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专题 24.3 弧、弦、圆心角
1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。
教学目标 2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的计算与证明过程中熟练的应
用。
1. 重点
（1）圆心角的认识；
（2）弧、弦、圆心角的关系。
教学重难点 2. 难点
（1）弧、弦、圆心角的关系的应用；
（2）求弧的度数；
（3）弧的两倍关系与弦的两倍关系。知识点01 圆心角的认识即范围
1. 圆心角的认识：
顶点在 的角叫做圆心角。
2. 圆心角的大小范围：
圆心角α的大小范围为 。
【即学即练1】
1．下面三个角，（ ）是该圆的圆心角．
A． B． C．
知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系
1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：
在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。
2. 弧、弦、圆心角的关系的推论：
（1）在 中，如果两条弧相等，那么他们所对 与 都相等。
（2）在 中，如果两条弦相等，那么他们所对 与 都相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
3. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的 的度数。
【即学即练1】
2．如图，AB、CD是 O的直径，^AE=^BD．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（ ）
⊙
A．32° B．48° C．60° D．64°
【即学即练2】
3．如图，AB、CD是 O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．求证：AC＝
BD．
⊙
【即学即练3】4．已知：如图， O中弦AB＝CD．求证：^AD=^BC．
⊙
【即学即练4】
5．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OA长为半径作 O，分别交AB、BO于C、D．若
∠B＝40°，则C^D的度数是（ ）
⊙
A．10° B．20° C．30° D．40°
【即学即练5】
6．如图，在 O中，^AB=^BC=C^D，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）
⊙
A．AC＝2CD B．AC＜2CD C．AC＞2CD D．无法比较
题型01 圆心角的认识
【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形所标记的角中是圆心角的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 弧、弦、圆心角的关系求或证明角【典例1】如图，AB、CD是 O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
⊙
A．42° B．44° C．46° D．48°
【变式1】如图，已知AB是 O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（
）
⊙
A．40° B．60° C．80° D．120°
【变式2】如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC＝40°，则^DE所对的圆心角的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
【变式3】如图，在 O中，^AB=^AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA．
⊙
题型03 弧、弦、圆心角的关系求或证明弦
【典例1】如图，在 O中，已知^AB=C^D，则AC与BD的关系是（ ）
⊙
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
【变式1】如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，CD⊥AB于点E，C是^AF的中点，连接AF．若 O
⊙ ⊙ ⊙的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝ ．
⊙
【变式3】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD．求证：AC＝BD．
题型04 弧、弦、圆心角的关系求或证明弧
【典例1】如图，点A，B，C，D在 O上，AB＝CD．求证：^BD=^AC．
⊙
【变式1】如图，AB是 O的直径，OD∥AC，C^D与^BD的大小有什么关系？为什么？
⊙
【变式2】AB是 O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB．
⊙（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：^AC=^BD．
题型05 求弧的度数
【典例1】如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若^AD的度数为43°，则^BC的度数为
°．
【变式1】如图，A、B、C、D在 O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧
CD的度数为 ．
⊙
【变式2】如图，已知AB，CD是 O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则C^E的度数为（ ）
⊙
A．38° B．44° C．48° D．54°
【变式3】如图， O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在弧BC上，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为
E、F，若点E为OC的中点，弧CD的度数为 ．
⊙
题型06 两倍弧与两倍弦【典例1】如图，AB、CD是 O两条弦，AB＝2CD，^AB与2C^D之间的大小关系是（ ）
⊙
A．^AB=2C^D B．^AB＞2C^D C．^AB＜2C^D D．无法确定
【变式1】在 O中，如果^AB=2C^D．那么弦AB与弦CD之间的关系是（ ）
A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定
⊙
【变式2】在 O中^AB=2C^D，则弦AB与弦CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD
⊙
【变式3】如图，在 O中，AB＝2CD，那么（ ）
⊙
A．^AB＞2C^D
B．^AB＜2C^D
C．^AB=2C^D
D．^AB与2C^D的大小关系无法比较
1．下列命题是真命题的是（ ）A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
2．如图，在 O中，^AC=^BD，∠AOB＝50°，则∠COD的度数为（ ）
⊙
A．60° B．30° C．40° D．50°
3．如图，AB是 O的直径，^AD的角度为70°，点C是^BD的中点，则∠DOC＝（ ）
⊙
A．65° B．55° C．110° D．60°
4．如图，在 O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
⊙
A．^AB=C^D B．^AC=^BD C．AC＝BD D．AD＝BD
5．如图，AB是 O的直径，AC＝CD，∠AOC＝50°，则∠BOD＝（ ）
⊙
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．如图，AB，CD是 O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，连接AD．若 O的半径为5，则弦AD
的长为（ ）
⊙ ⊙A．5 B．5❑√2 C．5❑√3 D．10
7．如图所示，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的
长为（ ）
A．3 B．4 C．3❑√2 D．4❑√2
8．如图，AB是 O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧^AB上一点，连接OC，AC．若^AC=2^AB，则
∠A的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，在 O中，满足^AB=2C^D，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
10．如图，已知锐角∠AOB，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长
为半径作^EF，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD
长为半径作弧，交^EF于点G，H；（3）连接OG，GH．下列四个结论：①OG
＝OD；②∠COG＝∠COD；③GH∥CD；④GH＝3CD．所有正确的结论是（
）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．
①②③④
11．如图，已知AB是 O的直径，^BC=C^D=^DE，∠BOC＝42°，那么弧AE度数等于 ．
⊙12．如图， O的半径为2，弦AB=2❑√3，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 ．
⊙
13．如图，在 O中，^AB=2^BC且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝52°， O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
⊙
15．如图，在半径为4的 O中，∠AOD＝∠COD＝120°，点B为^AD的中点，点E为弦AB的中点，点F
为弦CD的中点，则点O到AB的距离为 ，线段EF＝ ．
⊙
16．如图，在 O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：^BD=^BE．
⊙
17．如图，在 O 中，^AB=^AC，AB，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，
⊙OE⊥AC，垂足分别为D、E．求证：OD＝OE．
18．如图为O为圆心，AB为直径的圆，且C^B=^BD，2CB＝AB＝1．
（1）证明：E为CD中点；
（2）求OE的长度．
19．如图1，在 O中，直径AC垂直弦BD于点G，^AB=^BE，连接AE交BD于点F．
（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；
⊙
（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数．
20．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在 O
中OC⊥AB垂足为C，OC 1⊥A 1 B 1 垂足为C 1 ，OC和OC 1 都是弦心距． ⊙
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②，O是∠BPD的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B，C，D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
