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1.4.2 有理数的除法
1. 了解有理数除法的意义,理解有理数除法与乘法的互逆关系
2. 掌握有理数的除法法则,能运用法则熟练地进行有理数除法运算以及四则混合运算.
3. 通过利用有理数除法法则进行运算的过程,体会转化的数学思想
知识点一 有理数除法法则
法则1：
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为
（除数一定不能为0哦!）
法则2：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的
数都得0.
提示
(1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律.
(2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数.
(3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这
个数的倒数.
有理数除法的两个法则的如何选用？
如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则(2)进行计算,先确定商的符号,
再将两数的绝对值相除.否则，一般选用法则(1)进行计算,法则(1)是把除法转化为乘
法
即学即练1 计算：在进行有理数除法运算时,首先确定商的符号,然后将其绝对值相除或者将除法转化为
乘法进行计算
即学即练1 化简下列分数：
-21 -54 -6 -0.75
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
7 -8 -0.3 0.25
1 0.2
-(-2) |24| -
（5） ； （6） ； （7） 3 ； （8） 1 ．
-6 -(-8) -
0.2 3
化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一
个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变.
知识点二 有理数乘除的同级运算
有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的
符号，最后求出结果注意：
1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算；
2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺
序进行.
即学即练 计算：
(1)| 2| ．
-2 ×(-18)÷(-3)
3
16
(2)-32 ÷(-8×4)．
25
1 4
(3)(-81)÷2 × ÷(-16)．
4 9
(4) 7 ( 1) ( 3)．
1 ÷(-10)× -3 ÷ -3
8 3 4
知识点三 有理数的混合运算
1.有理数的加减乘除混合运算
（1）混合运算中，按照“先算乘除一级,再算加减一级”的顺序进行；
（2）有括号时，应先算括号里面的.
2.计算器的使用
不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应参考计算器的使用
说明,熟悉各功能键.
另外,还要注意以下几点:
(1)计算器要平稳放置，以免按键时发生晃动和滑动；
(2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时要注意按关闭键；
(3)确定按键顺序后，按照算式从到右的顺序直接输入；
(4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字
或运算符号，以免因漏按或按不实而出现错误；(5)每次运算时,要按一下清零键；
(6)注意负数的输入方式.
即学即练1 （2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）计算：
(1 5 3) (1 1)．
-48× - + -6÷ -
6 12 8 3 2
即学即练2 （2023秋·广东佛山·七年级统考期末）计算：( 5 3) ( 3)
- + ×24-18÷ -
6 4 2
题型一 有理数乘除的同级运算
例1 （2023秋·吉林延边·七年级统考期末）计算：4 ( 5) ( 3)；
× - ÷ -
5 3 4
举一反三1 （2023秋·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)4-(-2)+(-6)(2) ( 5)
42÷(-5)× -
7
5 3
举一反三2 （2023秋·广西贺州·七年级统考期末）计算：(-1.25)× ×(-8)÷(- )．
4 4
题型二 有理数除法的混合运算
例2 （2023秋·广东广州·七年级校考期末）(-3)×2+|-24|÷4
举一反三1 （2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中） ( 1)
(-6.5)×2÷ - ÷(-5)
3
举一反三2 （2023秋·福建福州·七年级统考期末）计算: | 1|
18-16÷(-2)× -
4
题型三 有理数的除法简便运算
例3 （2022秋·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：( 1 3 1 ) 1 ．
- + - ÷
6 4 12 48举一反三1 （2022秋·广东揭阳·七年级揭阳市实验中学校考期中）用简便方法：
( 3 5 7 ) 1 ；
- - + ÷
4 9 12 36
举一反三2（取倒数法）（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）先计算，再阅读材料，
解决问题：
(1)计算：(1 1 1) ．
- + ×12
3 6 2
(2)认真阅读材料，解决问题：计算： 1 (2 1 1 2)．
÷ - + -
30 3 10 6 5
2 1 1 2
分析：利用通分计算 - + - 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
3 10 6 5
解：原式的倒数是：(2 1 1 2) 1 (2 1 1 2)
- + - ÷ = - + - ×30
3 10 6 5 30 3 10 6 5
2 1 1 2
= ×30- ×30+ ×30- ×30
3 10 6 5
=20-3+5-12=10．
故 1 (2 1 1 2) 1 ．
÷ - + - =
30 3 10 6 5 10请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 1 (3 5 4)．
÷ - -
28 4 14 7
题型四 有理数的除法与绝对值的综合问题
例4 请利用绝对值的性质，解决下面问题：
a b
(1)已知a，b是有理数，当a>0时，则 =_______；当b<0时，则 =_______．
|a| |b|
b+c a+c a+b
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0，求 + + 的值．
|a| |b| |c|
|a| |b| |c|
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 + + 的值．
a b c
举一反三1 （2022秋·浙江金华·七年级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，
可以这样分类：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a，请用这种方
法解决下列问题．
|a|
(1)当a=3,a=-2时，分别求 的值；
a
|a| |b|
(2)已知a,b是有理数，当ab>0时，试求 + 的值；
a b
|a| |b| |c| |abc|
(3)已知a,b,c是有理数，当abc<0时，试求 + + + 的值．
a b c abc举一反三2 （2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，
m的绝对值为5．
(1)直接写出a+b，cd，m的值；
a+b
(2)求m2+cd+ 的值．
m
题型五 有理数的除法实际问题
例5 （2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）某网上购物平台促销，苹果2千克以上有优惠
（不含2千克），购买苹果所付金额（元）与购买数量（千克）之间的关系如图所示，根
据图象回答下列问题：(1)购买1千克苹果多少元?
(2)购买3千克苹果多少元?
(3)一次性下单购买苹果6千克与平均分3次下单购买可节省多少元?
举一反三1 （2023春·山西大同·七年级统考开学考试）李叔叔驾车以75千米/小时的速度
在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣
几分的处罚？
《道路交通安全法实施条例》规定：
超速50%以上扣12分；
超速20%以上未达50%扣6分；
超速未达20%扣3分．
举一反三2 （2023秋·重庆万州·七年级统考期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，
某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12
(1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
(2)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量
不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超
过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
题型六 有理数的除法探究与创新
例6 已知 x ， x ， x ，… x 都是不等于0的有理数，若 y = |x 1 | ，求 y 的值．
1 2 3 2021 1 x 1
1
当 时， |x | x ；当 时， |x | -x ，所以 ．
x >0 y = 1 = 1=1 x <0 y = 1 = 1 =-1 y =±1
1 1 x x 1 1 x x 1
1 1 1 1
（1）若
y =
|x
1
|
+
|x
2
|，则
y
的值为______；
2 x x 2
1 2
（2）若
y =
|x
1
|
+
|x
2
|
+
|x
3
|，则
y
的值为______；
3 x x x 3
1 2 3
（3）由以上探究猜想，
y =
|x
1
|
+
|x
2
|
+
|x
3
|
+⋯+
|x
2021
|，共有______个不同的值，在
2021 x x x 2021
1 2 3
y 这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______．（本小题要写推理过程）
2021举一反三1 在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运
用"分类讨论"的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
|a| |b| |c|
【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求 + + 的值．
a b c
【解决问题】解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为
负数．
|a| |b| |c| a b c
①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， + + ＝ + + ＝1＋1
a b c a b c
＋1＝3
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则
|a| |b| |c| a -b -c
+ + ＝ + + ＝1＋（－1）＋（－1）＝－1
a b c a b c
|a| |b| |c|
综上所述， + + 的值为3或－1
a b c
【探究拓展】
请根据上面的解题思路解答下面的问题；
a b
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时， + ＝
|a| |b|
a b c
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求 + ＋ ＝
|a| |b| |c|
b+c c+a a+b
（3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求 + + ＝
|a| |b| |c|
举一反三2 （2021秋·河南驻马店·七年级统考期中）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等，类
比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2 ，读作“2的圈3次方”，
③
(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)
记作
(-3) ④
，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n个
a(a≠0)
，
⏟a÷a÷a÷⋯÷a
记作 ，读作“a的圈n次方”．
n个a
初步探究：直接写出计算结果：2 ＝______，( 1) ③ ______；
- =
③ 2
深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法
运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照下面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
例如
(-3) ④=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2
=(-3)× - × - × - = -
3 3 3 3
5 ＝______，( 1) ⑥ ______；
- =
⑤ 2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；
（3）算一算： 22÷ ( - 1) ④ ×(-2) ③- ( - 1) ⑥ ÷33 ．
3 3
题型七 24点
例7 小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是
________，积为________；
(2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是
________，商为________；
(3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法
（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可）
举一反三1 （2022秋·湖北宜昌·七年级校考期中）现有 5 张卡片写着不同的数字，利用
所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一
次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，
分别为 ， ．
举一反三2 小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是___________；
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是___________；
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子（至少写出两种）
题型八 定义新运算
例8 （2022秋·甘肃陇南·七年级校考期中）如果对于任何有理数a、b定义运算“Δ”如
下： 1 ( b)，如 1 ( 3) 1，求 的值．
aΔb= ÷ - 2Δ3= ÷ - =- (-2Δ7)Δ4
a 2 2 2 3
举一反三1 （2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）在数轴上，把原点记作点O，表示数
1的点记作点A． 对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的
PO
长度之比定义为点P的特征值，记作^P，即^P= ． 例如：当点P是线段OA的中点时，
PA
1
因为PO=PA，所以^P=1． 如图，点P ,P ,P 为数轴上三个点，点P 表示的数为- ，
1 2 3 1 4
点P 表示的数与点P 表示的数互为相反数，点P 表示的数为2．
2 1 3
(1)点P 表示的数为：___________；
2
(2)求 的值，比较 的大小，并用“<”连接；
^P ,^P ,^P ^P ,^P ,^P
1 2 3 1 2 3
1
(3)若数轴上有一点M满足OM= OA，求^M．
3举一反三2 （2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，
a-c b-c
b，c，计算a-b， ， ，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，
2 3
1-3 -2-3 5
对于1，-2，3，因为1-(-2)=3， =-1， =- ，所以1，-2，3的“分差”
2 3 3
5
为- ．
3
(1)-2，-4，1的“分差”为______；
(2)调整“-2，-4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的
最大值．
一、单选题
1．（2023秋·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第四中学校校考期中）下列计算正确的是（
）
A． 1 B．( 3) ( 3 )
0÷(-3)=- - ÷ - =-5
3 7 35
C． ( 1) D．( 3) ( 1) 9
1÷ - =-9 - ÷ -1 =
9 4 2 8
2．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）两个有理数相除，其商是负数，则这两个有理数（ ）
A．都是负数
B．都是正数
C．一个正数一个负数
D．有一个是零
3．（2023春·辽宁营口·七年级校联考期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列
式子正确的是（ ）
b
A．a-b>0 B．a+b>0 C． >0 D．a=b
a
4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结
a
论：①a<0a+b，正确的是（ ）
b
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
5．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）在算式-2□6的“□”中填入下列运算符号中的
一个，要使计算结果最小，应填（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
二、填空题
1．（2023秋·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）已知|x|=3，|y|=5．且xy<0，
x
则 的值等于 ．
y
2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且
98!
1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，．．．，则 的值为
100!
．
3．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）计算：( 1 5 3 5 ) ( 1 )的结果是
- + - + ÷
2 6 8 12 24．
三、解答题
1．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）计算：
(1)
-3÷[(-2)-|-1|]
(2)( 1 )
-166 ÷41
20
2．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的
“洛书”．把“洛书”（图1）的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图2），即表格
中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
(1)图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于______．
(2)请将-2，-1，0，1，2，3，4，5，6填入图3，使其构成一个三阶幻方．
3．（2023秋·宁夏石嘴山·七年级统考期末）数学老师布置了一道思考题“计算：( 1 ) (1 5)”，小明仔细思考了一番用了如下方法解决了这个问题．
- ÷ -
12 3 6
小明的解法：原式的倒数为(1 5) ( 1 ) (1 5) ，
- ÷ - = - ×(-12)=-4+10=6
3 6 12 3 6
所以( 1 ) (1 5) 1．
- ÷ - =
12 3 6 6
请你运用小明的解法解答下面的问题．
计算：( 1 ) (1 1 3)．
- ÷ - +
24 3 6 8
