文档内容
2026年菁优中考数学解密之一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
2．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度
v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
v（m/s）
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（
）
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
3．（2025•晋中二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于
150℃且小于220℃时，烘焙时间y（min）是烘焙温度x（℃）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度 … 160 170 180 190 200 …
x（℃）
烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 …
y（min）
则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝0.25x+30 B．y＝﹣0.25x+40
C．y＝﹣0.25x+70 D．y＝﹣2.5x+430
4．（2025•阳泉模拟）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮
水机水箱内的剩余水量Q（L）与出水时间t（min）之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次
试验得到部分数据，统计如下，则Q与t之间的函数关系式为（ ）
出水时间t ．．． 5 10 15 20 ．．．
（min）
剩余水量Q ．．． 80 60 40 20 ．．．
（L）
A．Q＝﹣4t B．Q＝4t﹣100 C．Q＝100﹣4t D．Q＝80﹣5t
第1页（共35页）5．（2025•旌阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），
当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
6．（2025•扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A
和C，已知点A的坐标为 （1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025•五莲县三模）已知点P（﹣1，y ）、Q（3，y ）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且
1 2
y ＞y ，则m的取值范围是（ ）
2 1
1 1
A．m≥1 B．m＜1 C．m＞ D．m＜
2 2
8．（2025•朝阳县二模）已知点A（﹣2，y ），B（1，y ），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，
1 2
则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
9．（2025•河南校级三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不
8
同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时间，
5
甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙
骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发
50 分钟时追上乙；③ A、B 两地相距 74400 米；④乙比甲晚 12 分钟到达 B 地．其中正确的是
（ ）
第2页（共35页）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
10．（2025•瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A
（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（
）
A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0
C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0
二．填空题（共10小题）
11．（2025•商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行 3000米，先到终点的人原地休息．已
知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则
先到终点的人原地休息了 分钟．
12．（2025•天宁区校级模拟）如图，已知直线y=-√3x+3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．
M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为 ．
第3页（共35页）13．（2025•澄迈县校级模拟）如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为
15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质
量x（kg）之间的函数关系式为 ．
14．（2025•阳新县模拟）直线y＝k x+3与直线y＝k x﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y
1 2
轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 ．
15．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对
2
于x的每一个值，函数y= x+n的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 ．
3
16．（2025•新吴区一模）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点
P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线
照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝
kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 ．
第4页（共35页）17．（2025•莱西市校级模拟）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车
从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，
上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物
资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用
时间t（h）的函数关系如图2所示．则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为
h．
18．（2025•济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶
时间 t（小时）之间的关系用如图的线段 AB 表示，那么一箱汽油可供汽车行驶
小时．
19．（2025•山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B
作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当
第5页（共35页）点M与点N关于y轴对称时，OB＝ ．
20．（2025•深圳模拟）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，
两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l 和l 分别表示两人到小亮家的距离s
1 2
（km）和时间t（h）的关系，则出发 h后两人相距2km．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同
的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓
慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯
底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸
在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力 ＝G重力 ；当小铝块浸入液面后，F拉力 ＝G重力 ﹣F浮力 ．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计 A，B各自的示数F拉力 （N）与小铝
块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
第6页（共35页）（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力 关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液
体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的
值．
22．（2025•通州区一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间
的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y 克、y 克，其中y ，y
1 2 1 2
与x的几组对应值如表：
x 0 5 10 15 20 24
y 25 23.5 20 14.5 7 0
1
y 25 20 15 10 5 1
2
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画y 与x，y 与x之间的关系，且y 与x之间满足某种特殊的
1 2 2
变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y 与x之间的函数表达式是 ；
2
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为 克（结果保
留小数点后一位）；
②随着实验的进行，当y ＝y 时，实验时间约为 分钟（结果保留小数点后一位）．
1 2
第7页（共35页）23．（2025•浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆
柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数
为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为 8N．整个过程中，弹簧测力计读数 F
（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示．
（1）分析题意，图2中的a＝ ，b＝ ；
（2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式；
（3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度．
24．（2025•佳木斯一模）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．
某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进
价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元．
甲 乙
进价/（元/双） m m﹣20
售价/（元/双） 240 160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖
店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠 a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格
第8页（共35页）不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？
25．（2025•肇庆一模）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主
题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个
20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一
种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y 元，选择方案二的总
1
费用为y 元．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
第9页（共35页）2026年菁优中考数学解密之一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B C C B B C
一．选择题（共10小题）
1．（2025•徐州）如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．x＜2 D．x＞2
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0，
所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1，
所以关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1，
所以解集为x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y＝
ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x
轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2025•苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度
v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
温度t（℃） ﹣10 0 10 30
声音传播的速度 324 330 336 348
v（m/s）
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（
第10页（共35页））
A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式，当t＝15时，求出对应v的值即可．
【解答】解：将t＝0，v＝330和t＝10，v＝33（6分）别代入v＝at+b，
{ b=330
得 ，
10a+b=336
{a=0.6
解得 ，
b=330
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，
当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
3．（2025•晋中二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于
150℃且小于220℃时，烘焙时间y（min）是烘焙温度x（℃）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度 … 160 170 180 190 200 …
x（℃）
烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 …
y（min）
则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝0.25x+30 B．y＝﹣0.25x+40
C．y＝﹣0.25x+70 D．y＝﹣2.5x+430
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法解答即可．
【解答】解：设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝180，y＝25和x＝200，y＝20分别代入y＝kx+b，
{180k+b=25
得 ，
200k+b=20
第11页（共35页）{k=-0.25
解得 ，
b=70
∴y与x之间的关系式为y＝﹣0.25x+70．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
4．（2025•阳泉模拟）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮
水机水箱内的剩余水量Q（L）与出水时间t（min）之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次
试验得到部分数据，统计如下，则Q与t之间的函数关系式为（ ）
出水时间t ．．． 5 10 15 20 ．．．
（min）
剩余水量Q ．．． 80 60 40 20 ．．．
（L）
A．Q＝﹣4t B．Q＝4t﹣100 C．Q＝100﹣4t D．Q＝80﹣5t
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据表格的数据可知，出水时间每增加5min，剩余水量就减少20L，据此先求出水箱内原有
水量，再求出函数关系式，即可得出答案．
【解答】解：出水时间每增加5min，剩余水量就减少20L，
则原有水量为80+20＝100（L），
20
∴Q=100- t=100-4t．
5
故选：C．
【点评】本题考查了函数的解析式，找到函数变化的规律是解题的关键．
5．（2025•旌阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），
当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，得出一次函数y＝kx+2过定点（0，2），再根据点A坐标得出m与k的关系，由
x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立求出k的取值范围，进一步得出m的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第12页（共35页）一次函数y＝kx+2过定点（0，2）．
如图所示，
因为当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，
所以k≤2且3k+2＞5，
解得1＜k≤2，
2
所以-2＜- ≤-1．
k
因为一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），
所以mk+2＝0，
2
则m=- ，
k
所以﹣2＜m≤﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，能根据题意得出关于 k的不等式及m和k之间
的关系是解题的关键．
6．（2025•扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过正方形OABC的顶点A
和C，已知点A的坐标为 （1，﹣2），则k的值为（ ）
第13页（共35页）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，易证△AGO≌△OHC（AAS），根据全
等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
则有∠CHO＝∠OGA＝90°，
∴∠HCO+∠HOC＝90°，
∵ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠COA＝90°，
∴∠COH+∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝∠HCO，
∴△AGO≌△OHC（AAS），
∴HC＝OG，HO＝GA，
∵A（1，﹣2），
∴GA＝1，OG＝2，
∴C（2，1），
将A，C点坐标代入y＝kx+b，
{k+b=-2
得 ，
2k+b=1
解得k＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，
构造全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．
7．（2025•五莲县三模）已知点P（﹣1，y ）、Q（3，y ）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且
1 2
y ＞y ，则m的取值范围是（ ）
2 1
第14页（共35页）1 1
A．m≥1 B．m＜1 C．m＞ D．m＜
2 2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解答】解：∵点P（﹣1，y ）、点Q（3，y ）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，
1 2
∴当3＞﹣1时，由题意可知y ＞y ，
2 1
∴y随x的增大而增大，
1
∴2m﹣1＞0，解得m＞ ，
2
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（2025•朝阳县二模）已知点A（﹣2，y ），B（1，y ），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，
1 2
则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先由已知求得直线解析式，再根据正比例函数的性质可得y ，y 的大小关系．
1 2
【解答】解：∵点A（﹣2，y ），B（1，y ），C（3，﹣4）都在经过原点的同一条直线上，
1 2
∴设直线解析式为y＝kx（k≠0），
将C（3，﹣4）代入y＝kx得﹣4＝3k，
4
解得k=- ，
3
4
∴直线解析式为y=- x，
3
4
∵k=- ＜0，
3
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y ＞y ．
1 2
故选：B．
第15页（共35页）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数
的解析式是解题的关键．
9．（2025•河南校级三模）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不
8
同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时间，
5
甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙
骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发
50 分钟时追上乙；③ A、B 两地相距 74400 米；④乙比甲晚 12 分钟到达 B 地．其中正确的是
（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】依据题意，由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25
分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②；求出甲的总路程
判断③；求出甲到达B地时，乙离B地的距离，判断④．
【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，乙的速度为：1500÷5＝300（米/分）；故①正确；
又设甲出发时的速度为x米/分．
∴25×300﹣（25﹣5）x＝2500，
∴x＝250，
∴甲出发时速度为250米/分，
8
又∵25分钟后甲的速度为：250× =400（米/分），
5
∴25分钟后甲追上乙所需时间为：2500÷（400﹣300）＝25（分），
∴25+25＝50（分）．
第16页（共35页）∴当乙出发50分钟时，甲追上乙，故②错误；
由题意得，两地A、B相距＝250×（25﹣5）+（86﹣25）×400＝29400（米），
故③错误；
∵86分钟乙的路程为：86×300＝25800（米），
29400-25800
∴ =12（分钟）．
300
∴乙比甲晚12分钟到达B地，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
10．（2025•瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A
（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（
）
A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0
C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D．
【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n＝3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y＝kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
第17页（共35页）∴k＞0，故C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关
键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•商河县一模）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行 3000米，先到终点的人原地休息．已
知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则
先到终点的人原地休息了 4. 5 分钟．
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解．
【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分，
设乙的速度为x米/分，
由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3），
第18页（共35页）解得x＝100，
∴乙的速度为100米/分，
∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟，
乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟，
∵甲先出发3分钟，
∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键．
12．（2025•天宁区校级模拟）如图，已知直线y=-√3x+3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．
M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为 3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；垂线段最短；全等三角形的判定与性质．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设直线y=-√3x+3与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN
于H点．根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明△AOD为等边三角形．再结合旋转的性
质和等边三角形的性质，并利用SAS证明△MOD≌△NOA，得出∠OAN＝∠ODE＝120°．由A为定点，
∠OAN＝120°为定值，即说明当M在直线y=-√3x+3上运动时，点N也在定直线AN上运动，即得
出当点N与点H重合时，BN最短．结合轴对称的性质可求出AB=2√3，进而可利用锐角三角函数求
出BH＝AB•sin60°＝3，即BN的最小值为3．
【解答】解：设直线y=-√3x+3与y轴的交点为 E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作
BH⊥AN于H点，如图所示：
第19页（共35页）对于y=-√3x+3，令x＝0，则y＝3，
∴E（0，3），
令y＝0，则x=√3，
∴A(√3，0)，
∴OA=√3，OE＝3，
∵∠AOE＝90°，
∴AE=√OA2+OE2=2√3，
∵AE的中点为D，
1
∴DO=DA=DE= AE=√3，
2
∴DO=DA=OA=√3，
∴△DAO为等边三角形，
∴∠AOD＝∠ODA＝60°，
∴∠ODE＝120°，
由旋转的性质可知OM＝ON，∠MON＝60°＝∠DOA，
∴∠MON﹣∠DON＝∠DOA﹣∠DON，即∠MOD＝∠NOA，
∴△MOD≌△NOA（SAS），
∴∠OAN＝∠ODE＝120°，
∵A为定点，∠OAN＝120°为定值，
∴当M在直线y=-√3x+3上运动时，点N也在定直线AN上运动，
∴当点N与点H重合时，BN最短，
∵点B与点A关于y轴对称，
∴B(-√3，0)，
∴AB=2√3，
∵∠BAH＝180°﹣∠OAN＝60°，
第20页（共35页）∴BH＝AB•sin60°＝3，即BN的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、
勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点 N在定直线上，通过垂线段最
短的性质求BN的最小值．
13．（2025•澄迈县校级模拟）如图，一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为
15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质
量x（kg）之间的函数关系式为 y ＝ 15+0.5 x （ 0≤ x ≤10 ） ．
【考点】根据实际问题列一次函数关系式．
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】y＝15+0.5x（0≤x≤10）．
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm列出分式关系式即可．
【解答】解：∵不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，
∴y＝15+0.5x（0≤x≤10），
故答案为：y＝15+0.5x（0≤x≤10）．
【点评】本题考查了列函数关系式，根据题意列出函数关系式，即可求解．
14．（2025•阳新县模拟）直线y＝k x+3与直线y＝k x﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y
1 2
轴的交点为分别为A、B，以AB为边向左作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 4 9 ．
【考点】两条直线相交或平行问题；正方形的性质．
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第21页（共35页）【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】针对于y＝k x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），同理点B（0，﹣4），故AB＝7，即
1
可求解．
【解答】解：y＝k x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3）
1
同理点B（0，﹣4），故AB＝7，
则正方形ABCD的面积7×7＝49，
故答案为49．
【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查函数与系数的关系，求出点 A、B的坐标
即可求解．
15．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对
2
于x的每一个值，函数y= x+n的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 n ≥2 ．
3
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】n≥2．
【分析】先利用待定系数法求得函数y＝x+b的解析式，然后计算x＝3时，y＝4，再把点（3，4）代
2
入函数y= x+n中得到n＝2，则利用一次函数的性质可判断当n≥2时满足条件．
3
【解答】解：∵函数y＝x+b的图象经过点（1，2），
∴2＝1+b，解得b＝1，
∴y＝x+1，
当x＝3时，y＝x+1＝4，
2 2
把（3，4）代入函数y= x+n得，4= ×3+n，解得n＝2，
3 3
2
∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数y= x+n的值大于函数y＝x+1的值，
3
∴n≥2．
故答案为：n≥2．
第22页（共35页）【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性
质是解题的关键．
16．（2025•新吴区一模）如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点
P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线
照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝
18 18
kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 ≤b≤ ．
7 5
【考点】一次函数的应用；正方形的性质；轴对称的性质．
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【专题】一次函数及其应用；推理能力．
18 18
【答案】 ≤b≤ ．
7 5
【分析】取点E关于y轴的对称点E'，根据点E的坐标得到E'的坐标，根据光的反射定律，反射光线
所在的直线经过点E'；设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且 a≠0），将E'的坐标
代入y＝ax+b，将a用含b的代数式表示出来；再分别将点P、Q的坐标代入得到对应b的值，从而得
第23页（共35页）到b的取值范围，进而求得b的整数值．
【解答】解：如图，取点E关于y轴的对称点E'，
∵点E（﹣3，0）为OB的中点，
∴BE＝OE＝3，
∵四边形ABOD是正方形，
∴OB＝OD＝AD＝6，
∵点P、点Q为AD的三等分点，
∴P（﹣4，6），Q（﹣2，6），
∵点E（﹣3，0）关于y轴的对称点E'，
∴E'（3，0），根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'，
设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且a≠0），
将E'（3，0）代入y＝ax+b，
得3a+b＝0，
b
∴a=- ，
3
b
∴y=- x+b，
3
b
当反射光线经过P（﹣4，6）时，得- ×(-4)+b=6，
3
18
解得b= ，
7
b 18
当反射光线经过Q （﹣2，6）时，得- ×(-2)+b=6，解得b= ，
3 5
18 18
∴ ≤b≤ ，
7 5
18 18
故答案为： ≤b≤ ．
7 5
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数是解题的关键．
17．（2025•莱西市校级模拟）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车
第24页（共35页）从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，
上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物
资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用
1
时间t（h）的函数关系如图2所示．则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 h．
3
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
1
【答案】 ．
3
【分析】根据速度＝路程÷时间求出大巴的速度，再根据时间＝路程÷速度求出a的值，由速度＝路程÷
时间求出军车的速度，再根据a的值和时间＝路程÷速度求出部队官兵在仓库领取物资所用的时间即可．
【解答】解：大巴的速度为（60﹣20）÷1＝40（km/h），
则大巴天到达基地所用的时间为（100﹣20）÷40＝2（h），
∴a＝2，
军车的速度为60÷1＝60（km/h），
1
则部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2﹣100÷60= （h）．
3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
18．（2025•济阳区模拟）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶
10
时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．
3
第25页（共35页）【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法求出y与t的函数关系式，将y＝0代入该函数关系式，求出对应x的值即可．
【解答】解：y与t的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（0，25）和（2，10）分别代入y＝kx+b，
{ b=25
得 ，
2k+b=10
{ 15
k=-
解得 2 ，
b=25
15
∴y与t的函数关系式为y=- x+25，
2
15
当y＝0时，得- x+25＝0，
2
10
解得x= ，
3
10
∴一箱汽油可供汽车行驶 小时．
3
10
故答案为： ．
3
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
19．（2025•山东一模）如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B
作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当
8
点M与点N关于y轴对称时，OB＝ ．
3
第26页（共35页）【考点】两条直线相交或平行问题；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），利用点M与点N关于y轴对称，建立方程2m＝
﹣m+4，求出m值，即可得到OB值．
【解答】解：设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4），
∵点M与点N关于y轴对称，
∴2m＝﹣m+4，
4
解得：m= ，
3
8
∴B（0， ）．
3
8
∴OB= ．
3
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、关于xy轴对称点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2025•深圳模拟）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，
两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l 和l 分别表示两人到小亮家的距离s
1 2
（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.1 5 h后两人相距2km．
第27页（共35页）【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用．
【答案】0.15．
【分析】根据题意和函数图象中的数据计算出小明和小亮的速度，明确两人出发 xh后两人相距2km为
等量关系列出方程．
【解答】解：由题意和图象可得：
小明0.5h行驶了6﹣3.5＝2.5（km），
∴小明的速度为：2.5÷0.5＝5（km/h），
小亮0.4h小时行驶了6km，
∴小明的速度为：6÷0.4＝15（km/h），
设两人出发xh后两人相距2km，
∴15x﹣5x＝3.5﹣2，
解得：x＝0.15，
答：两人出发0.15h后两人相距2km，
故答案为：0.15．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同
的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓
慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯
底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸
在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力 ＝G重力 ；当小铝块浸入液面后，F拉力 ＝G重力 ﹣F浮力 ．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计 A，B各自的示数F拉力 （N）与小铝
块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力 关于x的函数解析式．
第28页（共35页）（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液
体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的
值．
【考点】一次函数的应用．
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【答案】（1）2.8N，2.5N；
（2）F拉力 ＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）；
（3）0.6，1.6．
【分析】（1）观察图象即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）当x＝8时，求出弹簧测力计A的示数F拉力 ，根据F拉力 ＝G重力 ﹣F浮力 求出m的值；利用待定系
数法求出当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力 关于x的函数解析式，求出对应x的值并再减去
6cm，即n的值．
【解答】解：（1）当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为
2.5N．
（2）当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力 关于x的函数解析式为F拉力 ＝kx+b（k、b为常数，且
k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力 ＝kx+b，
{ 6k+b=4
得 ，
10k+b=2.8
{k=-0.3
解得 ，
b=5.8
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力 关于x的函数解析式为F拉力 ＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，
当x＝8时，F拉力 ＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
第29页（共35页）4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力 关于x的函数解析式为F拉力 ＝k
1
x+b
1
（k
1
、b
1
为常数，且
k ≠0），
1
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力 ＝k
1
x+b
1
，
{ 6k +b =4
1 1
得 ，
10k +b =2.5
1 1
{k =-0.375
1
解得 ，
b =6.25
1
∴当 6≤x≤10 时，设弹簧测力计 B 的示数 F 拉力 关于 x 的函数解析式为 F 拉力 ＝﹣0.375x+6.25
（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
22．（2025•通州区一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间
的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y 克、y 克，其中y ，y
1 2 1 2
与x的几组对应值如表：
x 0 5 10 15 20 24
y 25 23.5 20 14.5 7 0
1
y 25 20 15 10 5 1
2
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画y 与x，y 与x之间的关系，且y 与x之间满足某种特殊的
1 2 2
变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出y 与x之间的函数表达式是 y ＝﹣ x +2 5 ；
2 2
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为 4. 5 克（结果保留小
数点后一位）；
②随着实验的进行，当y ＝y 时，实验时间约为 22. 5 分钟（结果保留小数点后一位）．
1 2
第30页（共35页）【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①见解答；②y ＝﹣x+25；
2
（2）①4.5；②22.5．
【分析】（1）①描点并连线即可；
②利用待定系数法解答即可；
（2）①根据图象，计算当x＝7.5时对应两函数值之差即可；
②根据图象，当y ＝y 时对应x的值即为所求．
1 2
【解答】解：（1）①描点并连线如图所示：
②∵y 与x之间的函数图象是一条直线，
2
∴y 与x之间是一次函数的关系，
2
设y 与x之间的函数表达式是y ＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
2 2
将坐标（0，25）和（5，20）分别代入y ＝kx+b，
2
{ b=25
得 ，
5k+b=20
{k=-1
解得 ，
b=25
第31页（共35页）∴y 与x之间的函数表达式是y ＝﹣x+25．
2 2
（2）①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为4.5克．
故答案为：4.5．
②随着实验的进行，当y ＝y 时，实验时间约为22.5分钟．
1 2
故答案为：22.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
23．（2025•浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆
柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数
为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为 8N．整个过程中，弹簧测力计读数 F
（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示．
（1）分析题意，图2中的a＝ 1 4 ，b＝ 8 ；
（2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式；
（3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度．
【考点】一次函数的应用．
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【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）14，8；
（2）F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【分析】（1）根据已知直接可得a＝14，b＝8；
（2）用待定系数法可得F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）令F＝10.4求得h＝8，即可得圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【解答】解：（1）根据已知可得，a＝14，b＝8；
故答案为：14，8；
（2）设AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式为F＝kh+b，
第32页（共35页）{5k+b=14
∴ ，
10k+b=8
{k=-1.2
解得 ，
b=20
∴F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）；
（3）在F＝﹣1.2h+20中，令F＝10.4时，10.4＝﹣1.2h+20，
解得h＝8，
∵8﹣5＝3（cm），
∴圆柱体浸入水中的高度为3cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．（2025•佳木斯一模）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．
某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进
价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元．
甲 乙
进价/（元/双） m m﹣20
售价/（元/双） 240 160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖
店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠 a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格
不变，该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）100；
（2）11种；
（3）当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所
有方案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润．
【分析】（1）根据题意列关于m的一元一次方程并求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意列关于x的一元一次不等式
组并求其解集，x的整数的数量就是进货方案的数量；
（3）设获得的利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据a的取值范围和一次函数的增减性确
定当x取何值时W的值最大，并求出此时200﹣x的值即可．
第33页（共35页）【解答】解：（1）根据题意，得60m+50（m﹣20）＝10000，
解得m＝100，
∴m的值为100．
（2）乙种运动鞋每双进价为100﹣20＝80（元），
设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200﹣x）双，
{(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700
根据题意，得 ，
(240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300
解得95≤x≤105，
∵x为非负整数，
∴该专卖店有11种进货方案．
（3）设获得的利润为 W 元，则 W＝（240﹣100﹣a）x+（160﹣80）（200﹣x）＝（60﹣a）
x+16000，
当50＜a＜60时，60﹣a＞0，
∴W随x的增大而增大，
∵95≤x≤105，
∴当x＝105时W值最大，
200﹣105＝95（双）；
当a＝60时，W＝16000；
当60＜a＜70时，60﹣a＜0，
∴W随a的减小而增大，
∵95≤x≤105，
∴当x＝95时W值最大，
200﹣95＝105（双）；
∴当50＜a＜60时，购进甲种运动鞋105双、乙种运动鞋95双可获得最大利润；当a＝60时，所有方
案获利都相等；当60＜a＜70时，购进甲种运动鞋95双、乙种运动鞋105双可获得最大利润．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次方程和一元一次不等式
组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
25．（2025•肇庆一模）为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主
题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个
20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一
种）．
第34页（共35页）方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y 元，选择方案二的总
1
费用为y 元．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
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【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y ＝2x+4500，y y ＝8x+3600；
1 2 2
（2）当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A
种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选
择方案一支付的费用较少．
【分析】（1）根据总费用＝A，B两种奖品费用之和列出y 、y 关于x的函数解析式；
1 2
（2）根据（1）中解析式分三种情况讨论即可．
x
【解答】解：（1）根据题意，得y =20x+15(300-x- )=2x+4500，
1 5
y ＝20x+15×80%×（300﹣x）＝8x+3600．
2
（2）由y ＞y ，得2x+4500＞8x+3600．
1 2
解得x＜150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y ＝y ，得2x+4500＝8x+3600．
1 2
解得x＝150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y ＜y ，得2x+4500＜8x+3600．
1 2
解得x＞150．
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A
种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选
择方案一支付的费用较少．
【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所
求问题需要的条件，列出函数解析式．
第35页（共35页）
