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[基础题组练]
1．数列{a}的通项公式是a＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )
n n
A．－200 B．－100
C．200 D．100
解析：选D.由题意知S ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选
100
D.
2．在数列{a}中，a＝2，a＝2，a －a＝1＋(－1)n，n∈N*，则S 的值为( )
n 1 2 n＋2 n 60
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
解析：选A.n为奇数时，a －a＝0，a＝2；n为偶数时，a －a＝2，a＝n.故S ＝2×30
n＋2 n n n＋2 n n 60
＋(2＋4＋…＋60)＝990.
3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a}满足：a ＝a －a (n≥2，
n n＋1 n n－1
n∈N*)，a＝1，a＝2，S 为数列{a}的前n项和，则S ＝( )
1 2 n n 2 018
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A.因为a ＝a－a ，a＝1，a＝2，所以a＝1，a＝－1，a＝－2，a＝－1，a
n＋1 n n－1 1 2 3 4 5 6 7
＝1，a ＝2，…，故数列{a}是周期为 6 的周期数列，且每连续 6 项的和为 0，故
8 n
S ＝336×0＋a ＋a ＝a＋a＝3.故选A.
2 018 2 017 2 018 1 2
4.＋＋＋…＋的值为( )
A. B.－
C.－ D.－＋
解析：选C.因为＝＝
＝，
所以＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
5．(2019·开封调研)已知数列{a}满足a＝1，a ·a＝2n(n∈N*)，则S 等于( )
n 1 n＋1 n 2 018
A．22 018－1 B．3×21 009－3
C．3×21 009－1 D．3×21 008－2
解析：选B.a＝1，a＝＝2，又＝＝2，
1 2
所以＝2.所以a，a，a，…成等比数列；a，a，a，…成等比数列，所以S ＝a＋a＋a
1 3 5 2 4 6 2 018 1 2 3
＋a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＝(a ＋a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋a ＋…＋a )＝＋＝
4 5 6 2 017 2 018 1 3 5 2 017 2 4 6 2 018
3·21 009－3.故选B.
6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a}的前n项和为S，a＝1，a＝2，且a －2a ＋a
n n 1 2 n＋2 n＋1 n＝0(n∈N*)，记T＝＋＋…＋(n∈N*)，则T ＝________．
n 2 018
解析：由a －2a ＋a＝0(n∈N*)，可得a ＋a＝2a ，所以数列{a}为等差数列，公
n＋2 n＋1 n n＋2 n n＋1 n
差d＝a－a＝2－1＝1，通项公式a＝a＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，则其前n项和S＝＝，所
2 1 n 1 n
以＝＝2(－)，T＝＋＋…＋＝2(－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故T ＝＝.
n 2 018
答案：
7．已知数列{a}中，a＝2，且＝4(a －a)(n∈N*)，则其前9项和S＝________．
n 1 n＋1 n 9
解析：由已知，得a＝4aa －4a，即a－4aa ＋4a＝(a －2a)2＝0，所以a ＝2a，
n n＋1 n n＋1 n＋1 n n＋1 n
所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，故S＝＝210－2＝1 022.
n 9
答案：1 022
8．已知数列{a}满足a ＝＋，且a＝，则该数列的前2 018项的和等于________．
n n＋1 1
解析：因为a＝，又a ＝＋，
1 n＋1
所以a＝1，从而a＝，a＝1，
2 3 4
即得a＝
n
故数列的前2 018项的和等于S ＝1 009×＝.
2 018
答案：
9．(2019·唐山模拟)已知数列{a}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.
n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝log ，求＋＋…＋.
n 3
解：(1)＝(32－1)＝3，当n≥2时，因为
＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)
＝(32n－1)－(32n－2－1)
＝32n－1，
当n＝1，＝32n－1也成立，
所以a＝.
n
(2)b＝log ＝－(2n－1)，
n 3
因为＝＝(－)，
所以＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1－)
＝.
10．(2019·唐山市摸底考试)已知数列{a}的前n项和为S，S＝.
n n n
(1)求a；
n
(2)若b＝(n－1)a，且数列{b}的前n项和为T，求T.
n n n n n
解：(1)由已知可得，2S＝3a－1，①
n n
所以2S ＝3a －1(n≥2)，②
n－1 n－1
①－②得，2(S－S )＝3a－3a ，
n n－1 n n－1化简得a＝3a (n≥2)，
n n－1
在①中，令n＝1可得，a＝1，
1
所以数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列，
n
从而有a＝3n－1.
n
(2)b＝(n－1)3n－1，
n
T＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1，③
n
则3T＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n.④
n
③－④得，－2T＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n
n
＝－(n－1)×3n
＝.
所以T＝.
n
[综合题组练]
1．在数列{a}中，若a ＋(－1)na＝2n－1，则数列{a}的前12项和等于( )
n n＋1 n n
A．76 B．78
C．80 D．82
解析：选B.由已知a ＋(－1)na＝2n－1，得a ＋(－1)n＋1·a ＝2n＋1，得a ＋a＝
n＋1 n n＋2 n＋1 n＋2 n
(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1，5，9及n＝2，6，10，结果相加可得S ＝a＋a＋a＋a＋…
12 1 2 3 4
＋a ＋a ＝78.故选B.
11 12
2．已知数列{a}的前n项和为S，a＝1，当n≥2时，a＋2S ＝n，则S 的值为( )
n n 1 n n－1 2 017
A．2 015 B．2 013
C．1 008 D．1 009
解析：选D.因为a＋2S ＝n，n≥2，所以a ＋2S＝n＋1，n≥1，两式相减得a ＋a＝
n n－1 n＋1 n n＋1 n
1，n≥2.又a＝1，所以S ＝a＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝1 009，故选D.
1 2 017 1 2 3 2 016 2 017
3．已知数列{a}，若a ＝a＋a (n∈N*)，则称数列{a}为“凸数列”．已知数列{b}为
n n＋1 n n＋2 n n
“凸数列”，且b＝1，b＝－2，则数列{b}的前2 019项和为________．
1 2 n
解析：由“凸数列”的定义及b＝1，b＝－2，得b＝－3，b＝－1，b＝2，b＝3，b＝1，
1 2 3 4 5 6 7
b＝－2，…，所以数列{b}是周期为6的周期数列，且b＋b＋b＋b＋b＋b＝0，于是数列
8 n 1 2 3 4 5 6
{b}的前2 019项和等于b＋b＋b＝－4.
n 1 2 3
答案：－4
4．(一题多解)(2019·合肥模拟)数列{a}满足：a＝，且a ＝(n∈N*)，则数列{a}的前n
n 1 n＋1 n
项和S＝________．
n
解析：通解：a ＝，两边同时取倒数得＝＝＋，整理得＝＋3，所以－＝3，所以数列{}是
n＋1
以＝3为首项，3为公差的等差数列，所以＝3n，所以a＝，所以数列{a}是常数列，所以S＝.
n n n
优解：用归纳法求解，a＝，根据a ＝，可得a＝，a＝，a＝，所以猜想a＝，经验证a
1 n＋1 2 3 4 n n＋
＝，从而S＝.
1 n
5．(2019·合肥模拟)已知等差数列{a}中，a－a＝4，前n项和为S，且S，S－1，S 成等
n 5 3 n 2 3 4比数列．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)令b＝(－1)n，求数列{b}的前n项和T.
n n n
解：(1)设{a}的公差为d，由a－a＝4，得2d＝4，d＝2.
n 5 3
所以S＝2a＋2，S－1＝3a＋5，S＝4a＋12，
2 1 3 1 4 1
又S，S－1，S 成等比数列，所以(3a＋5)2＝(2a＋2)·(4a＋12)，
2 3 4 1 1 1
解得a＝1，
1
所以a＝2n－1.
n
(2)b＝(－1)n＝(－1)n(＋)，
n
当n为偶数时，T＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)，所以T＝－1＋＝－.
n n
当n为奇数时，T＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)，
n
所以T＝－1－＝－.
n
所以T＝.
n
6．(2019·银川质检)正项数列{a}的前n项和S 满足：S－(n2＋n－1)S－(n2＋n)＝0.
n n n
(1)求数列{a} 的通项公式a；
n n
(2)令b＝，数列{b}的前n项和为T，证明：对于任意的n∈N*，都有T<.
n n n n
解：(1)由S－(n2＋n－1)S－(n2＋n)＝0，
n
得[S－(n2＋n)](S＋1)＝0.
n n
由于数列{a}是正项数列，所以S>0，S＝n2＋n.
n n n
于是a＝S＝2，当n≥2时，
1 1
a＝S－S ＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
n n n－1
综上可知，数列{a}的通项公式a＝2n.
n n
(2)证明：由于a＝2n，b＝，
n n
则b＝＝.
n
T＝
n
＝
<＝.
