文档内容
专题提升 相似三角形的判定与性质（30 题）
1．（2023•东莞市校级一模）如图，在平行四边形 ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE
＝ BC，连接AE，AE与CD交于点F．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．
2．（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝
∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
3．（2023秋•高新区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．（1）求证： ；
（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的长．
4．（2023秋•丰泽区校级期中）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；
（2）如图2，已知∠A＝81°，AC2＝AB•AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．
5．（2023秋•武侯区校级期中）如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝
BE，连接AC，DF．
▱（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求 的值．
6．（2023秋•浙江期中）如图1，在正方形ABCD中， ＝ ，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB
于点M，作MN⊥CM交边AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM＝2CE；
（2）如图2，若 ＝ ，求 的值．
7．（2023秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中， ，B（0，3），点C在x轴上，
且△AOB∽△BOC．（1）求C点坐标、∠ABC的度数；
（2）在线段AC上是否存在点M，使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以
点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋•卫辉市期中）如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED
交AB于点G、交DA延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．9．（2023秋•西安期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EB⊥AB，垂足为点B，交
AC于点E．
（1）求证： ．
（2）若AE＝6，AB＝5，求EC的长．
10．（2023秋•宝山区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠BAC＝∠BDC＝
90°．（1）求证：△ABE∽△CDE；
（2）如果 ，求 的值．11．（2023秋•罗湖区校级期中）在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AF⊥BC于点F，
AG⊥DE于点G，∠BAF＝∠EAG．
（1）求证：△ABC∽△AED；
（2）若AB＝5，AG＝2，EG＝1，求AF的长．
12．（2023秋•丹阳市期中）如图，在 ABCD中，E为AB边的中点，对角线AC、BD交于点O．连接DE
交AC于点F，且OF＝2．
▱
（1）求对角线AC的长度；
（2）若△ADF的面积为4，求四边形EBCF的面积．13．（2023秋•城关区校级期中）如图，DE∥BC，且∠ABE＝∠C．
（1）求证：AE2＝AD•AB；
（2）如果AE＝4，BD＝6，求AD．
14．（2023秋•高新区校级期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB＝4cm，AC＝3cm，点D沿AB从A向B
运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．
连接DE、CD、AE．
（1）当动点运动时间t＝ 秒时，△BDE与△ABC相似．
（2）在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．15．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在四边形 ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝
90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝2，AB＝3，求 的值．
16．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，已知 AB∥CF，点D是AB上一点，DF交AC于点E，且DE＝
FE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝7，CF＝4，求BD的长．17．（2023秋•鹿城区校级期中）如图，点E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△AFD∽△DCE．
（2）若AB＝4，AD＝2，CE＝1，求AF的长度．
18．（2023秋•秦都区校级期中）如图，在菱形ABCD中，连接AC，H为边AB延长线上一点，连接DH，
分别交对角线AC、边BC于M、C两点，连接BM．
（1）求证：∠CBM＝∠CDM；
（2）若DM＝2 ，MG＝2，求MH的长．19．（2023秋•裕华区月考）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连接AF交CD于点E，若
．
（1）求证：△ADE∽△FBA；
（2）若BC＝3，则CF的长 ．
20．（2023•石城县模拟）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长．21．（2023秋•朝阳期中）如图，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ED于点
F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若AD＝5，AB＝7，求 的值．
22．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝
∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．23．（2023秋•泗水县期中）如图，AB为 O的直径，射线AC交 O于点C，AD平分∠CAB交 O于点
D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）若∠F＝30°， ⊙ ，求DM的长．
24．（2023秋•祁阳县期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．
（1）求证：AB•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．25．（2023秋•普陀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作AD的平行
线FG，分别交AB、DC于点F、G，且 ．
（1）求证：EG∥BC；
（2）如果EF＝2，AD＝3，求BC的长．
26．（2023秋•商水县期中）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与
形之间灵活应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6．请解答下面的问题：
观察猜想：（1）如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则△BCM的形
状是 ；
探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得
到△CMN，连接MB，AN．
①求证：△ACN∽△BCM；
②求AN的长．27．（2023 秋•金堂县期中）在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，E、F 分别为 BC、DC 边上的点，且
，射线AE交DF的延长线于点G，射线AF交BE
的延长线于点H．
（1）求证：AF2＝FC•FG；
（2）若AF＝3，CF＝1，AG＝10，求CH的长．28．（2023秋•闵行区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝90°，点E是边AB的中点，连接
DE，延长DE交CB的延长线于点F，∠CBA＝2∠F，且AC＝BC．
（1）求证：△FBE∽△EFC；
（2）求证：DC2＝AD•FC．
29．（2023秋•梁溪区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，F为边AD上一点，且DF＝2，点E
是线段AB上一动点，直线FE与直线BC相交于点G，射线EH与直线CD相交于点P，且EP⊥EF．已
知AE＝x．
（1）用含有x的代数式表示线段EF的长，EF＝ ；
（2）①当点P与点C重合时，求线段EP的长；
②若点P在线段DC上，求x的范围；
（3）求△FPG的面积（用含x的代数式表示）．30．（2023秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标
为（8，0），直线 交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度
移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，
点P停止移动．连接BP、CP，设运动时间为t秒．（1）点D的坐标为 ；
（2）当CP⊥OD时，求直线CP的表达式；
（3）在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似．若存在，请
直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
