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专题 24.2 垂直于弦的直径
1. 掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题目对其熟练的进行选择
教学目标
应用。
1. 重点
（1）垂径定理的内容；
（2）垂径定理的推论；
教学重难点 2. 难点
（1）垂径定理的内容和垂径定理的推论的综合应用；
（2）垂径定理中半径、半弦长及弦心距构成的勾股定理的使用；
（3）垂径定理的实际应用知识点01 垂径定理
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的 直径 ， 平分 弦，平分弦所对的 优弧 和 劣弧 。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：
CE ＝ DE，弧BC ＝ 弧BD，弧AC ＝ 弧AD。
注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们
与直径构成勾股定理。即： （ ）
【即学即练1】
1．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
⊙
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
【答案】B
【解答】解：∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，^BC=^BD
⊙
，^AC=^AD，
∴BC＝BD，∠ACD＝∠ADC．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，AB是 O的一条弦，OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则 O的半
径为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
5
A．5 B．❑√5 C．3 D．
2
【答案】D
【解答】解：设 O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝4，
⊙1
∴AC= AB＝2，
2
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
5
r= ，
2
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，在 O中，圆心O到AB的距离为5cm， O的半径为13cm，则弦AB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
【答案】D
【解答】解：由题意可得：∵OE⊥AB，OE＝5cm，
∴AB＝2AE，
在Rt△AOE中，OA＝13cm，OE＝5cm，
根据勾股定理得：AE=❑√OA2−OE2=❑√132−52=12cm，
∴AB＝2AE＝24cm．
故选：D．
【即学即练4】
4．如图， O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
1
∴AC= AB=4，
2
在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得：OC=❑√OA2−AC2=❑√52−42=3．故选：C．
知识点02 垂径定理的推论
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论2：弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的 两条弧 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分 弦，并且平分弦所对的 另一条弧 。
【即学即练1】
5．如图，AB是 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
⊙
A．^AC=^AD B．^BC=^BD C．OE＝BE D．CE＝DE
【答案】C
【解答】解：如图，∵AB是 O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴弧BD＝弧BC，弧AC＝弧AD，CE＝DE，
⊙
∴选项A、B、D正确，不符合题意；
OE和BE的大小关系不能证明，故选项C符合题意；
故选：C．
题型01 利用垂径定理求半径
【典例1】已知：如图， O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP＝4cm，PD＝2cm，则 O的半径
为（ ）
⊙ ⊙
A．4cm B．5cm C．4❑√2cm D．2❑√3cm
【答案】B【解答】解：连接OA，如图，设 O的半径为R，
∵CD⊥AB，
⊙
∴∠APO＝90°，
在Rt△OAP中，∵OP＝OD﹣PD＝r﹣2，OA＝r，AP＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，
即 O的半径为5cm．
故选：B．
⊙
【变式 1】如图，AB是 O的一条弦，直径 CD⊥AB于点 E．若 AB＝12，DE＝4，则 O的直径为
（ ）
⊙ ⊙
13
A．5 B．6 C． D．13
2
【答案】D
【解答】解：连接OB，如图所示，
设 O的半径为r，则OD＝OB＝r，
∵DE＝4，
⊙
∴OE＝OD﹣DE＝r﹣4，
1 1
由条件可知AE=BE= AB= ×12=6，
2 2
∴OB2＝OE2+BE2，即r2＝（r﹣4）2+62，
13
解得r= ，
2
13
∴
O的直径为2r=2× =13，
2
⊙故选：D．
【变式 2】如图，AC是 O的直径，弦 BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD＝8cm，AE＝2cm，则
△OBC的面积是（ ）
⊙
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．5cm2
【答案】A
【解答】解：设 O的半径为r cm，则OE＝（r﹣2）cm，
∵AC是 O的直径，弦BD⊥AC于点E，
⊙
1
∴BE＝D ⊙ E= BD＝4cm，
2
在Rt△BOE中，（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
∴OC＝5cm，
1
∴△OBC的面积= ×5×4＝10（cm2）．
2
故选：A．
【变式3】9．如图，已知点A，C，D在 O上，点B在 O内，∠B和∠C均为直角，AB＝2，BC＝6，
CD＝4，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙
⊙
A．5 B．3❑√2 C．2❑√5 D．❑√21
【答案】C
【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，延长AB，EO交于点F，∵∠B和∠C均为直角，
∴四边形BCEF是矩形，
∴∠F＝90°，BC＝EF，BF＝CE，
∵AB＝2，BC＝6，CD＝4，
1
∴EF＝6，BF=CE= CD=2，AF＝AB+BF＝4，
2
设OF＝x则OE＝6﹣x，
连接OA，OC，
∴OA2＝AF2+OF2，OC2＝CE2+OE2，
∵OA＝OC，
∴AF2+OF2＝CE2+OE2，
∴42+x2＝22+（6﹣x）2，
16+x2＝4+36﹣12x+x2，
12x＝24，
解得x＝2，
∴OA=❑√AF2+OF2=❑√42+22=2❑√5，
故选：C．
题型02 利用垂径定理求弦
【典例1】如图， O的直径AB＝12，CD是 O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP＝2，则CD的长为（
）
⊙ ⊙
A．2❑√5 B．4❑√2 C．4❑√5 D．8❑√2
【答案】C
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∵AB＝12，
∴OC＝OB＝6，
∵PB＝2，
∴OP＝4，
在Rt△OPC中，CP=❑√62−42=2❑√5，∴CD＝2PC＝4❑√5．
故选：C．
【变式1】如图，在 O中，半径长为5，圆心O到弦AB的距离OE＝3，则弦AB的长为（ ）
⊙
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：由题意知，OE⊥AB，
∴AB＝2AE，
由勾股定理得，AE=❑√OA2−OE2=4，
∴AB＝2AE＝8，
故选：C．
【变式2】如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB于点D，已知 O的半径为5，CD＝1，则AB的长为（
）
⊙ ⊙
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OC＝5，CD＝1，
∴OD＝4，∵OC⊥AB，
∴AD=❑√OA2−OD2=❑√52−42=❑√25−16=❑√9=3，
∴AB＝2AD＝6，
故选：B．
【变式3】如图，已知AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足为E，若AB＝26，CD＝24，则
CE
的值为（ ） ⊙ ⊙
CO
7 7 13 12
A． B． C． D．
13 12 12 13
【答案】D
【解答】解：∵AB是 O的直径，AB⊥CD，AB＝26，CD＝24，
1 1 1 1
∴CE= CD= ×24=⊙12，∠OEC＝90°，OC= AB= ×26=13，
2 2 2 2
CE 12
∴ = ，
OC 13
故选：D．
题型03 利用垂径定理求弦心距
【典例1】如图，在半径为2❑√2的 O中，弦AB的长为4，则圆心O到AB的距离OE为（ ）
⊙
A．4❑√2 B．4 C．2 D．2❑√2
【答案】C
【解答】解：∵AB＝4，OE⊥AB，
1
∴AE=BE= AB=2，
2
在Rt△AOE中，OA=2❑√2，
∴OE=❑√OA2−AE2=❑√ (2❑√2) 2 −22=2．
故选：C．【变式1】如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝4，OD＝3，则BD的
长为（ ）
⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【解答】解：∵OB是 O的半径，AC，OB交于点D，AD＝CD＝4，
∴BO⊥AC，
⊙
在Rt△OAD中，由勾股定理可得OA=❑√AD2+OD2=❑√42+32=5，
∴BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：B．
【变式2】如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若 O的半径为13，CD＝24，则AE的长
为（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：连接OC，
∵AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CD＝24，
1
∴CE= ⊙ CD＝12，
2
∵ O的半径为13，
∴O⊙E=❑√OC2−CE2=❑√132−122=5，
∴AE＝OA﹣OE＝13﹣5＝8．
故选：D．【变式3】如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝16，OD＝10，则AE
的长为（ ）
⊙ ⊙
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
1
【解答】解：由条件可知DE= CD=8，
2
∵OD＝10＝OA，
∴OE=❑√OD2−ED2=❑√102−82=6，
∴AE＝OA+OE＝10+6＝16．
故选：B．
题型04 垂径定理的应用
【典例1】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中
弦AB的长为（ ）cm．
A．4❑√2 B．6 C．8 D．8.4
【答案】C
【解答】解：由题意得：OC⊥AB，
1
∴AC＝BC= AB，∠OCA＝90°，
2
由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知：OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
AC=❑√52−32=4（cm），
∴AB＝2AC＝8（cm）．
故选：C．
【变式1】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具﹣﹣筒车，
如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方， O被水面截得
的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则 O的半径长为（ ）
⊙
⊙
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设 O的半径长为x，
⊙
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，
∴OC⊥AB，OD＝x﹣2，
1
∴AD=BD= AB=4，
2
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
解得：x＝5，
∴ O的半径长为5米．
故选：D．
⊙
【变式2】往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽 AB＝24cm，则水的
最大深度为（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交 O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
⊙
1
∴BD= AB＝12（cm），
2
∵ O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
⊙
在Rt△OBD中，OD=❑√OB2−BD2=❑√132−122=5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
【变式3】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件
圆弧上任取两点 A，B，连接AB，作AB的垂直平分线 CD交AB于点D，交^AB于点C，测出AB＝
80cm，CD＝20cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．20❑√3cm B．45cm C．50cm D．20❑√5cm
【答案】C【解答】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点O，连接OA，
∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴圆心O在直线CD上，
又∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝80cm，
1
∴AD= AB=40cm，OC⊥AB，
2
设圆形工件的半径为r cm，则OA＝OC＝r cm，
∵CD＝20cm，
∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣20）cm，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即402+（r﹣20）2＝r2，
∴1600+r2﹣40r+400＝r2，
40r＝2000，
解得r＝50，
∴圆形工件的半径为50cm，
故选：C．
1．已知 O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（ ）
A．一定等于10 B．可能大于10
⊙
C．不可能大于10 D．不可能等于8
【答案】C
【解答】解：如果弦AB是圆的直径，圆的直径长＝AB＝8，
如果弦AB不是圆的直径，如图，
过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC，OB，OP，
1 1
∴MB= AB，CN= CD，
2 2
∵CD＝6，AB＝8，
∴MB＝4，CN＝3，
设圆的半径是r，
∴OM2＝OB2﹣MB2＝r2﹣42，ON2＝OC2﹣CN2＝r2﹣32，∵四边形OMPN是矩形，
∴PM＝ON，
∴OP=❑√OM2+PM2=❑√r2−16+r2−9=❑√2r2−25，
∵OP≤r，
∴❑√2r2−25≤r，
∴r≤5，
∴圆的直径不可能大于10．
故选：C．
2．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（ ）
⊙
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
1
∴CE＝ED= CD＝4，
2
∴OE=❑√OC2−CE2=❑√52−42=3，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8，
故选：C．
3．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，
1
∴DH= DE=4，
2
在Rt△DHO中，OH=❑√52−42=3，
∴直尺的宽度为3cm．
故选：A．
4．如图，A、B、C是 O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（ ）
⊙
A．3❑√3 B．3 C．2❑√3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵BC∥OA，
∴∠A＝∠B，∠O＝∠C，
∴△AOD≌△BCD（AAS），
∴OD＝CD，OA＝BC＝6，
1 1
∴OD= OC= OA＝3．
2 2故选：B．
5．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC
＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm， O的半径r＝10cm，则圆盘
离桌面CD最近的距离是（ ）
⊙
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】D
【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交 O于点F．
⊙
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴AE＝EB＝8cm，
∴OE=❑√OA2−AE2=❑√102−82=6（cm），
∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），
∵EG＝AC＝BD＝5cm，
∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），
∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，故选：D．
6．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下
方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于 A、B、C、D四点，然后利用
刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【答案】B
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
1 1 1 1
∴CM= CD= ×4=2(cm)，BN= AB= ×3=1.5(cm)，
2 2 2 2
设ON＝x cm，
∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MC2＝ON2+BN2，
∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，
∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，
∴7x＝14，
∴x＝2，
∴ON＝2（cm），
∴OB=❑√ON2+MB2=❑√22+1．52=2.5(cm)，
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
7．已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形
ABCD的面积等于（ ）A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【解答】解：连接OC，OB，
∵点C在半径为5的半圆O上，
∴OC＝OE＝5，
∵ED＝2，
∴OD＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠CDO＝∠BAO＝90°，CD＝AB，
∴CD=❑√CO2−DO2=4，
∵OC＝OB，
∴Rt△CDO≌Rt△BAO，
∴AO＝DO＝3，
∴AD＝6，
∴矩形ABCD的面积为4×6＝24，
故选：C．
8．如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交 O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则
AE的长为（ ）
⊙ ⊙
A．3❑√3 B．8 C．12 D．8❑√3
【答案】B
【解答】解：设 O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
⊙1 1
∴AC＝BC= AB= ×6＝3，
2 2
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣1，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣1）2+32＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣1＝4，
∴AE＝2OC＝8，
故选：B．
9．如图，弦CD垂直于 O的直径AB，垂足为H，且CD=2❑√2，BD=❑√3，则AB的长为（ ）
⊙
3
A． B．2 C．3 D．4
2
【答案】C
【解答】解：连接OC，
设圆的半径为r，
∵弦CD垂直于 O的直径AB，
∴CH＝DH，∠BHD＝∠CHO＝90°
⊙
∵CD=2❑√2，BD=❑√3，
∴CH=DH=❑√2，
∴BH=❑√BD2−DH2=1，
∴OH＝r﹣1，
∴CO2＝CH2+OH2，即r2=(r−1) 2+(❑√2) 2 ，3
解得：r= ．
2
故选：C．
10．如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于
一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图
2，如果用^AB表示腹拱，假设腹拱下面的桥面AB的长度为80米，腹拱的高度CD为20米，则该桥腹
拱部分所在圆弧的半径是（ ）
A．30米 B．40米 C．50米 D．60米
【答案】C
【解答】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图，
则OC⊥AB于D，
1
∴AD= ×80=40（米），
2
在Rt△AOD，OA＝x米，OD＝（x﹣20）米，
由勾股定理，得x2＝（x﹣20）2+402，
解得：x＝50，
故选：C．
11．如图，AB为 O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若 O的半径为13，CD＝24，则BE长为 8 ．
⊙ ⊙
【答案】8．
【解答】解：∵直径AB⊥CD，
1 1
∴CE= CD= ×24＝12，
2 2∵ O的半径为13，
∴OC＝OB＝13，
⊙
∴OE=❑√OC2−CE2=5，
∴BE＝OB﹣OE＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
12．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以 O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽
为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 9 m．
【答案】9．
【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5m．
∵CO⊥AB，AB＝6m，
1
∴AM= AB＝3m，
2
在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM=❑√OA2−AM2=❑√52−32=4（m），
∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m），
∴隧道的最大高度CM＝9m．
故答案为：9．
13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 2❑√3 ．
【答案】2❑√3．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，在Rt△OAD中，
AD=❑√OA2−OD2=❑√22−12=❑√3，
∴AB＝2AD＝2❑√3．
故答案为：2❑√3．
14．如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 2
❑√13 ．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
1
∴AC= AB＝4，
2
设 O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
⊙
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE=❑√CB2+BE2=❑√42+62=2❑√13，
故答案为：2❑√13．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧^AB，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知AB＝200米，C是^AB
上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝40米．则这段弯路的半径是 14 5 米．
【答案】145．
【解答】解：∵C是^AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，
1
∴AD= AB=100米，
2
设这段弯路的半径是x米，则OA＝OC＝x米，
∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣40）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝（x﹣40）2+1002，
解得x＝145，
∴这段弯路的半径是145米，
故答案为：145．
16．如图，OA＝OB，AB交 O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
⊙
（2）若CD＝6，EF＝1，求 O的半径．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为 O的弦，
∴CF＝DF，
⊙∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，CD为 O的弦，
1
∴CF= CD=3， ⊙ ∠OFC＝90°，
2
∴CO2＝CF2+OF2，
设 O的半径是r，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
⊙
解得r＝5，
∴ O的半径是5．
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
⊙
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为
12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】（1）10m；
（2）不需要采取紧急措施，理由见解答过程．
【解答】解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE，
（1）设桥拱的半径是r m，
∵OC⊥AB，
1 1
∴AN= AB= ×16＝8（m），
2 2
∵拱高CN为4m，
∴ON＝（r﹣4）m，∵OA2＝ON2+AN2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴桥拱的半径是10m；
（2）不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接OD，
∵CO⊥DE，
1 1
∴DM= DE= ×12＝6（m），
2 2
∴OM=❑√OD2−DM2=❑√102−62=8（m），
∵CM＝OC﹣OM＝10﹣8＝2（m），
∵2m＞1.5m，
∴不需要采取紧急措施．
18．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了
“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在
水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆
上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多
少米？
【答案】（1）5米；
（2）2米．
【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，1
则AE= AB＝3米，DE＝1米，
2
设圆的半径为r米，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米；
1
（2）如图，当AB＝8米时，AE= AB＝4，
2
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝52，
∴OE＝3米，
∴DE＝5﹣3＝2（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
19．如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．
（1）求证：D是AC的中点；
⊙
（2）若AB＝6，AC=2❑√13，求 O的半径．
⊙
【答案】（1）证明见解答过程；
13
（2） ．
4
【解答】（1）证明：如图，连接BD．∵AB是 O的弦，半径 OD⊥AB，
∴D是
⊙
^AB 的中点，
∴^AD=^BD，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∴AD＝CD，
即D为AC的中点；
（2）如图，连接OA．
∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6，
1
∴AH= AB＝3，
2
∵D是AC的中点，AC=2❑√13，
∴AD=❑√13，
∴DH=❑√AD2−AH2=2，
设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2，
在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2，
∴（r﹣2）2+32＝r2，
13
∴r= ，
413
即 O的半径为 ．
4
20．在⊙ O中，AB，BC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，AF⊥BC于F．
（1）如图1，若AF过圆心O，求∠B的度数；
⊙
（2）如图2，若AF与CD相交于G，AB=2❑√5，OG=1，求 O的半径．
⊙
【答案】（1）60°；
7
（2） ．
3
【解答】解：（1）如图，连接AC，
由条件可知AE＝BE，AC＝BC，
∵AF⊥BC，AF过圆心O，
∴CF＝BF，AC＝AB，
∴AC＝CB＝BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）如图，连接AD，OA，
∵^BD=^BD，∴∠C＝∠DAB，
由条件可知∠C＝∠GAE＝∠DAE，
∵AE＝AE，∠AEG＝∠AED，
∴△AEG≌△AED（ASA），
∴EG＝ED，
设 O的半径为r，则DG＝OD+OG＝r+1，
r+1
∴
⊙EG=ED=
，
2
r−1
∴OE=OD−ED= ，
2
1
∴AE=BE= AB=❑√5，
2
r−1
根据勾股定理可得（❑√5）2+（ ）2＝r2，
2
7
解得r= 或﹣1（负值舍去），
3
7
所以 O的半径为 ．
3
⊙
