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1．(2019·河南豫南九校联考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)>1，
则( )
A．f(2)－f(1)>ln 2 B．f(2)－f(1)1 D．f(2)－f(1)<1
解析：选A.根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则xf′(x)>1 f′(x)>＝(ln x)′，即f′(x)
－(ln x)′>0.令F(x)＝f(x)－ln x，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即
⇒
f(2)－f(1)>ln 2.
2．若0ln x－ln x
2 1 2 1
B．ex－exxex
2 1 1 2
D．xexxex，故选C.
2 1 1 2
3．已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当02时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当01时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，
g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
4．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－.
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x，ln x)处的切线也是曲线y＝ex的
0 0 0切线．
解：(1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．
因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．
因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x，即f(x)＝0.
1 1
又0<<1，f＝－ln x＋＝－f(x)＝0，
1 1
故f(x)在(0，1)有唯一零点.
综上，f(x)有且仅有两个零点．
(2)证明：因为＝e－ln x，故点B在曲线y＝ex上．
0
由题设知f(x)＝0，即ln x＝，连接AB，则直线AB的斜率
0 0
k＝＝＝.
曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝ln x在点A(x，ln x)处切线的斜率也是，所
0 0
以曲线y＝ln x在点A(x，ln x)处的切线也是曲线y＝ex的切线．
0 0
5．(一题多解)(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
解：(1)f′(x)＝－a(x>0)．
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，则当00，当x>时，f′(x)<0，
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：法一：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e，
当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝－e.
max
记g(x)＝－2e(x>0)，
则g′(x)＝，
所以当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x) ＝g(1)＝－e.
min
综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.
法二：由题意知，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0，
从而等价于ln x－x＋2≤.
设函数g(x)＝ln x－x＋2，则g′(x)＝－1.
所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.
设函数h(x)＝，则h′(x)＝.
所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.
综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.
6．已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋>ln(n＋1)都成立．
解：(1)因为f′(x)＝－2x－1，
又因为x＝0为f(x)的极值点．
所以f′(0)＝－1＝0，
所以a＝1.经检验，a＝1时在x＝0处取得极值，
所以a＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.
因为f′(x)＝－2x－1＝－.
令f′(x)>0得－1ln(n＋1)．
