文档内容
2026年菁优中考数学解密之一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025•湖北模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽
马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 240里，慢马
每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马 x天可追上慢马，则可列方程为（
）
A．240x＝150（x﹣12） B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
2．（2025•中原区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，
人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人
出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，
则可列方程为（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． = D． =
8 7 8 7
3．（2025•织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（ ）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2
a b
C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则 =
-3 -3
4．（2025•遵义模拟）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，
承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的
体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶
杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，则下列
方程正确的是（ ）
A．200x＝50（120﹣x） B．8×200x＝50（120﹣x）
C．200x＝8×50（120﹣x） D．8×50x＝200（120﹣x）
5．（2025•鲤城区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，
不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少
第1页（共22页）人和梨，每人分 4个梨，多 12个梨；每人分 6个梨，恰好分完．”设梨有 x个，则可列方程为
（ ）
x x x-12 x
A． -12= B． =
4 6 4 6
C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x
6．（2025•石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者
先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走 100步，走路慢的人只能走
60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢
的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（ ）
A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3
B．可得方程：60x＝100x﹣100
C．x的值为250
x x-100
D．可得方程： =
5 3
7．（2025•岳阳二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，
问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9
个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（ ）
A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9
C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9
8．（2025•新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银
子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉
和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
y-4 y+8
淇淇： = ．
7 9
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
9．（2025•黄冈校级模拟）如表是小刘的手机套餐资费标准．
月基础费 套餐内免费主叫 套餐外主叫费用 被叫
（min） （元/min）
（元）
第2页（共22页）套餐 58 150 0.25 免费
若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，则可列方程为（ ）
A．0.25×（x﹣150）+58＝98 B．0.25x+58＝98
C．（x﹣150）+58＝98×0.25 D．x+58＝98×0.25
10．（2025•兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共
买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，
每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意
列一元一次方程，正确的是（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4 x-4 x+3 x+4 x-3
A． = B． = C． = D． =
8 7 8 7 8 7 8 7
二．填空题（共10小题）
11．（2025•湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由 9个数组成一个3×3的方格，
且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中
已知的3个数，可得x＝ ．
12．（2025•洞口县校级模拟）已知xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 ．
13．（2025•乾县校级模拟）一次足球比赛共15轮（即每队均赛15场），胜一场记3分，平一场记1分，
负一场记0分，某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学平的场数是
．
14．（2025•朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住 7人，那么有7人
无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间客房．设有 x 间客房，可列方程为：
．
第3页（共22页）15．（2025•东台市模拟）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各
条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
16．（2025•碑林区校级一模）父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就
79岁了．”现在父亲 岁．
17．（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问
车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最
终剩下 9 人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有 x 辆车，可列方程为
．
18．（2025•宿城区校级一模）若 x＝3是关于 x的方程 ax2﹣bx＝6的解，则 2025﹣6a+2b的值是
．
19．（2025•池州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发，以1cm/s的
速度沿BC方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向运动到点
C停止，设点P的运动时间为ts．
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ；
（2）连接DQ，在点P和点Q不重合的情况下，连接AP．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积
2
是矩形ABCD的面积的 ，且0＜t≤2，则t的值为 ．
3
20．（2025•永寿县校级三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，
不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地
玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”问有多少牧童多少竹？若设
牧童有x人，则所列方程为 ．
三．解答题（共5小题）
第4页（共22页）21．（2025•晋中二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、
杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．2024年吕梁和晋中为
谷子主要种植区，晋谷21号和长农35号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试
验田A，B各30亩，A试验田种植晋谷21号，B试验田种植长农35号，收获后统计发现，长农35号
亩产量是晋谷21号的1.2倍，两块试验田单次共收获谷子23100千克，求晋谷21号的亩产量是多少千
克？
22．（2025•澄迈县一模）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，
已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天
共搬运货物460吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
23．（2025•剑河县校级模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
问题 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含
背景 茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生
产绿茶、红茶等成品茶．
素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶．
素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的1.5倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元．
素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425
元．
问题解决
任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶
各自采购多少千克．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少
元？
24．（2025•安徽模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳
四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子还余 4.5尺；
将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？
25．（2025•长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使
用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某
天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．
甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟，m＝ ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
第5页（共22页）第6页（共22页）2026年菁优中考数学解密之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B B D C A B
一．选择题（共10小题）
1．（2025•湖北模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载有这样一道题：良马日行二百四十里，驽
马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 240里，慢马
每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马 x天可追上慢马，则可列方程为（
）
A．240x＝150（x﹣12） B．150x＝240（x+12）
C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】行程问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【解答】解：由题意得240x＝150（x+12）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2025•中原区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，
人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人
出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，
则可列方程为（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4
A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． = D． =
8 7 8 7
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x人，
第7页（共22页）由题意，得8x﹣3＝7x+4．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并
据此列出方程．
3．（2025•织金县模拟）根据等式的性质，下列各式变形错误的是（ ）
A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若a＝b，则ac2＝bc2
a b
C．若a+3＝b+3，则a＝b D．若a＝b，则 =
-3 -3
【考点】等式的性质．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．若ac2＝bc2，则a＝b错误，当c＝0时，a不一定等于b，故选项A错误；
B．若a＝b，则ac2＝bc2，故选项B正确；
C．若a+3＝b+3，则a＝b，故选项C正确；
a b
D．若a＝b，则 = ，故选项D正确．
-3 -3
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
4．（2025•遵义模拟）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，
承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的
体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶
杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，则下列
方程正确的是（ ）
A．200x＝50（120﹣x） B．8×200x＝50（120﹣x）
C．200x＝8×50（120﹣x） D．8×50x＝200（120﹣x）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
第8页（共22页）【答案】C
【分析】设生产茶杯的工人有x人，则生产茶壶的工人有（120﹣x）人，则一天能做200x个茶杯，50
（120﹣x）个茶壶，由8个茶杯和1个茶壶为一套，即可列式．
【解答】解：根据题意得：200x＝8×50（120﹣x），
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，熟练根据题意列出式子和等式是解题的关键．
5．（2025•鲤城区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，
不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少
人和梨，每人分 4个梨，多 12个梨；每人分 6个梨，恰好分完．”设梨有 x个，则可列方程为
（ ）
x x x-12 x
A． -12= B． =
4 6 4 6
C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据孩童人数不变列方程即可．
x-12 x
【解答】解：设梨有x个，则人数可表示为 或 ，
4 6
x-12 x
由题意可列方程 = ．
4 6
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．
6．（2025•石家庄二模）《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者
先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走 100步，走路慢的人只能走
60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢
的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（ ）
A．走路快的人和走路慢的人的速度比为5：3
B．可得方程：60x＝100x﹣100
C．x的值为250
x x-100
D．可得方程： =
5 3
第9页（共22页）【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】A．利用速度之比＝相同时间内的路程之比，可得出两人的速度比为100：60＝5：3；
B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可
列出关于x的一元一次方程；
C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可
列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值；
D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，利用时间＝路程÷速度，结合时间相同，可
列出关于x的一元一次方程．
【解答】解：A．∵在相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步，
∴两人的速度比为100：60＝5：3，选项A不符合题意；
B．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
x x-100
根据题意得： = ，
100 60
即60x＝100x﹣10000，选项B符合题意；
C．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
x x-100
根据题意得： = ，
100 60
即60x＝100x﹣10000，
解得：x＝250，选项C不符合题意；
D．设走路快的人走x步，则走路慢的人走（x﹣100）步，
x x-100
根据题意得： = ，
100 60
x x-100
即 = ，选项D不符合题意．
5 3
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2025•岳阳二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，
问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9
个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为（ ）
A．4（x+1）＝3x+9 B．4（x+1）＝3x﹣9
C．4（x﹣1）＝3x﹣9 D．4（x﹣1）＝3x+9
第10页（共22页）【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可
列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，4（x﹣1）＝3x+9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
8．（2025•新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银
子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉
和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
y-4 y+8
淇淇： = ．
7 9
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设总人数为x人，根据两次分钱的总银两数相同列出方程7x+4＝9x﹣8；设总银两数为y两，
y-4 y+8
根据总人数相同，列出方程 = ，然后进行判断即可．
7 9
【解答】解：嘉嘉设总人数为x人，嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同；淇淇设
总银两数为y两，淇淇所列方程用的相等关系是总人数相同，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
9．（2025•黄冈校级模拟）如表是小刘的手机套餐资费标准．
月基础费 套餐内免费主叫 套餐外主叫费用 被叫
（min） （元/min）
（元）
第11页（共22页）套餐 58 150 0.25 免费
若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，则可列方程为（ ）
A．0.25×（x﹣150）+58＝98 B．0.25x+58＝98
C．（x﹣150）+58＝98×0.25 D．x+58＝98×0.25
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设小刘在该月的主叫通话时间为xmin，
则可列方程为0.25×（x﹣150）+58＝98，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．
10．（2025•兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共
买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，
每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意
列一元一次方程，正确的是（ ）
x-3 x+4 x+3 x-4 x-4 x+3 x+4 x-3
A． = B． = C． = D． =
8 7 8 7 8 7 8 7
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，
从而可以解答本题．
【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
x+3 x-4
= ，
8 7
故选：B．
第12页（共22页）【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列
出相应的方程．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由 9个数组成一个3×3的方格，
且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中
已知的3个数，可得x＝ 8 ．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】设第三行第一个方格中的数为a，根据第三竖列及对角线上的三个数的和相等，可列出关于x
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设第三行第一个方格中的数为a，如图所示．
根据题意得：a+x+5＝a+4+9，
即x+5＝4+9，
解得：x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2025•洞口县校级模拟）已知xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 2 ．
【考点】一元一次方程的定义．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】解：∵方程2xm﹣1﹣6＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1＝1，
第13页（共22页）解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义．解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未
知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
13．（2025•乾县校级模拟）一次足球比赛共15轮（即每队均赛15场），胜一场记3分，平一场记1分，
负一场记0分，某中学足球队获胜的场数是负场数的2倍，结果共得21分，则该中学平的场数是 9
．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】9．
【分析】设所负场数为x场，则胜2x场，平（15﹣3x）场，等量关系为：胜的场数的得分+平的场数
的得分＝21，依此列出方程求解即可．
【解答】解：设所负场数为x场，则胜2x场，平（15﹣3x）场，由题意可得：
3×2x+1×（15﹣3x）＝21，
解得x＝2，
∴15﹣3x＝9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出胜、负、平所得总分是解题关键．
14．（2025•朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住 7人，那么有7人
无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为： 7 x +7 ＝ 9
（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7x+7＝9（x﹣1）．
【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程．
15．（2025•东台市模拟）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各
第14页（共22页）条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 4 ．
【考点】一元一次方程的应用；整式的加减．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图像可得a﹣6＝3﹣5，计算求出结果即可．
【解答】解：根据图可知，a﹣6＝3﹣5，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了整式的加减，有理数的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌
握有理数加减运算的法则．
16．（2025•碑林区校级一模）父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就
79岁了．”现在父亲 5 4 岁．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设现在父亲x岁，然后根据题意可知：他们的年龄差为（79﹣x）岁，再根据题意可以列出方
程x﹣（79﹣x）＝4+（79﹣x），然后求解即可．
【解答】解：设现在父亲x岁，
由题意可得：x﹣（79﹣x）＝4+（79﹣x），
解得x＝54，
答：现在父亲54岁，
故答案为：54．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出年龄差，列出相应的方程．
17．（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问
车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最
终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 3 （ x ﹣
2 ）＝ 2 x +9 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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第15页（共22页）【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3（x﹣2）＝2x+9．
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣2）＝2x+9．
故答案为：3（x﹣2）＝2x+9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
18．（2025•宿城区校级一模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 2021
．
【考点】方程的解；代数式求值．
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【专题】整式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，把x＝3代入方程ax2﹣bx＝6，整理得3a﹣b＝2，再把2025﹣6a+2b变形为2025
﹣2（3a﹣b），把3a﹣b＝2代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵x＝3是方程ax2﹣bx＝6的解，
∴a×32﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
∴2025﹣6a+2b
＝2025﹣2（3a﹣b）
＝2025﹣2×2
＝2025﹣4
＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握方程的解的定义，利用整体代入法是解题的关键．
19．（2025•池州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发，以1cm/s的
速度沿BC方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿C﹣B﹣C方向运动到点
C停止，设点P的运动时间为ts．
4
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为 或 4 ；
3
（2）连接DQ，在点P和点Q不重合的情况下，连接AP．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积
2 8 16
是矩形ABCD的面积的 ，且0＜t≤2，则t的值为 或 ．
3 9 9
第16页（共22页）【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算；列代数式．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
4
【答案】（1） 或4；
3
8 16
（2） 或 ．
9 9
【分析】（1）由题意知BP＝tcm，CQ＝2tcm，当点P和点Q第一次相遇时，BP+CQ＝BC，列方程计
算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可；
2
（2）先求出以 A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是12× =8(cm2 )，再分两种情况讨论：当
3
4 4
0＜t＜ ，即点P，Q相遇前；当 ≤t≤2，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即
3 3
可．
【解答】解：（1）由题意知BP＝tcm，CQ＝2tcm，
①当点P和点Q第一次相遇时，BP+CQ＝BC，即得一元一次方程，t+2t＝4，
整理得，3t＝4，
4
解得t= ；
3
②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，
此时t＝4÷1＝4（s），
4
即当点P和点Q相遇时，t的值为 或4；
3
4
故答案为： 或4；
3
（2）如图，
第17页（共22页）矩形ABCD的面积为3×4＝12（cm2），
2
∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是12× =8(cm2 )，
3
4
当0＜t＜ ，即点P，Q相遇前，
3
PQ＝BC﹣BP﹣CQ＝4﹣t﹣2t＝（4﹣3t）cm，
1
则S = (4-3t+4)×3=8，
梯形APQD 2
8
解得t= ；
9
4
当 ≤t≤2，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，
3
PQ＝BP+CQ﹣BC＝t+2t﹣4＝（3t﹣4）cm，
1
则S = (3t-4+4)×3＝8，
梯形AQPD 2
16
解得t= ．
9
8 16 2
综上所述，当t= 或 时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形ABCD的面积的 ．
9 9 3
8 16
故答案为： 或 ．
9 9
【点评】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，关键是根据题意找到
关系式．
20．（2025•永寿县校级三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，
不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地
玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”问有多少牧童多少竹？若设
牧童有x人，则所列方程为 6 x +1 4 ＝ 8 x ﹣ 2 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】6x+14＝8x﹣2．
第18页（共22页）【分析】设设牧童有x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，
即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意可列方程为：6x+14＝8x﹣2，
故答案为：6x+14＝8x﹣2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•晋中二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、
杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．2024年吕梁和晋中为
谷子主要种植区，晋谷21号和长农35号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试
验田A，B各30亩，A试验田种植晋谷21号，B试验田种植长农35号，收获后统计发现，长农35号
亩产量是晋谷21号的1.2倍，两块试验田单次共收获谷子23100千克，求晋谷21号的亩产量是多少千
克？
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】晋谷21号的亩产量是350千克．
【分析】设晋谷21号的亩产量是x千克，则长农35号的亩产量是1.2x千克，结合题意，构建一元一
次方程30（x+1.2x）＝23100，解方程，即可求解．
【解答】解：设晋谷21号的亩产量是x千克．
根据题意，得：30（x+1.2x）＝23100，
解得x＝350．
答：晋谷21号的亩产量是350千克．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，理解题意、正确列出方程是解题关
键．
22．（2025•澄迈县一模）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，
已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天
共搬运货物460吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】工程问题；应用意识．
【答案】每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物100吨和80吨．
【分析】设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x﹣20）吨，那么3
第19页（共22页）台A型机器人每天共搬运货物3x吨，2台B型机器人每天共搬运货物2（x﹣20）吨，于是列方程得
3x+2（x﹣20）＝460，解方程求出x的值，再求出代数式x﹣20的值即可得到问题的答案．
【解答】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x﹣20）吨，
根据题意得3x+2（x﹣20）＝460，
解得x＝100，
∴x﹣20＝80，
答：每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物100吨和80吨．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数
式表示3台A型机器人每天搬运货物的总吨数及2台B型机器人每天搬运货物的总吨数是解题的关键．
23．（2025•剑河县校级模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
问题 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含
背景 茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生
产绿茶、红茶等成品茶．
素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶．
素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的1.5倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元．
素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425
元．
问题解决
任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶
各自采购多少千克．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少
元？
【考点】一元一次方程的应用．
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【答案】见试题解答内容
【分析】任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购1.5x千克，根据素材1，素材2，列出方
程，即可求解；
设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为（m+40）元，根据素材3列出不等式，即可求解．
【解答】解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购1.5x千克，根据题意得：
4800 5850
- =30，
x 1.5x
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
1.5x＝45，
第20页（共22页）答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克；
4800
任务2：由任务1得：每千克绿茶的进价为 =160（元），每千克红茶的进价为160﹣30＝130
30
（元），
设每千克绿茶的售价为m元，
45（m﹣160）+30（m+40﹣130）≥7425，
∴m≥231，
答：每千克绿茶的售价至少为231元．
【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键．
24．（2025•安徽模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳
四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子还余 4.5尺；
将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】木条长为6.5尺
【分析】设木条长为x尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，
木条剩余1尺，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设木条长为x尺，
1
∴x-1= (x+4.5)
2
∴x＝6.5；
答：木条长为6.5尺．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
25．（2025•长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使
用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某
天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．
甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 2 0 分钟，m＝ 380 0 ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 11 0 分钟．
第21页（共22页）【考点】一元一次方程的应用；一次函数的应用．
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意分别列式计算即可；
（2）根据待定系数法求出AB所在直线对应的函数表达式即可；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，根据该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，列出一元一
次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）从函数图象可知：A（40，2200），B（60，2700），从40分钟到60分钟，这段时
间只有乙机器人工作，
∴甲机器人停工保养的时间为：60﹣40＝20（分钟），
甲、乙两台机器人每分钟分拣快递的件数为：2200÷40＝55（件），
∴m＝2700+55×（80﹣60）＝3800（件），
故答案为：20，3800；
（2）设AB所在直线对应的函数表达式为：y＝kx+b，
代入A（60，2700），B（80，3800），
{60k+b=2700
得 ，
80k+b=3800
{ k=55
解得： ，
b=-600
∴y＝55x﹣600，
即AB所在直线对应的函数表达式为y＝55x﹣600；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，
由题意得：5450＝2700+55×（n﹣60），
解得：n＝110，
故答案为：110．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方
程和一次函数关系式是解题的关键．
第22页（共22页）
