为______．
【答案】
【详解】随机变量 等可能的在 ， ， 中取值，故 取每个值的概率均为 ，
于是 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，则 ，故 在 上单调递增，结合 ，
于是当 时， ，从而 ，故 在 上单调递减，
当 时， ，从而 ，故 在 上单调递增，故 ．即 的最小值为 .
故答案为：
7．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60
元，售价为100元．如果卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求
量（单位：个）如下表：
需求量 10 11 12 13 14 15
频数 8 20 24 27 14 7
将这100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．
(1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13个，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望；
(2)若蛋糕店计划一天制作13个或14个生日蛋糕，以每日销售利润的数学期望为决策依据，你认为应制作
13个还是14个？请说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，期望为 ；
(2)应制作13个，理由见解析.
【详解】（1）设当天的需求量为 ，
则当 时，利润 ，当 时，利润 ．
所以 的取值为 ， ， ， ，
， ，
， ，
的分布列为
期望 .
（2）若制作14个生日蛋糕，设当天的利润（单位：元）为 ，当天的需求量为 ，
则当 时， ；当 时， ；
则 可取 ， ， ， ， ，， ，
， ，
期望 .
因为 ，故应制作13个蛋糕．
8．（2022·北京十四中高三期中）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生
困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确
保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取
100个学生进行调查，获得数据如下表：
男 女
支持方案
24 16
一
支持方案
25 35
二
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分布
列与数学期望；
(3)在（2）中， 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 与 的大小.（直接写结果）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）依题意支持方案二的学生中，男生有 人、女生 人，所以抽到的是女生的概率
.
（2）记从方案一中抽取到女生为事件 ，从方案二中抽取到女生为事件 ，则 ， ，
则 的可能取值为 、 、 ，
所以 ，
，
所以 的分布列为：
所以 .
（3）依题意可得 ，所以 ，
即 .
突破五：超几何分布
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，
每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【详解】 的可能取值为 .
， ， .
∴ 的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是 ，故 .
故选：C.
2．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则
至少取到1件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ．
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）某地 个贫困村中有 个村是深度贫困，现从中任意选 个村，下列事件中
概率等于 的是（ ）
A．至少有 个深度贫困村 B．有 个或 个深度贫困村
C．有 个或 个深度贫困村 D．恰有 个深度贫困村
【答案】B
【详解】用 表示这 个村庄中深度贫困村数， 服从超几何分布，
故 ，
所以 ，
，
，
，.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 件产品中有 件次品，从中任取 件，则任意取出的 件产品中次
品数的数学期望为________．
【答案】
【详解】设任意取出的 件产品中次品数为 ，则 的可能取值有 、 、 、 ，
， ， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
因此， .
故答案为： .
5．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以
不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，
假设一段时间后，随机有 个字脱落．
(1)若 ，用随机变量 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量 的分布列及期望；
(2)若 ，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)0.6
【详解】（1）方法一：
随机变量X的可能取值为0，1，2，
， ， ，
随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2P
随机变量X的期望为
法二：
随机变量X服从超几何分布 ，所以 .
（2）设脱落一个“学”为事件 ，脱落一个“好”为事件 ，脱落一个“数”为事件 ，
事件 为脱落两个字 ，
， ，
， ， ，
所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为
，
法二：
掉下的两个字不同的概率为 ，
所以标语恢复原样的概率为 ．
6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来
越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年
龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取 人进行调查，得到如下表的统计数据：
周平均锻炼时间少于 小时 周平均锻炼时间不少于 小时 合计
岁以下
岁以上（含
）
合计
(1)运用独立性检验的思想方法判断：是否有 以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联？并说明
理由．(2)现从 岁以上（含 ）的样本中按周平均锻炼时间是否少于 小时，用分层抽样法抽取 人做进行一步
访谈，最后再从这 人中随机抽取 人填写调查问卷．记抽取 人中周平均锻炼时间是不少于 小时的人数
为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)有 以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关联；理由见解析
(2)分布列见解析；
【详解】（1）由表格数据得： ，
有 以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关联.
（2）抽取的 人中，周平均锻炼时长少于 小时的有 人，不少于 小时的有 人，则 所
有可能的取值为 ，
； ； ； ；
的分布列为：
数学期望
7．（2022·福建省福州第一中学高三阶段练习）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班
名女同学， 名男同学中随机抽取一个容量为 的样本进行分析．
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
(2)如果随机抽取的 名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序
1 2 3 4 5 6 7
号i
数学成
60 65 70 75 85 87 90
绩物理成
70 77 80 85 90 86 93
绩
（i）若规定 分以上（包括 分）为优秀，从这 名同学中抽取 名同学，记 名同学中数学和物理成绩
均为优秀的人数为 ，求 的分布列和数学期望；（结果用最简分数表示）
（ii）根据上表数据，求物理成绩 关于数学成绩 的线性回归方程（系数精确到 ）；若班上某位同学
的数学成绩为 分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程 ，
其中 ， ．
76 83 812 526
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，期望为 ；（ii） ， .
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为 名，
18名男同学中应抽取的人数为 名，
故不同的样本的个数为 ．
（2）（ⅰ） 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
的取值为0，1，2，3．
， ， ， ，
的分布列为
0 1 2 3．
（ⅱ）解： ， ．
线性回归方程为
当 时， ．
可预测该同学的物理成绩为96分．
8．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联
性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．
体重
性
合计
别
超过55kg 不超过kg
男 180 120 300
女 90 110 200
合
270 230 500
计
参考公式和数据：
，
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？
(2)按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意
选取3人，记选中的女生数为X，求X的分布列与期望．
【答案】(1)认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
(2)分布列见解析；期望为1
（1）假设为 ：该中学高三年级学生的性别与体重无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
，根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）依题意，抽取的9人中，男生有 人，女生有 人，
从中任意选取3人，X的取值可能为0，1，2，3，
且 ， ， ， ．
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故 ．
突破六：二项分布
1．（2022·上海奉贤·高三期中）甲乙两选手进行围棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的
概率为0.4，若采用三局二胜制（前两局各有胜负则进行第三局），则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.72 B．0.704 C．0.604 D．0.648
【答案】D
【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜输胜，输胜胜，
故甲获胜的概率为： .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）设 ，其中 ，且 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意得 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量 ， 满足： ， ，若 ，则
（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由于随机变量 满足： ， ，
，
解得： ，即
，
又 随机变量 ， 满足： ，
，
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为 ，各产品合格与否相互独立．设 为该工厂
生产的 件商品中合格的数量，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知X服从与参数为5，p的二项分布，
∴ ， ， ，
又 ， ，∴ ， ，
∴ ，
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6
的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是______.
【答案】
【详解】根据题意，该实验为独立重复实验，记6点向上的次数为 ，则 ， ，故
，
因此至少出现一次6点向上的概率为 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 ，若 最大，则 ______．
【答案】24
【详解】由题意知： ，要使 最大，有
，
化简得 ，解得 ，故 ，又 ，
故 .
故答案为：24.7．（2022·山东·淄博市临淄中学高三阶段练习）世界杯期间，明星队和火车头队相遇，双方要打n（n为奇
数）场比赛，某球队至少有一半的场次赢球即为战胜对方球队，其中明星队每场赢球的概率为 ，
各场比赛间相互独立．
(1)若 ， ，估计明星队赢球多少场；
(2)对任意的正整数k，找出p的范围使得 比 对明星队更合算．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设明星队赢球场数为 ，由题设由 ，
故 ，故估计明星队赢球 场.
（2）令 表示“明星队在 场比赛中赢球的场数”，
表示 场比赛中明星队战胜对方球队的概率，
表示 场比赛中明星队战胜对方球队的概率，
其中 ，
在 场比赛中比赛中，明星队战胜对方球队，由以下3个互斥事件构成：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ，且余下两场比赛中，明星队至少胜一场；
（ⅲ） ，且余下两场比赛中，明星队全胜；
故 ，
所以
，若 ，则 .
故当 时，有对任意的正整数k，使得 比 对明星队更合算．
8．（2022·四川·绵阳中学高三阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭
期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市
对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在 （单位：
）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在 （单位： ）的户数为 ，
求 的分布列和期望；
(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 时，则该居民户
称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【详解】（1）随机变量 所有可能的取值为0，1，2.则
， ， ，
0 1 2所以 .
（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为
（ ）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为 ，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求
户”的概率为 .
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，则 ，
若k户的可能性最大，则 ，
，得 ，
即 ，解得 ，由于 ，故 .
9．（2022·湖南·湘潭一中高三期中） 年 月 日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第
一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区 位奶茶爱好者的年龄，得到如下样
本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间 的概率；(3)以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选 人，求 人中年龄在 岁以下的人数
的分布列和期望.
【答案】(1) 岁
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）由频率分布直方图估计奶茶爱好者的平均年龄为：
（岁）.
（2）由频率分布直方图得：奶茶爱好者年龄位于区间 的频率为
，
由频率估计概率可知：奶茶爱好者年龄位于区间 的概率为 .
（3）由频率分布直方图得：从该地区所有奶茶爱好者中任选 人，年龄在 岁以下的概率为
， ；
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
则数学期望 .
10．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素
质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班．为了解学生对这个兴趣班的喜欢情况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个兴趣班的喜欢情况，得到数据如下：
喜爱 不喜爱 合计
男 40 20 60
女 30 10 40
合计 70 30 100
以调查得到的男、女学生喜欢书法兴趣班的频率代替概率．
(1)从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人喜欢书法兴趣班的概率；
(2)从该校随机抽取4名女学生，记X为喜欢书法兴趣班的女生人数，求X的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为3.
【详解】（1）从男生中抽取1名学生，喜欢书法兴趣班的概率为 ，从女生中抽取1名学生，喜
欢书法兴趣班的概率为 ，
恰有一人喜欢书法兴趣班分为男生喜欢女生不喜欢和男生不喜欢女生喜欢两类，
所以所求概率为 ；
（2）从女生中抽取1名学生，喜欢书法兴趣班的概率为 ，
由题意 的值分别为0，1，2，3，4， ，
， ，
， ，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4．
突破七：正态分布
1．（2022·上海·华师大二附中高三期中）设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图
所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
【答案】C
【详解】解：由正态密度曲线的性质可知，
、 的密度曲线分别关于 、 对称，
因此结合所给图像可得 ，
；
又 的密度曲线较 的密度曲线“瘦高”，
所以 ，
；故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数 ，
．
故C正确，D错误．
故选：C．
2．（2022·湖北·高三阶段练习）已知随机变量 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【详解】由随机变量 ，则正态分布的曲线的对称轴为 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故最小值为 .
故选：B
3．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（理））在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近
似服从正态分布 ，试卷满分 分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数
的 ，数学考试成绩在 分到 分（含 分和 分）之间的人数为 人，则可以估计参加本次联考的
总人数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，若 表示数学考试成绩，则 ，而 ，所以 ，故参加本次联考的总人数约为 人.
故选：C
4．（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收
费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 ，若
，则当 时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因 ，且 ，则有 ，即 ，
不等式 为： ，则 ， ，
所以 ， ，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
5．（2022·河北·模拟预测）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
___________.（附：若 ，则 ，
， ）
【答案】0.00135
【详解】又 ，则 ，
随机变量 服从正态分布 ，且 ，
即 ，所以 ，即 ， ，即
，所以 ，所以 .
故答案为：0.00135.
6．（2022·全国·高三专题练习）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取
包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量
服从正态分布 .假设生产状态正常，记 表示每天抽取的k包食品中其质量在 之外的
包数，若 的数学期望 ，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布 ，则 .
【答案】19
【详解】依题意 ，所以在 之外的概率 ，
则 ，则 ，因为 ，所以 ，解得 ，因为
，所以 的最小值为 .
故答案为：19.
7．（2022·全国·高三专题练习）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、
历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考
生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，
13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化
学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分
布 ．若 ，令 ，则 ．请解决下列问题：若以此次高一学生化学
学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1
位小数）
附：若 ， ．
【答案】59.9【详解】因为 ，由 可得 ，又 ，
根据正态分布的对称性可知 ，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
8．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，
随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为 ， ，
， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这300名同学物理平均成绩 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）
(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布 ，其中 取（1）中的 ，经计算， =11，现从全
年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间 的概率（结果精确到0.1）；
(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在
的概率不低于1%，求n的最大值（n为整数）.
附： ，若 ，则 ， .
【答案】(1)73；79
(2)0.8
(3)20
【详解】（1） .
，则这300名同学物理平均成绩 与第三四分位数的估计值分别为73，79
（2） ，
（3） ，即 ，
故 的最大值为20.
9．（2022·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，
带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也
逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 年 位农民的年收
入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中
点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入 服从正态分布 ，其中 近似为年平均收入
， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有 的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最
低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 位农民.若每位农民的年
收入互相独立，这 位农民中的年收入不少于 千元的人数为 ，求 .
附参考数据：① ，②若随机变量 服从正态分布 ，则 ，.
【答案】(1)
(2)① 千元；②
（1）解：由频率分布直方图可知， 位农民的年平均收入为
（千元）.
（2）解：由题意知 ，
① ，
所以 时，满足题意，即最低年收入大约为 千元；
②由 ，
则 ，
每个农民的年收入不少于 千元的事件的概率为 ，
则 ， .
10．（2022·全国·高三专题练习）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的
操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱.为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优
惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价
时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将
根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为
该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月
下载该APP时使用.小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计
了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：
时间t（月） 2 3 4 5 6
参与活动的人数y（万人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)若可用线性回归模型拟合参与活动的人数y（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求y关于t的回归方程 ，并预测今年7月参与活动的人数；
(2)某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
报价X（单位：
元）
频数 20 60 60 30 20 10
①求这200人的报价X（单位：元）的平均值 和方差 （同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布 ，且 与 可分别由①中所
求的样本平均数 及 估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该APP在当月
的下载优惠价，并说明理由.
参考公式及数据：①回归方程 ， ， ；② ， ，
；③若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， .
【答案】(1) ，预计今年7月参与活动的人数为 万人；
(2)① ， ；② 元.
（1）解：由题意可得 ，
，
又因为 ， ，
所以 ，，
所以回归直线方程为： ，
当 时，可得 （万人），
故预计今年7月参与活动的人数为 万人；
（2）解：①依题意可得这200人的报价 （单位：元）的平均值
，
方差
；
②由①可知 ，依题意发放的优惠名额为 张，预测参加的人数为 人，
所以能够得到优惠名额的概率 ，设下载优惠价为 ，则
又 ， ，因为 ，
所以 ，
则 ，
所以预测该APP在当月的下载优惠价为 元.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·福建·高三阶段练习）某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：
，这八人成绩的第60百分位数是 .若在该小组随机选取两名学生，则得分都比
低的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，故这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即 ，在该小组随机选取两名学生共有 种情况，
其中得分都比 低的有 种，
所以所求概率
故选：C
2．（2022·河南省浚县第一中学高三阶段练习（文））第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季
奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届
冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林
没有选择冰壶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，
所以所求概率为 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，
设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正
确的是（ ）
A．A与B是互斥事件 B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件 D．A与C是相互独立事件
【答案】B
【详解】根据题意可知，事件 和事件 可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件 和事件 不相互独立，故B正确；事件 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件 与事件 为对立事件，故D错.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，
设事件 “中靶”，事件 “击中环数大于5”，事件 “击中环数大于1且小于6”，事件 “击
中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（ ）
A．B与C互斥 B．B与C互为对立
C．A与D互为对立 D．A与D互斥
【答案】A
【详解】对于AB，事件 和 不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不
对立，所以A正确，B错误，
对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误，
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
2 3 6
P a
则 的值为（ ）A．2 B．6 C．8D．18
【答案】D
【详解】解：根据分布列可知 ，解得 ，
，
，
所以 .
故选：D.
6．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））已知10名同学中有a名女生，若从这10名同
学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是 ，则 （ ）A．1 B．4或6 C．4 D．6
【答案】B
【详解】设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布， ，解得 或
．
故选：B．
7．（2022·江苏南京·模拟预测）已知事件 ， ， 相互独立，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ，又事件 ， ， 相互独立， ，
，当且仅当 时取等号，
而 ，因此 ，
所以 .
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 在 内
的概率是 ，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为学生成绩服从正态分布 ，且 ，所以 ，
， ，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是 ，则从参加这次考试的学生
中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进
行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为
，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止
没有影响，
所以 ，
,
，
所以期望为 ．
故选：B．
10．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知函数 在R上单调递增的概率为 ，且随机变量 ．则 等于（ ）
[附：若 ，则 ，
．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
【答案】A
【详解】使 在R上单调递增的充要条件是 ，即 ，故 .
由于随机变量 ，则 ，即 ，即 ， .
故 ，
，
所以
．
故选：A．
二、多选题
11．（2022·河北·廊坊市第一中学高三阶段练习）下列命题中，正确的命题的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
B．已知随机变量服从二项分布 ，若 ， ，则 ；
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ；
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为 ， ，则当 时概率最大.
【答案】ACD
【详解】对选项A：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，正确；
对选项B： ， ，解得 ，错误；对选项C：根据正态分布的对称性知， ， ，则 ，
正确；
对选项D： ，故 ，
，即 ，解得 ，故 ，D正确.
故选：ACD
12．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知袋子中有 个红球和 个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说
法正确的是（ ）
A．每次摸 个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第 次摸到红球的概率为
B．每次摸 个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第 次摸到红球的条件下，第 次摸到红球的概率为
C．每次摸出 个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸 次后，摸到红球的次数 的方差为
D．从中不放回摸 个球，摸到红球的个数 的概率是
【答案】AD
【详解】对于A选项，记事件 第一次摸红球，事件 第一次摸蓝球，事件 第二次摸红球，
则 ，A对；
对于B选项，每次摸 个球，摸出的球观察颜色后不放回，
则第 次摸到红球的条件下，第 次摸到红球的概率为 ，B错；
对于C选项，由题意可知 ，则 ，C错；对于D选项，从中不放回摸 个球，摸到红球的个数 的概率是 ，D对.
故选：AD.
三、填空题
13．（2022·河北·模拟预测）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
___________.（附：若 ，则 ，
， ）
【答案】0.00135
【详解】又 ，则 ，
随机变量 服从正态分布 ，且 ，
即 ，所以 ，即 ， ，即
，
所以 ，所以 .
故答案为：0.00135.
14．（2022·广东·中山大学附属中学高三期中）在概率论发展的过程中，通过构造试验推翻或验证某些结
论是统计学家们常用的方法，若事件A，B，C满足 ， ，
同时成立，则称事件A，B，C两两独立，现有一个正六面体，六个面分别标有1到6
的六个数，随机抛掷该六面体一次，观察与地面接触的面上的数字，得到样本空间 ，若
， ，则可以构造C＝______（填一个满足条件的即可），使得成立时，但不满足事件A，B，C两两独立
【答案】 （答案不唯一）
【详解】元素1或2有且仅有一个属于C，剩余的3，4，5，6中任选两个属于C，都满足条件要求．
因为 ， ， ， ，
若不满足事件A，B，C两两独立，只需构造事件C
使得 和 至少有一个成立．
设事件C包含的基本事件个数为N（ 且 ）， （ 且 ），
当 成立时，有 ，得 ，
所以 或 ．
（1）若 ，则 ， ，
成立，
此时 ， ， ， ；
， ， ， ，
又因为 ，所以事件A，B，C两两独立，不满足要求．
（2）若 ，则 ，
因为 ， ，所以必有 且 、 且 两种情况．
当 且 时， ， ， ，
所以 ， ，
所以若事件A，B，C两两独立，则存在事件C使得 且 ，此时 ， ，不符合题意，
所以A，B，C不可能两两独立．
所以构造集合C使得 ， 且 均满足题意，
满足要求的C为： 、 、 、 、 、 ．
当 且 时，同理符合要求的集合C为： 、 、 、 、 、 ．
故答案为： （答案不唯一）
四、解答题
15．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高三期中）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其
他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车
越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查
了今年9月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人
购置新能源汽车 购置传统燃油汽车 总计
男性 30 30 60
女性 30 10 40
总计 60 40 100
(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；
(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年9月份售出的汽车
中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为 ，求 的分布列及数学期望．
参考公式和数据：
，其中 ；
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)购车种类与性别有关(2) 的分布列见解析，
【详解】（1）设零假设为 ：购车种类与性别无关，根据系数表可得
，所以零假设 时错的，即犯错误概率不超过 的前提下，
可以认为购车种类与性别有关.
（2）随机抽取一辆汽车，属于传统燃油汽车的概率为 .
被抽取的3辆汽车中属于传统燃油车的辆数为 ， 的可能取值为0,1,2,3，
依据题意， ， ， ，
， ，所以 的分布列为：
X 0 1 2 3
的数学期望
16．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，
随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为 ， ，
， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）
(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布 ，其中 取（1）中的 ，经计算， =11，现从全
年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间 的概率（结果精确到0.1）；
(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在
的概率不低于1%，求n的最大值（n为整数）.
附： ，若 ，则 ， .
【答案】(1)73；79
(2)0.8
(3)20
【详解】（1） .
，
则这300名同学物理平均成绩 与第三四分位数的估计值分别为73，79
（2） ，
（3） ，即 ，
故 的最大值为20.
17．（2022·全国·高三专题练习）假设开始时有一个微生物个体（称为第0代），该个体繁殖的若干个个
体，）形成第1代，第1代的每个个体繁殖的若干个个体，形成第2代，……假设每个个体繁殖的个体数
相互独立且分布相同，记第1代微生物的个体总数为X，X的分布列为 ， ，1，2，3.(1)若 ， ， ， ，求 ；
(2)以p表示这种微生物最终消亡的概率.已知p是关于x的方程 的最小正根.证明：
当 时， ；当 时， ；
(3)说明（2）结论的意义.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
