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专题 24.2 垂直于弦的直径
1. 掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题目对其熟练的进行选择
教学目标
应用。
1. 重点
（1）垂径定理的内容；
（2）垂径定理的推论；
教学重难点 2. 难点
（1）垂径定理的内容和垂径定理的推论的综合应用；
（2）垂径定理中半径、半弦长及弦心距构成的勾股定理的使用；
（3）垂径定理的实际应用知识点01 垂径定理
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的 ， 弦，平分弦所对的 和 。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：
CE DE，弧BC 弧BD，弧AC 弧AD。
注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们
与直径构成勾股定理。即： （ ）
【即学即练1】
1．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
⊙
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
【即学即练2】
2．如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则 O的半
径为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
5
A．5 B．❑√5 C．3 D．
2
【即学即练3】
3．如图，在 O中，圆心O到AB的距离为5cm， O的半径为13cm，则弦AB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
【即学即练4】
4．如图， O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙A．1 B．2 C．3 D．4
知识点02 垂径定理的推论
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的 。
推论2：弦的垂直平分线经过 ，并且 弦所对的 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的 。
【即学即练1】
5．如图，AB是 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
⊙
A．^AC=^AD B．^BC=^BD C．OE＝BE D．CE＝DE
题型01 利用垂径定理求半径
【典例1】已知：如图， O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则 O的半径
为（ ）
⊙ ⊙
A．4cm B．5cm C．4❑√2cm D．2❑√3cm
【变式 1】如图，AB是 O的一条弦，直径 CD⊥AB于点 E．若 AB＝12，DE＝4，则 O的直径为
（ ）
⊙ ⊙13
A．5 B．6 C． D．13
2
【变式 2】如图，AC是 O的直径，弦 BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD＝8cm，AE＝2cm，则
△OBC的面积是（ ）
⊙
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．5cm2
【变式3】9．如图，已知点A，C，D在 O上，点B在 O内，∠B和∠C均为直角，AB＝2，BC＝6，
CD＝4，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．5 B．3❑√2 C．2❑√5 D．❑√21
题型02 利用垂径定理求弦
【典例1】如图， O的直径AB＝12，CD是 O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP＝2，则CD的长为（
）
⊙ ⊙
A．2❑√5 B．4❑√2 C．4❑√5 D．8❑√2
【变式1】如图，在 O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE＝3，则弦AB的长为（ ）
⊙A．4 B．6 C．8 D．10
【变式2】如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB于点D，已知 O的半径为5，CD＝1，则AB的长为（
）
⊙ ⊙
A．3 B．6 C．8 D．10
【变式3】如图，已知AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足为E，若AB＝26，CD＝24，则
CE
的值为（ ） ⊙ ⊙
CO
7 7 13 12
A． B． C． D．
13 12 12 13
题型03 利用垂径定理求弦心距
【典例1】如图，在半径为2❑√2的 O中，弦AB的长为4，则圆心O到AB的距离OE为（ ）
⊙
A．4❑√2 B．4 C．2 D．2❑√2
【变式1】如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝4，OD＝3，则BD的
长为（ ）
⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【变式2】如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若 O的半径为13，CD＝24，则AE的长
为（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝16，OD＝10，则AE
的长为（ ）
⊙ ⊙
A．12 B．16 C．18 D．20
题型04 垂径定理的应用
【典例1】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中
弦AB的长为（ ）cm．
A．4❑√2 B．6 C．8 D．8.4
【变式1】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具﹣﹣筒车，
如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方， O被水面截得
的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则 O的半径长为（ ）
⊙
⊙
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【变式2】往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽 AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【变式3】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件
圆弧上任取两点 A，B，连接AB，作AB的垂直平分线 CD交AB于点D，交^AB于点C，测出AB＝
80cm，CD＝20cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．20❑√3cm B．45cm C．50cm D．20❑√5cm
1．已知 O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（ ）
A．一定等于10 B．可能大于10
⊙C．不可能大于10 D．不可能等于8
2．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（ ）
⊙
A．3 B．6 C．8 D．9
3．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆
相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（ ）
⊙
A．3❑√3 B．3 C．2❑√3 D．4
5．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC
＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm， O的半径r＝10cm，则圆盘
离桌面CD最近的距离是（ ）
⊙
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
6．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下
方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 A、B、C、D四点，然后利用
刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
7．已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形
ABCD的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
8．如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交 O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则
AE的长为（ ）
⊙ ⊙
A．3❑√3 B．8 C．12 D．8❑√3
9．如图，弦CD垂直于 O的直径AB，垂足为H，且CD=2❑√2，BD=❑√3，则AB的长为（ ）
⊙
3
A． B．2 C．3 D．4
2
10．如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于
一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图
2，如果用^AB表示腹拱，假设腹拱下面的桥面 AB的长度
为80米，腹拱的高度CD为20米，则该桥腹拱部分所在
圆弧的半径是（ ）
A．30米 B．40米 C．50米 D．60
米
11．如图，AB为 O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若 O的半径为13，CD＝24，则BE长为 ．
⊙ ⊙12．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以 O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽
为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ m．
13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 ．
14．如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为
．
⊙
15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧^AB，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知AB＝200米，C是^AB
上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝40米．则这段弯路的半径是 14 5 米．
16．如图，OA＝OB，AB交 O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
⊙
（2）若CD＝6，EF＝1，求 O的半径．
⊙
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
（1）求桥拱的半径；（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为
12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
18．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了
“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在
水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆
上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多
少米？
19．如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．
（1）求证：D是AC的中点；
⊙
（2）若AB＝6，AC=2❑√13，求 O的半径．
⊙20．在 O中，AB，BC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，AF⊥BC于F．
（1）如图1，若AF过圆心O，求∠B的度数；
⊙
（2）如图2，若AF与CD相交于G，AB=2❑√5，OG=1，求 O的半径．
⊙
