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第4讲 随机事件的概率与古典概型
最新考纲 考向预测
以考查随机事件、互斥事件
与对立事件的概率及古典概
型为主，常与事件的频率交
1.结合具体实例，理解样本点和有限样
汇考查．本讲内容在高考中
本空间的含义，理解随机事件与样本
命题趋 三种题型都有可能出现，随
点的关系．
势 机事件的频率与概率的题目
2.了解随机事件的并、交与互斥的含
往往以解答题的形式出现，
义，掌握随机事件概率的运算法则．
互斥事件、对立事件的概念
3.结合具体实例，理解古典概型，能计
及概率常常以选择题、填空
算古典概型中简单随机事件的概率.
题的形式出现．
核心素
数学建模、数据分析
养
1．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验
中事件A出现的次数n 为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例f (A)＝为事
A n
件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f (A)随着试验次数的增加
n
稳定于概率P(A)，因此可以用 频率 f ( A ) 来估计概率P(A)．
n
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
如果事件A发生，则事件B一定发
包含关系 生，这时称事件B包含事件A(或称 B A (或 A B )
事件A包含于事件B)
⊇ ⊆
若B A且 A B ，那么称事件A与事
相等关系 A ＝ B
件B相等
⊇ ⊇
并事件(和事
若某事件发生 当且仅当事件 A 发生
A ∪ B (或 A ＋ B )
件)
或事件 B 发生 ，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
若某事件发生 当且仅当事件 A 发生
交事件(积事
且事件 B 发生 ，则称此事件为事件A A ∩ B (或AB)
件)
与事件B的交事件(或积事件)
若A∩B为不可能事件，那么称事件
互斥事件 A∩B＝∅
A与事件B互斥
若A∩B为不可能事件，A∪B为必
对立事件 然事件，那么称事件A与事件B互 A∩B＝∅且A∪B＝Ω
为对立事件
3.古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(3)概率公式
P(A)＝．
常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1
－P(B)．
常见误区
1．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当
A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( )
(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( )
(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
2．(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选BCD.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而
B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故
选BCD.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜
欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球
又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56% C．46% D．42%
解析：选C.不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人
数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球
又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C.
4．(易错题)掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B
表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．
解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以
P(B)＝1－P(B)＝1－＝，显然A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
5．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课
3年来的考试成绩分布：成绩 人数
90分以上 42
80～89分 172
70～79分 240
60～69分 86
50～59分 52
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的
信息估计他得以下分数的概率：
(1)90分以上的概率为________．
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率为________．
解析：(1)＝0.07.
(2)＝0.1.
答案：(1)0.07 (2)0.1
随机事件的频率与概率
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的
每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了
一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的
年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如
表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；
Y 51 48 45 42
频数 4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株
数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y 51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为
＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万
千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，
Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，
140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成频率分布表；
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将
频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490万千瓦时或超过
530万千瓦时的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为
200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)由已知可得Y＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530
万千瓦时的概率为.
互斥事件、对立事件的概率
已知射手甲射击一次，命中9环(含9环)以上的概率为0.56，命中8环
的概率为0.22，命中7环的概率为0.12.
(1)求甲射击一次，命中不足8环的概率；
(2)求甲射击一次，至少命中7环的概率．
【解】 记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，
则P(A)＝1－0.56－0.22－0.12＝0.1，
“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P(B)＝0.12，
由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，
故A与B是互斥事件，
(1)“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A＋B，
由互斥事件的概率加法公式，
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.12＝0.22.
所以甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22.
(2)方法一：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，
“甲射击一次，命中9环(含9环)以上”为事件D，由于一次射击命中，A，B，
C，D不可能同时发生，故A，B，C，D是互斥事件，
则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B＋C＋D，
所以P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.12＋0.22＋0.56＝0.9.
所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.
方法二：因为“甲射击一次，至少命中7环”为事件A，
所以P(A)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.
求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)
1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3，0.2，0.1，
0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为________．
解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则
事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火
车或乘飞机去的概率为0.7.
答案：0.7
2．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 6 8 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有
该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至
3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情况如表，完成
下表，并求试销期间日平均获利钱数；
日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000
频率
(2)求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率．
解：(1)日获利分别为0元，1 000元，2 000元，3 000元的频率分别为，，，；试
销期间日平均获利数为0×＋1 000×＋2 000×＋3 000×＝1 850元．
(2)由题意知与事件“第一天的销售量为1件”是对立事件，所以P(“第二天
开始营业时该商品的件数为 3件”)＝1－P(“第一天的销售量为 1件”)＝1－
＝.古典概型的概率
角度一 简单的古典概型的概率
(1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试考前演练)不透明的袋中装有
8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2
个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为(
)
A. B. C. D.
(2)(2021·武昌区高三调研)某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学
生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的
则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 (1)设“取出的2个小球中一个是白色小球另一个是红色小球”为
事件A，则P(A)＝＝.故选B.
(2)依题意4位学生申请A、B、C三个课外学习小组的方法有34种，这4位学
生中，恰有2人申请A学习小组的方法有C×22种，所以这4位学生中，恰有2人
申请A学习小组的概率为＝，故选D.
【答案】 (1)B (2)D
(1)古典概型中基本事件的探求方法
(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤
角度二 古典概型与其他知识的综合问题
(1)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取
一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A. B.
C. D.
(2)将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为
b，设任意投掷两次使两条不重合直线l ：ax＋by＝2，l ：x＋2y＝2平行的概率为
1 2
P ，相交的概率为P ，若点(P ，P )在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范
1 2 1 2
围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，
5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
满足条件的有(3，3)，(5，5)共2个，
故所求的概率为.故选A.
(2)对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l ：ax＋by＝2，l ：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝
1 2
6，故概率为P ＝＝，两条直线l ：ax＋by＝2，l ：x＋2y＝2相交的情形除平行与重
1 1 2
合(a＝1，b＝2)即可，所以P ＝＝，
2
因为点(P ，P )在圆(x－m)2＋y2＝的内部，
1 2
所以＋＜，
解得－＜m＜，故选D.
【答案】 (1)A (2)D
解决古典概型中交汇问题的方法
解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求
出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取
3点，则取到的3点共线的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，
(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，
A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为＝，故选A.
2．(2021·湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九
章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的
重要文献，这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期，某中学拟从这10部专著
中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材，则所选2部专著中至少有一部是魏
晋南北朝时期专著的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，
所以P(A)＝＝.因此P(A)＝1－P(A)＝1－＝.故选A.
3．一个袋中装有四个形状大小完全相同的编号为1，2，3，4的球，从袋中随机
抽取一个球，将其编号记为m，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，
将其编号记为n，则关于x的一元二次方程x2＋2mx＋n2＝0无实数根的概率为
________．
解析：记事件A为“关于x的一元二次方程x2＋2mx＋n2＝0无实数根”．由
m>0，n>0，Δ＝(2m)2－4n2<0，得0<m<n.取球的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，
1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个，其中第一个数
表示m的取值，第二个数表示n的取值．事件A包含的基本事件有(1，2)，(1，3)，
(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个．所以事件A发生的概率P(A)＝＝.
答案：
[A级 基础练]
1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等
于4的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选C.从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6(种)情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，所以P＝＝.故选C项．
2．根据以往30年的统计数据，中秋节晚上甲地阴天的频率为0.4，乙地阴天
的频率为0.3，甲、乙两地都阴天的频率为0.18，则用频率估计概率，今年中秋节
晚上甲、乙两地都能赏月(即都不阴天)的概率为( )
A．0.88 B．0.52 C．0.42 D．0.48
解析：选D.设事件A＝“甲地阴天”，事件B＝“乙地阴天”，所以P(A)＝0.4，
P(B)＝0.3，P(A∩B)＝0.18，则甲、乙两地至少有一地阴天的概率为 P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.52，所以两地都能赏月的概率为1－P(A∪B)＝0.48.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)
我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所
有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选A.由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，
该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概
率P＝＝.故选A.
4．(多选)下列四个命题错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
解析：选BCD.在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；在B中，若A，B
为两个互斥事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，若 A，B 不为两个互斥事件，则
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，故B错误；在C中，若事件A，B，C彼此互斥，则
P(A)＋P(B)＋P(C)≤1，故C错误；在D中，若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则
A，B有可能不是对立事件．
5．(多选)(2021·山东潍坊模拟)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、
生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学必选物理，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B．甲同学不同的选法共有15种C．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是
D．乙、丙两名同学都选物理的概率是
解析：选BD.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A
错误；由于甲同学必选物理，故只需从剩下的6门学科中任选2门即可，则甲同学
不同的选法共有C＝15种，故B正确；由于乙同学选了物理，则乙同学选技术的
概率是＝，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为＝，故乙、丙两名同
学都选物理的概率是×＝，故D正确．故选BD.
6．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次
每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同
颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同
色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，事件A与事
件B是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：
7．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且 P(A)＝2P(B)，则P(A)＝
________．
解析：因为事件A，B都不发生的概率为，
所以P(A∪B)＝1－＝，又因为事件A，B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，
因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＝，
所以P(A)＝1－＝.
答案：
8．(2020·福建省质量检测)2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾
难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援
纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生
志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随
机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名
志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅
导的概率为________．
解析：方法一：安排3名志愿者辅导4门学科，不同的情况共有CCA＝36(种)
其中数学学科恰好由甲辅导的情况有A＋2C＝12(种)，所以所求概率P＝＝.方法二：安排3名志愿者辅导4门学科，每门学科由1名志愿者辅导，共有34
种情况．所有学科由同一名志愿者辅导有3种情况，4门学科有且只有2名志愿
者辅导有 C(C×2＋C)种情况，所以不同的情况一共有 34－C(C×2＋C)－3＝
36(种)，其中数学学科恰好由甲辅导的情况有A＋2C＝12(种)，所以所求概率P＝
＝.
答案：
9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种食品的
情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品
甲 乙 丙 丁
顾客人数
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品可能性最大
解：(1)1 000位顾客中有200位同时购买乙和丙，所以估计顾客同时购买乙和
丙的概率为＝.
(2)1 000位顾客中有100位同时购买甲、丙、丁，200位同时购买甲、乙、丙，所
以估计1 000人中同时购买3种商品的概率为＝.
(3)购买了甲的顾客有100＋200＋300＋85＝685位．
则顾客同时购买乙的概率为，
同时购买丙的概率为＝，
同时购买丁的概率为.因此，顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最
大．
10．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从
各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法
从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商
品来自相同地区的概率．
解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)方法一：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B ，B ，B ；C ，C .
1 2 3 1 2
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B }，{A，B }，
1 2
{A，B }，{A，C }，{A，C }，{B ，B }，{B ，B }，{B ，C }，{B ，C }，{B ，B }，{B ，
3 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2
C }，{B ，C }，{B ，C }，{B ，C }，{C ，C }，共15个．
1 2 2 3 1 3 2 1 2
每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件
D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B ，B }，
1 2
{B ，B }，{B ，B }，{C ，C }，共4个．所以P(D)＝.
1 3 2 3 1 2
即这2件商品来自相同地区的概率为.
方法二：这2件商品来自相同地区的概率为＝＝.
[B级 综合练]
11．(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮运动员在最近几次参加的比赛
中的得分情况如下表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件
B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是(
)
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
解析：选ABC.由题意可得P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18.因为事件A＋B与事
件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)
＝1－0.55－0.18＝0.27，P(B＋C)＝1－P(A)＝1－0.55＝0.45.故选ABC.
12．(2021·上海浦东一模)已知集合A＝{－2，－1，－，，，1，2，3}，任取k∈A，
则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________．(结果用数值表示)解析：集合A＝{－2，－1，－，，，1，2，3}，任取k∈A的基本事件总数为8，
当k＝±2时，幂函数f(x)＝xk为偶函数，从而幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基
本事件个数为2，
所以幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率P＝.
答案：
13．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名
女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于
集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人
组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数
不少于2人的概率．
解：(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，“参赛女生有2人”为事
件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，得
P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，
故参赛女生人数不少于2人的概率为.
14．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同
的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．
解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E ，那么P(E )＝＝，即
A A
甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、
乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)＝1－P(E)＝.
(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P ＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务
2
的概率P ＝1－P ＝.
1 2[C级 创新练]
15．如图的三行三列的方阵中有九个数a (i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三
ij
个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．
解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝＝84种，取出的三个数分
别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同
列的概率为1－＝.
答案：
16．费马大定理(Fermat’s Last Theorem)又被称为“费马最后的定理”，由17
世纪法国数学家皮耶·德·费马提出．他断言当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋
yn＝zn没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学
家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合A＝{1，
2，3，4，5}中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程xn＋yn＝zn中的指数
n，求方程xn＋yn＝zn存在正整数解的概率．
解：由题意，n＝1时，存在正整数解，n＝2时其实就是勾股定理，所以也存在
正整数解，由费马大定理得，n>2时，方程不存在正整数解．所以问题转化为从1，
2，3，4，5这5个数中随机取2个数，其中包含1或2的概率P＝1－＝.故所求概
率为.
