文档内容
专题提升 实际问题与反比例函数及其综合（30 题）
1．（2022春•衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为 6m的墙，用篱笆围一个面积为
30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条
件的所有围建方案．
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出 xy＝30，进而可得出y＝ ，再结合墙长为6m，即可
得出x≥5；
（2）由x，y均为整数，x≥5，且y＝ ，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，
进而可得出各围建方案．
【解答】解：（1）依题意得：xy＝30，
∴y＝ ．
又∵墙长为6m，
∴ ≤6，
∴x≥5．
∴y关于x的函数表达式为y＝ （x≥5）．
（2）∵x，y均为整数，x≥5，且y＝ ，
∴x可以为5，6，10，15，30．
又∵2x+y≤20，即2x+ ≤20，
∴x可以为5，6，
∴共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
2．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t
小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出函数表达式；
（2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值；
（3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值，再和实际情况比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝ ；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则 ≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3 小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
3．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体
体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确
到0.01m3）
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P＝140代入得到V即可．
【解答】解：（1）设 ，
由题意知 ，
所以k＝96，
故 ；
（2）当v＝1m3时， ；
（3）当p＝140kPa时， ．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
4．（2023秋•崇川区期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 20℃，加热到100℃时，
饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温 y（℃）与通电时间（min）成
反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为
20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）求当4＜x≤a时，y与x之间的函数关系式；
（2）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）令y＝20x+20＝40，则x＝1，解得：x＝1，当40＝ ，解得：x＝10，即可求解．
【解答】解：（1）设反比例函数的表达式为：y＝ ，
将点（4，100）代入反比例函数表达式得：k＝4×100＝400，
故函数的表达式为：y＝ ，
当y＝20时，y＝ ＝20，
则x＝20＝a，即函数的表达式为：y＝ （4＜x≤20）；
（2）设0≤x≤4时，函数的表达式为：y＝mx+20，
将点（4，100）代入上式得：100＝4m+20，
解得：m＝20，
即一次函数的表达式为：y＝20x+20，
令y＝20x+20＝40，则x＝1，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，40＝ ，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min．
5．（2023秋•如皋市期中）柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血
栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千
克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函
数图象的一部分．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以写出每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以分别求得两段对应的利润的最大值，然后比较大小即可解
答本题．
【解答】解：（1）当3≤x≤5时，设y与x的函数关系式为y＝ ，
∵点（3，400）在该函数图象上，
∴400＝ ，得k＝1200，
∴当3≤x≤5时，y与x的函数关系式为y＝ ，
当5＜x≤17时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，解得 ，
即当5＜x≤17时，y与x的函数关系式为y＝﹣20x+340，
由上可得y＝ ；
（2）设利润为w元，
当3≤x≤5时，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）• ＝1200﹣ ，
∵k＝﹣3600，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，w取得最大值，此时w＝1200﹣ ＝480，
当5＜x≤17时，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣20x+340）＝﹣20（x﹣10）2+980，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝980，
∵980＞480，
∴当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元，
答：当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元．
6．（2023•西岗区校级模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间 y（分）与录入文字的速度x
（字/分）之间的函数关系如图．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？
【分析】（1）根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；
（2）根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可．
【解答】解：（1）设y＝ ，
把（150，10）代入y＝ 得，10＝ ，
∴k＝1500，
∴y与x的函数表达式为y＝ ；（2）∵当y＝35﹣20＝15时，x＝100，
∵k＞0，
在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴小明录入文字的速度至少为100字/分，
答：小明每分钟至少录入100个字．
7．（2023秋•汉寿县期中）实验数据显示，一般成人喝 50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量 y（毫
克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，
车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30
能否驾车去上班？请说明理由．
【分析】（1）首先求得线段OA所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式
即可求解；
（2）把y＝20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【解答】解：（1）依题意，直线OA过（ ，20），则直线OA的解析式为y＝80x，
当x＝ 时，y＝120，即A（ ，120），
设双曲线的解析式为y＝ ，将点A（ ，120）代入得：k＝180，
∴y＝ （x≥ ）；
（2）由y＝ 得当y＝20时，x＝9，
从晚上22：00到第二天早上6：30时间间距为8.5小时，
∵8.5＜9，
∴第二天早上6：30不能驾车去上班．
8．（2023秋•于洪区期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气
体的密度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求密度 与体积V的函数表达式；
ρ ρ
（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度 的变化范围．
ρ
ρ【分析】（1）设密度 （单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）的反比例函数解析式为 ＝ ，把点
（5，1.98）代入解析式根据待定系数法即可求得；
ρ ρ
（2）把V＝9和3代入解析式即可求出二氧化碳的密度，再求范围即可．
【解答】解：（1）设密度 与体积V的反比例函数解析式为 ＝ ，把点（5，1.98）代入解 ＝ ，得
k＝9.9，
ρ ρ ρ
∴密度 与体积V的反比例函数解析式为 ＝ ，（V＞0）．
ρ ρ
（2）把V＝9代入 ＝ ，得 ＝ ＝1.1kg/m3．
ρ ρ
把V＝3代入 ＝ ，得 ＝ ＝3.3kg/m3．
∴1.1＜ ＜3.3．
ρ ρ
9．（2023秋•临湘市期中）某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y
ρ
（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段AB表示原料加热阶段；线段BC∥x轴，表示原料的恒温
阶段；曲线CD是双曲线y＝ 的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
（1）填空：a的值为 2 1 ；
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．
【分析】（1）把y＝100代入y＝ 可得a＝21；
（2）用待定系数法可得线段AB对应的函数解析式为y＝8x+20（0≤x≤10）；（3）由8x+20＝60得x＝5，由 ＝60得x＝35，即可得到答案．
【解答】解：（1）把y＝100代入y＝ 得：x＝21，
∴a＝21，
故答案为：21；
（2）设线段AB对应的函数解析式为y＝kx+20，把（10，100）代入得：
100＝10k+20，
解得k＝8，
∴线段AB对应的函数解析式为y＝8x+20（0≤x≤10）；
（3）由8x+20＝60得x＝5，
由 ＝60得x＝35，
∵35﹣5＝30，
∴可进行零件加工的时间长度为30分钟．
10．（2023秋•甘井子区期中）问题背景：
同学们一定都熟悉这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”它道出了“杠杆原理”的意义
和价值，如图1，杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
解决问题：
如图2，小伟用撬棍撬动一块大石头，已知平衡时，阻力F 和阻力臂L 分别为1600N和0.5m．
1 1
（1）①求动力F和动力臂L的函数关系式．
②当动力臂为2m时，撬动这块石头高于平衡位置，至少需要的力为 40 0 N．（直接写出答案）
（2）若想动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多少？
【分析】（1）①根据“阻力F ×阻力臂L ＝动力F×动力臂L”即可求出动力F和动力臂L的函数关系
1 1
式；
②将动力臂为2m代入动力F和动力臂L的函数关系式，即可求出答案；
（2）将（1）中所用力的一半代入函数关系式，即可求出答案．【解答】解：（1）①∵阻力F ×阻力臂L ＝动力F×动力臂L，阻力F 和阻力臂L 分别为1600N和
1 1 1 1
0.5m，
∴F×L＝1600×0.5，
即F＝ ；
②当L＝2m时，F＝ ＝400（N），
故答案为：400；
（2）当F＝200N时，即200＝ ，
解得L＝4（m），
4﹣2＝2（m），
答：动力臂L至少要2m．
11．（2023•包头模拟）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上
课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随
时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜u时图象是线段；当a≤x≤45时，图
象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）a＝ 2 0 ．
（2）当0≤x＜10时，求y与x的函数关系式．
（3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，
专注度不低于60？请说明理由．
【分析】（1）由函数图象即可求解；
（2）从图象看，点A和点D的纵坐标相同，则点A（0，45），即可求解；
（3）当y＝60时，则y＝4.5x+45＝60，解得：x＝ ；当x＝60时，y＝ ＝60，解得：x＝30，则
30﹣ ＞25，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，a＝20，
故答案为：20；（2）从图象看，点C（20，90），
设双曲线的表达式为：y＝ ，
将点C的坐标代入抛物线表达式得：m＝20×90＝1800，
则反比例函数的表达式为：y＝ ，
当x＝40时，y＝ ＝45，
则点D（40，45）；
从图象看，点A和点D的纵坐标相同，则点A（0，45），
设直线AB的表达式为：y＝kx+45，
将点B（10，90）代入上式得：90＝10k+45，
解得：k＝4.5，
则直线AB的表达式为：y＝4.5x+45；
（3）可以，理由：当y＝60时，则y＝4.5x+45＝60，
解得：x＝ ；
当x＝60时，y＝ ＝60，
解得：x＝30，
则30﹣ ＞25，
故安排在 分钟到30分钟之间即可．
12．（2023秋•莱州市期中）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧
到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时
间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知
该材料初始温度是32℃．
（1）求材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？【分析】（1）根据图形得到反比例函数的图象过点（8，600），直线与反比例函数的图象交点B的纵
坐标为800；设出直线与反比例函数的解析式，利用待定系数法求解即可确定两函数的解析式，同时结
合点B的横坐标及x的实际意义确定两个阶段的自变量的取值范围；
（2）把y＝480代入所求的反比例函数的解析中，进一步求解即可得到答案．
【解答】解：（1）设y＝ （k≠0），
∴600＝ ，
∴k＝4800．
∴锻造时y与x的函数关系式为：y＝ ；
把y＝800代入y＝ 得，
＝800，
∴x＝6．
∴B（6，800）．
自变量的取值范围是x＞6．
设材料煅烧时y与x的函数关系式为y＝ax+32（a≠0），
∴800＝6a+32，
∴a＝128．
所以材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）．
（2）把y＝480代入y＝ ，得x＝10．
10﹣6＝4（min）．
所以锻造的操作时间为4min．
13．（2023秋•洪江市校级月考）近期，流感进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，
测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，已知
药物燃烧时，满足y＝2x；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物m分钟燃毕，此时室内每立方米
空气中的含药量为10mg．请根据图中所提供的信息，解决下列问题：
（1）求m的值，并求当x＞m时，y与x的函数表达式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭
空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明．【分析】（1）先根据y＝2x求出m的值，再设当x＞m时，y与x的函数表达式为y＝ ，把（5，10）
代入解析式求出k即可；
（2）分别把y＝4代入y＝2x和y＝ 求出x，再相减与10比较即可．
【解答】解：（1）把（m，10）代入解析式y＝2x得：2m＝10，
解得m＝5；
设当x＞m时，y与x的函数表达式为y＝ ，
把（5，10）代入解析式y＝ 得，k＝50，
∴当x＞m时，y与x的函数表达式为y＝ ；
（2）把y＝4代入y＝2x得：x＝2；
把y＝4代入y＝ 得：4＝ ，
解得x＝ ，
∵ ﹣2＝ ＞10，
∴此次消毒有效．
14．（2023春•淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10℃，加热
到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温
降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间
x（min）的关系如图所示．
（1）a＝ 8 ，b＝ 4 0 ．
（2）直接写出图中y关于x的函数表达式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？
（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：
40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）由（1）中的计算可直接得出；
（3）分别求出函数值为50时的两个时间，求时间差即可解决问题；
（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，算出从开机到第一节课下课的时间差，并利用循
环求出对应时间的水温即可．
【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从20℃到100℃需要8分钟，
设一次函数关系式为：y＝k x+b，
1
将（0，20），（8，100）代入y＝k x+b，得k ＝10，b＝20．
1 1
∴y＝10x+20（0≤x≤8），
设反比例函数关系式为：y＝ ，
将（8，100）代入，得k＝800，
∴y＝ ，
当y＝20时，代入关系式可得x＝40；
故答案为：8；40．
（2）由（1）中计算可得，y＝ ．
（3）在y＝10x+20（0≤x≤8）中，
令y＝50，解得x＝3；
反比例函数y＝ 中，令y＝50，解得：x＝16，
∴学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．
（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，
上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟，
∴ ＝40（℃），
∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．
15．（2023秋•雁塔区校级期中）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图
所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．
（1）分别求当0≤x＜10和20＜x≤45时，与之间满足的函数解析式；
（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否在学生认真听讲的时间段完成任务，请说
明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求出y＝36时的时间，再求差，比较大小求解．
【解答】解：（1）当20＜x≤45时，设y＝ ，
则：k＝xy＝20×45＝900，
∴y＝ ，
当x＝45时，y＝ ＝20，
∴D（45，20），
当0≤x＜10时，设y＝kx+20，
则：10k+20＝45，
解得：k＝2.5，
∴y＝2.5x+20．
（2）李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务．
理由：当y＝36时，2.5x+20＝36，解得：x＝6.4，
＝36，解得：x＝25，
∵25﹣6.4＝18.6，18.6＞17，
所以李老师能在学生认真听讲的时间段完成任务．
16．（2023•安阳二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间
水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒
掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了．智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式 Q＝cmΔt
（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，Δt表示水的温差），
得 ．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量 Q随之确定， 为定值，水上升的温度Δt（单位：℃）与水的质量m（单位：kg）成反比例．
（1）若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下 的值及Δt关于m的反比
例函数的表达式；
（2）在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到 100℃．
【分析】（1）根据50＝ ，可得 ＝150即得Δt＝ ；
（2）由25℃的水加热到 100℃，得75＝ ，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意，Δt＝ ，
∵将3kg温度为25℃的水加热到75（℃），
∴m＝3kg，Δt＝75﹣25＝50°C，
∴50＝ ，
∴ ＝150；
∴Δt＝ ；
∴ 的值为150，Δt关于m的反比例函数的表达式为Δt＝ ；
（2）∵25℃的水加热到 100℃，
∴Δt＝100﹣25＝75（°C），
∴75＝ ，
解得m＝2，
∴现有的木柴可将2千克温度为25℃的水加热到 100℃．
17．（2023秋•霍邱县月考）根据物理学知识，一定的压力F（N）作用于物体上产生的压强p（Pa）与物
体受力面积S（m2）成反比例，已知当S＝5m2时，p＝20Pa．
（1）试确定p与S之间的函数表达式；
（2）如果作用于物体上的压力能产生的压强p要大于1000Pa时，求物体受力面积S（m2）的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数的定义可设 ，把S＝5m2时，p＝20Pa代入，即可求解；
（2）压强p大于1000Pa，即 ＞1000时，求相对应的自变量的范围．
【解答】解：（1）∵一定的压力F（N）作用于物体上产生的压强p（Pa）与物体受力面积S（m2）成
反比例，∴可设 ，
∵当S＝5m2时，p＝20Pa，
∴ ，
∴F＝100（N），
∴p与S之间的函数表达式为 ；
（2）∵产生的压强p要大于1000Pa，
∴ ＞1000，
∴S＜0.1，
又∵S＞0，
∴0＜S＜0.1，
即如果作用于物体上的压力能产生的压强p要大于1000Pa时，求物体受力面积S（m2）的取值范围是0
＜S＜0.1．
18．（2022秋•宝山区期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时
停止加热．此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在20℃时
接通电源．一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 4 min；
（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？
【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升20℃即可求出水温从20℃加热到100℃所需时间；
（2）根据反比例函数过点（4，100）可求出解析式；
（3）分别计算出水温达到100℃前80℃和达到100℃后再降到80℃所需时间即可．
【解答】解：（1）∵开机加热时水温每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为 ＝4（min），
故答案为：4；
（2）由题可得，（4，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝ ，代入点（4，100）可得，k＝400，
∴y＝ ，
当y＝20时，x＝ ＝20，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝ （4≤x≤20）；
（3）由计算可知，水温从20℃开始加热到100℃再冷却到20℃需4+20＝24分钟，
水温从20℃加热到30℃所需要时间为： ＝3，
令y＝8，则x＝ ＝5，
∴水温不低于30℃的时间为5﹣3＝2（分钟），
答：不低于80℃的时间有2分钟．
19．（2023•甘井子区校级模拟）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用
这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达
到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问
题：
（1）抗生素服用 4 小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有 6 微克；
（2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
（3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
【分析】（1）由图象可得到结论；
（2）由待定系数法可求得y与x之间的函数解析式，由图象可得函数定义域；
（3）把x＝10代入反比例函数解析式可求得y．
【解答】解：（1）由图象可知，抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6
微克，
故答案为：4，6；
（2）设y与x之间的函数解析式为y＝ ，
把x＝4时，y＝6代入上式得：6＝ ，解得：k＝24，
则y＝ （x＞4）；
（3）当x＝10时，y＝ ＝2.4（微克），
答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克．
20．（2023春•淮安区校级期末）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药
物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后
y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释
放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间x
（分钟）成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系
式；
（2）根据（1）中的解析式列出关系式，进一步求解可得答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤12时，设y＝ax（a≠0）；当x≥12时，设y＝ （k≠0）．
将（12，9）代入y＝ax，
得：9＝12a，解得：a＝ ，
∴y＝ x（0≤x≤12）．
将（12，9）代入y＝ ，
得：9＝ ，解得：k＝108，
∴y＝ （x≥12）．
故正比例函数解析式是y＝ x（0≤x≤12），反比例函数解析式是y＝ （x≥12）；（2）当y＝0.9时， ＝0.9，
解得：x＝120，
120分钟＝2小时，
答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室．
21．（2022秋•大洼区期末）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数 的图象交于点A（﹣1，4），B
（b，﹣2）与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求k，b的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式 的解集；
（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．
【分析】（1）将A（﹣1，4）代入 得 ，将B（b，﹣2）代入 即可求解；
（2）根据图象一次函数与反比例函数的交点即可求解；
（3）由S△AOB ＝S△AOD +S△BOD 即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，4）代入 得 ，
∴k＝﹣4，
∴ ，
将B（b，﹣2）代入 得 ，
∴b＝2，
∴B（2，﹣2）．
（2）将A（﹣1，4），B（2，﹣2）分别代入y＝mx+n得 ，
∴ ，∴y＝﹣2x+2，
由图象可知当 时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜2，
（3）令y＝0，则0＝﹣2x+2，
解得：x＝1；
∴ ．
22．（2023秋•杨浦区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，4）在反比例函数y＝ 上的图象上，
将点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，点B恰好落在反比例函数y＝
的图象上．
（1）求点A、B的坐标．
（2）联结BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求S△ABC ．
【分析】（1）利用反比例函数解析式求得A的坐标，进而得到B（2，4﹣a），代入反比例函数的解析
式即可求得a＝2，从而得出B（2，2）．
（2）作AD∥y轴，交BC于D，求得直线BC为y＝ x，根据反比例函数的中心对称性求得C的坐标，
进而求得D的坐标，然后根据S△ABC ＝S△ABD +S△ACD 求得即可．【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴4m＝4，
∴m＝1，
∴A（1，4），
点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，则B（2，4﹣a），
∵点B恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，
∴2（4﹣a）＝4，
解得a＝2，
∴B（2，2）；
（2）作AD∥y轴，交BC于D，
∵B（2，2），
∴C（﹣2，﹣2），
∴直线BC为y＝x，
把x＝1代入得，y＝1，
∴D（1，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∴S△ABC ＝S△ABD +S△ACD ＝ ×（x
B
﹣x
C
）＝ ＝6．
23．（2023秋•包河区校级期中）如图，一次函数 y＝kx+b与反比例函数 的图象交于点A（﹣1，
6）， ．与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把 B的坐标代入
反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式；
（2）利用一次函数的解析式求得点C的坐标，然后观察图象求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6）在反比例函数 的图象上，
∴m＝﹣1×6＝﹣6．
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ．
∵点B在反比例函数图象上，
∴ ．
∴a＝1．
∴B（3，﹣2）．
∵点A（﹣1，6），B（3，﹣2）在一次函数 y＝kx+b 的图象上，
∴ ．
解得 ．
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4．
（2）由直线y＝﹣2x+4可知C（2，0），
观察图象，不等式 的解集是2＜x＜3．
24．（2023秋•莒县期中）如图，直线y＝kx+b与双曲线 相交于点A（2，3）、B两点，B点纵坐标为
1．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）点D（0，n）在y轴上，连接AD，BD，当△ABD的面积为10时，求n的值；
（3）请直接写出关于x的不等式 的解集．【分析】（1）将A（2，3）代入双曲线 ，求出m的值，从而确定双曲线的解析式，再将点B（n，
1）代入y＝ ，确定B点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）求得直线AB于y轴的交点坐标，然后根据S△ABD ＝S△CBD ﹣S△CAD ＝10，求得CD的坐标，进一步
求得n的值；
（3）数形结合求出x的范围即可．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线 ，
∴m＝6，
∴双曲线的解析式为y＝ ，
将y＝1代入y＝ ，得1＝ ，
∴x＝6，
∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝﹣ x+4；
（2）由y＝﹣ x+4可知C（0，4），
∵S△ABD ＝S△CBD ﹣S△CAD ＝10，
∴ ＝10，
∴CD＝5，
∴n＝9或n＝﹣1；（3）由图可知，关于x的不等式 的解集是0＜x＜2或x＞6．
25．（2023秋•杨浦区期中）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝ （k≠0）交第一象限于点A（m，4）．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将点O绕点A逆时针旋转90°至点B，求直线OB的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若点C是射线OB上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交双曲线y＝
（k≠0）的图象于点D，交x轴于点E，且S△DCO ：S△DEO ＝2：3，求点C的坐标．
【分析】（1）联立直线与双曲线的解析式，可得出点 A的横坐标，再将点A的坐标代入直线表达式即
可求得a的值；
（2）根据题意，找出点 B 的位置，过点 A 作 AF⊥x 轴于点 F，过点 B 作 BM⊥AF 于点 M，可证
△AOF≌△BAM，由此可得点B的坐标，由待定系数法求可求出直线OB的解析式；
（3）根据题意作出图形，由面积比可得DC：DE＝1：2，设点C的横坐标为m，由此表达点D，E的坐
标，进而可得DC和DE的长度，得出关于m的方程，解之即可．
【解答】解：（1）点A（m，4）在直线y＝2x，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∵点A在第一象限，且点A的纵坐标为4，
∴A（2，4），
将点A（2，4）代入直线y＝ （k≠0），∴k＝2×4＝8，
y＝ ；
（2）根据题意，找出点B的位置，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥AF于点M，如图：
∴∠AFO＝∠AMB＝90°，
∴∠AOF+∠OAF＝∠OAF+∠BAM＝90°，
∴∠AOF＝∠BAM，
由旋转可知，OA＝AB，
∴△AOF≌△BAM（AAS），
∴AM＝OF＝2，BM＝AF＝4，
∴B（6，2），
∴直线OB的解析式为：y＝ x；
（3）如图，S△DCO ＝ DC•OE，S△DEO ＝ DE•OE，
∵S△DCO ：S△DEO ＝1：2，
∴（ DC•OE）：（ DE•OE）＝2：3，即DC：DE＝2：3；
即DC＝ DE，设点C的横坐标为m，由（1）可知抛物线的解析式为：y＝ ，
∴C（m， m），D（m， ），E（m，0），
∴DC＝| m﹣ |，DE＝ ，
∴| m﹣ |＝ × ，解得m＝2 或m＝2 （负值舍去）；
∴点C的坐标为（2 ， ）或（2 ， ）．
26．（2023•河南模拟）如图，直线y＝kx+b与双曲线 相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴
相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式 的解集．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积＝S△AOD ﹣S△BOD 即可以
解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b，
得 ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入 ，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣ （x＜0）；（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，4），
由 ，解得 或 ，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD ﹣S△BOD ＝ ＝4；
（3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式 的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
27．（2023秋•肥城市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝kx+b的图象上与反比例函数
1
的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（6，2），点B的横坐标为﹣4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且S△ABD ＝15，求点D坐标．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点 B的坐标，再
把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点D（0，d），求出C（0，﹣10），则CD＝|d+10|，再由S△ABD ＝S△BDC +S△ADC ＝15，得到CD
＝3，进而求出d＝﹣7或d＝﹣13，则点D的坐标为（0，﹣7）或（0，﹣13）．
【解答】解：（1）∵点A（6，2）在比例函数 上，
∴2＝ ，
∴m＝12，
∴反比例函数解析式为y ＝ ，
2
∵点B（﹣4，n）在反比例函数y ＝ 上，
2
∴n＝ ，
∴n＝﹣3，
∴B（﹣4，﹣3），
∵点A，点B在一次函数y ＝kx+b的图象上，
1∴ ，
解得： ，
∴一次函数解析式为y ＝2x﹣10；
1
（2）如图，所示：
设点D（0，d），
∵点C是一次函数为y ＝2x﹣10与y轴的交点，
1
∴点C（0，﹣10），
∴CD＝|d+10|，
∴S△ABD ＝S△BDC +S△ADC ＝15，
∴ ×4+ ×CD×6＝15，
∴CD＝3，
∴|d+10|＝3，
∴d＝﹣7或d＝﹣13，
∴点D的坐标为（0，﹣7）或（0，﹣13）．
28．（2023秋•张店区期中）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m≠ ）的图
1 2
象交于 A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
θ
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣ ＞0时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次
函数解析式；
（2）由图可得答案；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，
解之即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数 图象上，
∴ ，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为 ，
将A（﹣1，n）代入 ，
得： ，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，
解得： ，
∴一次函数解析式为y ＝﹣2x+4；
1
（2）由图可得：x＜﹣1或0＜x＜3时，kx+b﹣ ＞0；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y ＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
1
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即 |a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
29．（2023秋•娄底期中）如图，一次函数y ＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数
1
y ＝ 的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
2
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OC，OD，求△COD的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ＝3，求点P的坐标．
【分析】（1）依据题意，将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求
出两个函数的解析式；
（2）依据题意，根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求出S△COD ；
（3）依据题意，设P（m， ）（m＞0），再有PQ∥x轴且Q在直线AB上，可得Q（3﹣ ， ），
最后根据PQ＝3，计算出m，进而得解．
【解答】解：（1）由y ＝ 过点C（1，2）和D（2，n）可得： ，
2
解得： ．
∴y ＝ ．
2
又由y ＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得： ，
1
解得 ．
∴y ＝﹣x+3．
1
（2）由y ＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
1
∴OB＝3．
而点D到y轴的距离为2，点C到y轴的距离为1，
∴S△COD ＝S△BOD ﹣S△BOC ＝ ×3×2﹣ ＝ ．（3）由题意，可设P（m， ）（m＞0），
又PQ∥x轴且Q在直线AB上，
∴Q（3﹣ ， ）．
又PQ＝3，
∴|m﹣3+ |＝3．
∴解得，m＝3± ．
∴P（3+ ，3﹣ ）或（3﹣ ，3+ ）．
30．（2023秋•迁安市期中）已知：如图是反比例函数 图象的一支，
（1）求k的取值范围；
（2）若该函数图象上有两点M（2，a），N（6，b），则a ＞ b（填“＞”“＜”或“＝”），并
求出b与a的关系式；
（3）若一次函数 的图象与该反比例函数图象（交于点 A（4，m），与x轴交于点B，连接
OA；
①求出m、k的值；
②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点P，使得△POB的面积等于△AOB的面积的一半，
若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）反比例函数 图象的一支在第一象限，即可得到k﹣4＞0，解得k＞4；
（2）关键反比例函数的性质即可求得a、b的大小，由反比例函数系数k＝xy即可求得a、b间的关系；（3）①把点A（4，m）代入 即可求得m的值，进一步代入 即可求得k的值；
②由题意可知P的纵坐标为 ，代入反比例函数解析式即可求得横坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数 图象的一支在第一象限，
∴k﹣4＞0，
∴k＞4；
（2）∵该函数图象上有两点M（2，a），N（6，b），且0＜2＜6，
∴a＞b，
∴k﹣4＝2a＝6b，
∴a＝3b，
故答案为：＞；
（3）①∵一次函数 的图象过点A（4，m），
∴m＝ ＝3，
∴A（4，3），
把点A（4，3）代入 得，3＝ ，
解得k＝16；
②存在，
当P点的纵坐标是点A的纵坐标的一半时，符合题意，
∴P的纵坐标为 ，
由①可知反比例函数为y＝ ，
代入y＝ 得， ＝ ，
解得x＝8，
∴P（8， ）．
