文档内容
2026年菁优中考数学解密之一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025•广元）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花
2
卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的 ，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为
5
xm，则可列方程为（ ）
2
A．（12﹣x）（10﹣x）＝12×10×
5
2
B．（12﹣2x）（10﹣x）＝12×10×
5
2
C．（12﹣x）（10﹣2x）＝12×10×
5
2
D．（12﹣2x）（10﹣2x）＝12×10×
5
2．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
3．（2025•衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六
十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积 864平方步，宽比长少12步，
问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864
C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
4．（2025•鲁山县三模）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．（2025•盐城校级一模）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是
第1页（共21页）（ ）
1
A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1
2
6．（2025•东河区校级自主招生）已知 ， 是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的两根，且a＜b， ＜ ，实
数a，b， ， 的大小关系可能是（ α β） α β
A． ＜a＜αb＜β B．a＜ ＜ ＜b C．a＜ ＜b＜ D． ＜a＜ ＜b
7．（20α25•南雄市β校级模拟）近年α来β，由于新能源汽车的α崛起，β燃油汽车的α销量出β现了不同程度的下滑，
经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，
设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25
C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25
8．（2025秋•河西区校级月考）小区新增了一家快递店，第一天揽件 200件，第三天揽件242件，设该
快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
9．（2025•柳州二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范
围是（ ）
A．m≥﹣2 B．m＞﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
10．（2025•阳新县模拟）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由 2.25%降至1.98%，设平
均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
B．2.25%﹣2.25%×2x＝1.98%
C．2.25%x2＝1.98%
D．2.25%（1+x）2＝1.98%
二．填空题（共10小题）
第2页（共21页）11．（2025•青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为 ．
12．（2025•朝阳县校级一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是 ．
13．（2025•烟台模拟）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 ．
14．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x ，x ，则（x +1）（x +1）的值为 ．
1 2 1 2
15．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是 ．
16．（2025•宿迁）方程 x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是 m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣
2023n﹣2026）＝ ．
17．（2025•岳塘区校级二模）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．
已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是
．
18．（2025•邗江区三模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为
．
19．（2025•天元区校级一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围
是 ．
20．（2025•湖南模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b
a a
＞0）的图解法是：如图1，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，BC= ，AC＝b，在斜边上截取BD= ，
2 2
则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于 x的一元二次方程x2+ax＝16（a＞0）的图
S 3
解，如图2，若 △BCD = ，则a的值为 ．
S 2
△ACD
三．解答题（共5小题）
21．（2025•威海一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为 1200m2，共设计了如图所示的56个
停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，求停车位的宽．
第3页（共21页）22．（2025•鼓楼区校级一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元．为了扩大
销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可
多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
23．（2025•门头沟区二模）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格
售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价
销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售
一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为 个，第三周旅游纪念品销售
数量为 个；
（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
24．（2025•碑林区校级模拟）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为 30米，宽为19米，若
停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
25．（2025•青岛模拟）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
1 2
第4页（共21页）（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S
△ABC
a+b+c
=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p= ，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交
2
于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
第5页（共21页）2026年菁优中考数学解密之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A A A A A D A
一．选择题（共10小题）
1．（2025•广元）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花
2
卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的 ，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为
5
xm，则可列方程为（ ）
2
A．（12﹣x）（10﹣x）＝12×10×
5
2
B．（12﹣2x）（10﹣x）＝12×10×
5
2
C．（12﹣x）（10﹣2x）＝12×10×
5
2
D．（12﹣2x）（10﹣2x）＝12×10×
5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
2
【分析】设花卉带的宽度为xm，根据草坪的面积为总面积的 ，即可列出关于x都一元二次方程，此
5
题得解．
【解答】解：设花卉带的宽度为xm，
2
根据题意得：（12﹣2x）（10﹣2x）＝12×10× ．
5
第6页（共21页）故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
2．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×1＜0，
∴方程无实数根，不符合题意；
B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0，
∴方程无实数根，不符合题意；
D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，当Δ＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根是解题
的关键．
3．（2025•衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六
十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积 864平方步，宽比长少12步，
问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864
C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于
x的一元二次方程，此题得解．
第7页（共21页）【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
4．（2025•鲁山县三模）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
5．（2025•盐城校级一模）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是
（ ）
1
A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1
2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
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第8页（共21页）【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设这个数为x，根据对话建立关于x的方程，并进行求解即可．
【解答】解：设这个数为x，
则x2﹣x+1＝x，
x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0，
则x ＝x ＝1，
1 2
所以这个数为1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
6．（2025•东河区校级自主招生）已知 ， 是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的两根，且a＜b， ＜ ，实
数a，b， ， 的大小关系可能是（ α β） α β
A． ＜a＜αb＜β B．a＜ ＜ ＜b C．a＜ ＜b＜ D． ＜a＜ ＜b
【考α点】根与系β数的关系；一α元二β次方程的解． α β α β
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【答案】A
【分析】依题意画出函数y＝（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性即可解决
【解答】解：依题意，画出函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0
转化为（x﹣a）（x﹣b）＝2，
方程的两根是抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝2的两个交点．
由 ＜ ，可知对称轴左侧交点横坐标为 ，右侧为 ．
由抛α物β线开口向上，则在对称轴左侧，yα随x增大而β减少，则有 ＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增
大，则有b＜ ． α
综上所述，可β知 ＜a＜b＜ ．
α β
第9页（共21页）故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函
数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
7．（2025•南雄市校级模拟）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，
经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，
设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25
C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两
月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：25（1﹣x）2＝20.25．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
8．（2025秋•河西区校级月考）小区新增了一家快递店，第一天揽件 200件，第三天揽件242件，设该
快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平
均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决
问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
9．（2025•柳州二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范
第10页（共21页）围是（ ）
A．m≥﹣2 B．m＞﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可
得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣4）2﹣4m×（﹣2）＞0且m≠0，
即m＞﹣2且m≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
是解题的关键．
10．（2025•阳新县模拟）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由 2.25%降至1.98%，设平
均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
B．2.25%﹣2.25%×2x＝1.98%
C．2.25%x2＝1.98%
D．2.25%（1+x）2＝1.98%
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于 x的一元二次方程，
此题得解．
【解答】解：∵经过最近的两次降息，一年期存款年利率由2.25%降至1.98%，
∴2.25%（1﹣x）2＝1.98%．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为 3 ．
第11页（共21页）【考点】一元二次方程的解．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】将已知解代入一元二次方程x2﹣4x+c＝0中解得c的值即可．
【解答】解：若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
则12﹣4×1+c＝0，
解得：c＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
12．（2025•朝阳县校级一模）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是 m ＜ 4 且 m ≠2 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m＜4且m≠2．
{Δ=42-4(m-2)×2＞0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 ，即可求解．
m-2≠0
【解答】解：由题意可得：
{Δ=42-4(m-2)×2＞0
，
m-2≠0
解得：m＜4且m≠2，
故答案为：m＜4且m≠2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当b2﹣4ac＞0时，方
程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有
实数根．
13．（2025•烟台模拟）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 6 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将
其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根，
第12页（共21页）∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系
是解答本题的关键．
14．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x ，x ，则（x +1）（x +1）的值为 ﹣ 2 ．
1 2 1 2
【考点】根与系数的关系．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】依据题意，利用根与系数的关系得到x +x ，x x 的值，然后（x +1）（x +1）代入计算即可．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝2，x x ＝﹣5．∴（x +1）（x +1）＝x x +x +x +1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用关系式是关键．
15．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是 方程有两个不相等的实数
根 ．
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】方程有两个不相等的实数根．
【分析】把a＝2，b＝1，c＝﹣1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的
情况．
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0，
∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出根的判别式是解题关键．
16．（2025•宿迁）方程 x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是 m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣
2023n﹣2026）＝ ﹣ 404 8 ．
【考点】根与系数的关系．
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第13页（共21页）【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】﹣4048．
b c
【分析】如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x ，x ，则x +x =- ，x x = .根据根与系数的
1 2 1 2 a 1 2 a
关系和方程的解得到m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，代入，
并再将原式化简为 mn﹣（m+n）+1，即可求解．
【解答】解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，
∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，
∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025，
∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）
＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026）
＝（m﹣1）（n﹣1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝﹣2025﹣2024+1
＝﹣4048，
故答案为：﹣4048．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是
解题的关键．
17．（2025•岳塘区校级二模）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．
已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是
20% ．
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】20%．
【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得方程25（1+x）2＝36，然后进行求解
即可．
【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得：
25（1+x）2＝36，
整理得，25x2+50x﹣11＝0，
解得：x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去）；
1 2
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
第14页（共21页）答：该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
故答案为：20%．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．
18．（2025•邗江区三模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为
﹣ 1 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
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【专题】整式；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a ＝1，a ＝﹣1，
1 2
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
19．（2025•天元区校级一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围
是 m ≤5 且 m ≠1 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先确定一元二次方程的系数，再计算根的判别式，最后解不等式得结论．
【解答】解：这里a＝m﹣1，b＝4，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4m+4＝20﹣4m．
∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，
{20-4m≥0
∴ ．
m-1≠0
解得m≤5且m≠1．
故答案为：m≤5且m≠1．
【点评】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的求法、不等式的解法等知识点
是解决本题的关键．
20．（2025•湖南模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b
第15页（共21页）a a
＞0）的图解法是：如图1，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，BC= ，AC＝b，在斜边上截取BD= ，
2 2
则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于 x的一元二次方程x2+ax＝16（a＞0）的图
S 3
解，如图2，若 △BCD = ，则a的值为 6 ．
S 2
△ACD
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】6．
【分析】设BD＝3m，AD＝2m，则BC＝3m，AB＝5m，由勾股定理得AC＝4m，然后根据AC＝b求出
a
m，再根据BC= 即可求出a．
2
S 3
【解答】解：∵ △BCD = ，
S 2
△ACD
BD 3
∴ = ，
AD 2
设BD＝3m，AD＝2m，则BC＝3m，AB＝5m，
∴AC＝4m，
∵x2+ax＝16＝42，
∴4m＝4，
∴m＝1，
∴BC＝3，
a
∵BC= =3，
2
∴a＝6．
故答案为：6．
第16页（共21页）【点评】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•威海一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为 1200m2，共设计了如图所示的56个
停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，求停车位的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】停车位的宽为2.5m．
【分析】设停车位的宽为xm，则停车位的长为（x+3）m，通车道宽为2xm，停车场的长为15xm，宽
为[4（x+3）+2×2x]m，根据停车场的面积为1200m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题
意的值，即可得出结论．
【解答】解：设停车位的宽为 xm，则停车位的长为（x+3）m，通车道宽为 2xm，停车场的长为
15xm，宽为[4（x+3）+2×2x]m，
根据题意得：15x•[4（x+3）+2×2x]＝1200，
整理得：2x2+3x﹣20＝0，
解得：x ＝2.5，x ＝﹣4（不符合题意，舍去）．
1 2
答：停车位的宽为2.5m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2025•鼓楼区校级一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元．为了扩大
销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可
多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
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第17页（共21页）【答案】见试题解答内容
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关
系列出方程即可．
【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x ＝x ＝15，
1 2
答：衬衫的单价降了15元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出
方程．
23．（2025•门头沟区二模）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格
售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价
销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售
一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．
（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为 200+5 0 x 个，第三周旅游纪念品销售数量
为 200﹣5 0 x 个；
（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）200+50x，200﹣50x；
（2）9元．
【分析】（1）由第二周单价降低x元销售一周，可得出第二周的销售数量为（200+50x）个，用总量
减去第一周和第二周的销售量即可得到第三周的销售量；
（2）由第二周单价降低x元销售一周，可得第二周的每个售价为（10﹣x），然后根据“总利润＝总
售价﹣进货总价”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10﹣x）即可求出
第二周每个旅游纪念品的销售价格．
【解答】解：（1）单价降低x元，由题意可得第二周的销售数量为（200+50x）个；
则第三周的销售量为：600﹣200﹣（200+50x）＝200﹣50x个．
故答案为：200+50x，200﹣50x；
（2）由题意可得：200×10+（200+50x）（10﹣x）+4（200﹣50x）﹣600×6＝1250，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
解得：x＝1，
第18页（共21页）所以第二周每个旅游纪念品的销售价格为10﹣x＝10﹣1＝9元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、代数式表示量等知识点，找准等量关系、正确列出一元二
次方程是解题的关键．
24．（2025•碑林区校级模拟）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为 30米，宽为19米，若
停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】4米．
【分析】设车道宽度为x米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合
题意的值即可．
【解答】解：设车道宽度为x米，
根据题意得：（30﹣x）（19﹣x）＝390，
整理得：x2﹣49x+180＝0，
解得：x ＝4，x ＝45（不符合题意，舍去），
1 2
答：车道的宽为4米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2025•青岛模拟）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
1 2
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S
△ABC
a+b+c
=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p= ，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交
2
于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
第19页（共21页）【考点】根的判别式；角平分线的性质；等腰三角形的性质；一元一次方程的解；一元二次方程的定
义．
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【专题】一元二次方程及应用；线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运
算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据Δ≥0，构建不等式求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用Δ＝0，构建方程求解m值，即可得一元
二次方程，解方程可求解x ，x ，进而可求解△ABC的周长；
1 2
（3）由海伦公式可求解△ABC的面积，过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
利用角平分线的性质可得IF＝ID＝IE，结合△ABC的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式
计算可求解．
【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x ，x 恰好是等腰△ABC的腰长，
1 2
∴x ＝x ，
1 2
∵x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
1 2
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x ＝x ＝3，
1 2
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
3+3+4
∴p= =5，
2
∴S =√p(p-a)(p-b)(p-c)=√5×(5-3)×(5-3)×(5-4)=2√5，
△ABC
第20页（共21页）过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴S
△ABC
1 1 1 1 1
= AB⋅IF+ BC⋅ID+ AC⋅IE= ID⋅(AB+BC+AC)= ID×(3+3+4)=5ID=2√5，
2 2 2 2 2
2√5
解得ID= ，
5
1 1 2√5 4√5
∴S = BC⋅ID= ×4× = ．
△BIC 2 2 5 5
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的
性质，掌握根的判别式是解题的关键．
第21页（共21页）
