文档内容
第4讲 随机事件的概率与古典概型
最新考纲 考向预测
以考查随机事件、互斥事件
与对立事件的概率及古典概
型为主，常与事件的频率交
1.结合具体实例，理解样本点和有限样
汇考查．本讲内容在高考中
本空间的含义，理解随机事件与样本
命题趋 三种题型都有可能出现，随
点的关系．
势 机事件的频率与概率的题目
2.了解随机事件的并、交与互斥的含
往往以解答题的形式出现，
义，掌握随机事件概率的运算法则．
互斥事件、对立事件的概念
3.结合具体实例，理解古典概型，能计
及概率常常以选择题、填空
算古典概型中简单随机事件的概率.
题的形式出现．
核心素
数学建模、数据分析
养
1．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验
中事件A出现的次数n 为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例f (A)＝为事
A n
件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f (A)随着试验次数的增加
n
稳定于概率P(A)，因此可以用 频率 f ( A ) 来估计概率P(A)．
n
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
如果事件A发生，则事件B一定发
包含关系 生，这时称事件B包含事件A(或称 B A (或 A B )
事件A包含于事件B)
⊇ ⊆
若B A且 A B ，那么称事件A与事
相等关系 A ＝ B
件B相等
⊇ ⊇
并事件(和事
若某事件发生 当且仅当事件 A 发生
A ∪ B (或 A ＋ B )
件)
或事件 B 发生 ，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
若某事件发生 当且仅当事件 A 发生
交事件(积事
且事件 B 发生 ，则称此事件为事件A A ∩ B (或AB)
件)
与事件B的交事件(或积事件)
若A∩B为不可能事件，那么称事件
互斥事件 A∩B＝∅
A与事件B互斥
若A∩B为不可能事件，A∪B为必
对立事件 然事件，那么称事件A与事件B互 A∩B＝∅且A∪B＝Ω
为对立事件
3.古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(3)概率公式
P(A)＝．
常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1
－P(B)．
常见误区
1．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当
A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( )
(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( )
(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
2．(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选BCD.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而
B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故
选BCD.
3．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜
欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球
又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56% C．46% D．42%
解析：选C.不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人
数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球
又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C.
4．(易错题)掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B
表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．
解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以
P(B)＝1－P(B)＝1－＝，显然A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
5．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课
3年来的考试成绩分布：成绩 人数
90分以上 42
80～89分 172
70～79分 240
60～69分 86
50～59分 52
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的
信息估计他得以下分数的概率：
(1)90分以上的概率为________．
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率为________．
解析：(1)＝0.07.
(2)＝0.1.
答案：(1)0.07 (2)0.1
随机事件的频率与概率
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的
每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了
一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的
年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如
表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；
Y 51 48 45 42
频数 4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株
数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y 51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为
＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万
千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，
Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，
140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成频率分布表；
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将
频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490万千瓦时或超过
530万千瓦时的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为
200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)由已知可得Y＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530
万千瓦时的概率为.
互斥事件、对立事件的概率
已知射手甲射击一次，命中9环(含9环)以上的概率为0.56，命中8环
的概率为0.22，命中7环的概率为0.12.
(1)求甲射击一次，命中不足8环的概率；
(2)求甲射击一次，至少命中7环的概率．
【解】 记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，
则P(A)＝1－0.56－0.22－0.12＝0.1，
“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P(B)＝0.12，
由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，
故A与B是互斥事件，
(1)“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A＋B，
由互斥事件的概率加法公式，
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.12＝0.22.
所以甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22.
(2)方法一：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，
“甲射击一次，命中9环(含9环)以上”为事件D，由于一次射击命中，A，B，
C，D不可能同时发生，故A，B，C，D是互斥事件，
则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B＋C＋D，
所以P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.12＋0.22＋0.56＝0.9.
所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.
方法二：因为“甲射击一次，至少命中7环”为事件A，
所以P(A)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.
求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)
1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3，0.2，0.1，
0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为________．
解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则
事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火
车或乘飞机去的概率为0.7.
答案：0.7
2．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 6 8 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有
该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至
3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)设每销售一件该商品获利1 000元，某天销售该商品获利情况如表，完成
下表，并求试销期间日平均获利钱数；
日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000
频率
(2)求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率．
解：(1)日获利分别为0元，1 000元，2 000元，3 000元的频率分别为，，，；试
销期间日平均获利数为0×＋1 000×＋2 000×＋3 000×＝1 850元．
(2)由题意知与事件“第一天的销售量为1件”是对立事件，所以P(“第二天
开始营业时该商品的件数为 3件”)＝1－P(“第一天的销售量为 1件”)＝1－
＝.古典概型的概率
角度一 简单的古典概型的概率
(1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试考前演练)不透明的袋中装有
8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2
个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为(
)
A. B. C. D.
(2)(2021·武昌区高三调研)某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学
生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的
则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 (1)设“取出的2个小球中一个是白色小球另一个是红色小球”为
事件A，则P(A)＝＝.故选B.
(2)依题意4位学生申请A、B、C三个课外学习小组的方法有34种，这4位学
生中，恰有2人申请A学习小组的方法有C×22种，所以这4位学生中，恰有2人
申请A学习小组的概率为＝，故选D.
【答案】 (1)B (2)D
(1)古典概型中基本事件的探求方法
(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤
角度二 古典概型与其他知识的综合问题
(1)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取
一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A. B.
C. D.
(2)将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为
b，设任意投掷两次使两条不重合直线l ：ax＋by＝2，l ：x＋2y＝2平行的概率为
1 2
P ，相交的概率为P ，若点(P ，P )在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范
1 2 1 2
围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)由题意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，
5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
满足条件的有(3，3)，(5，5)共2个，
故所求的概率为.故选A.
(2)对于a与b各有6种情形，故总数为36种．
两条直线l ：ax＋by＝2，l ：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝
1 2
6，故概率为P ＝＝，两条直线l ：ax＋by＝2，l ：x＋2y＝2相交的情形除平行与重
1 1 2
合(a＝1，b＝2)即可，所以P ＝＝，
2
因为点(P ，P )在圆(x－m)2＋y2＝的内部，
1 2
所以＋＜，
解得－＜m＜，故选D.
【答案】 (1)A (2)D
解决古典概型中交汇问题的方法
解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求
出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取
3点，则取到的3点共线的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，
(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，
A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为＝，故选A.
2．(2021·湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》《九
章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的
重要文献，这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期，某中学拟从这10部专著
中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材，则所选2部专著中至少有一部是魏
晋南北朝时期专著的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，
所以P(A)＝＝.因此P(A)＝1－P(A)＝1－＝.故选A.
3．一个袋中装有四个形状大小完全相同的编号为1，2，3，4的球，从袋中随机
抽取一个球，将其编号记为m，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，
将其编号记为n，则关于x的一元二次方程x2＋2mx＋n2＝0无实数根的概率为
________．
解析：记事件A为“关于x的一元二次方程x2＋2mx＋n2＝0无实数根”．由
m>0，n>0，Δ＝(2m)2－4n2<0，得02时，关于x，y，z的方程xn＋
yn＝zn没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学
家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合A＝{1，
2，3，4，5}中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程xn＋yn＝zn中的指数
n，求方程xn＋yn＝zn存在正整数解的概率．
解：由题意，n＝1时，存在正整数解，n＝2时其实就是勾股定理，所以也存在
正整数解，由费马大定理得，n>2时，方程不存在正整数解．所以问题转化为从1，
2，3，4，5这5个数中随机取2个数，其中包含1或2的概率P＝1－＝.故所求概
率为.
