文档内容
专题 24.2 垂直于弦的直径
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.........................................................................................1
活动探究1：..........................................................................................................................................1
知识点1：圆的轴对称性......................................................................................................................2
【题型1】圆的轴对称性......................................................................................................................2
知识点2：垂径定理..............................................................................................................................3
【题型2】利用垂径定理求值..............................................................................................................3
【题型3】利用垂径定理证明..............................................................................................................6
知识点3：垂径定理的推论...................................................................................................................9
【题型4】利用垂径定理推论求值证明...............................................................................................9
知识点4：垂径定理的应用.................................................................................................................12
【题型5】利用垂径定理推论求值证明.............................................................................................12
二. 同步练习...........................................................................................................................15
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................15
【能力提升（16题）】......................................................................................................................27
【中考真题6题】...............................................................................................................................43
一．知识梳理与题型分类精析
如上图，我们如何来测出这个石拱桥的半径呢？我们可以把拱桥看成的一部分，本专题我们就来研
究如何测量石拱桥的高和半径.
活动探究1：如上图 沿圆心的直径所在直线折叠一次圆的纸片，发现两旁部分能互相重全，再折叠一次，我们
就找到了圆形纸片的圆心. 这样我们就得到了;
知识点1：圆的轴对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
【题型1】圆的轴对称性
【例题1】求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
已知：如图1，在☉o中， 为直径，弦 .
求证：
证明：连接 ，
在等腰 中， ，
（三线合一），
是 的垂直平分线，即圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线所在的直线是它的对称轴.
【变式】（24-25河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有 条对称轴，每条对称轴都是这个圆
的 所在的直线．
【答案】 无数 直径
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解
题关键．根据轴对称图形的定义即可得．
解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线．
故答案为：无数；直径．
【例题2】证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图， 是 的直径， 是 的弦，___________．
求证：___________．证明：___________
【答案】 ，垂足为 ； ， ， ；证明见分析
【分析】根据命题，补全条件、结论以及推导过程即可；
解：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
，垂足为 ；
求证： ， ，
证明：连接 ;
在 中，
∴ ，
这样我们就得到了一个重要的定理：
知识点2：垂径定理
垂直于弦的直径平分弦.并且平分弦所对的两条弧.
【题型2】利用垂径定理求值
【例题3】【课本源题】如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求☉O的半径.
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．过点O作 于E，连接 ，利用垂径定理，
勾股定理求解即可．
解：过点O作 于E，连接 ，如图2，
，
，
．
☉O的半径是5cm
【变式1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知 是 的直径， ，弦
于 ， ，求弦 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．
如图，连接 ．根据圆的概念以及已知条件可得 ；再在 中利用勾股定理可得
，然后根据垂径定理即可解答．
解：如图，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中利用勾股定理，得：
∵ ，
∴ ．
即弦 的长是 ．
【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接
，若 ， ．
（1）求 的长度；（2）求 的长度．
【答案】（1）4 （2）5
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到 ；由勾股定理求出
长．
（1）由垂径定理得到 ；
（2）设 ，得 ，由勾股定理可得 ,求出 的值即可．
解：（1）解：∵直径 ，∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
设 ，
∵ ,
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【题型3】利用垂径定理证明
【例题4】【课本源题】如图3，在☉O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦， ，
垂直分别为D，E.
求证：四边形ADOE是正方形.
【分析】先证明四边形 为矩形，再根据垂径定理可得 ，由此可得四边形 为
正方形．
本题主要考查了垂径定理和正方形的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键．
证明：在☉O中， ， ， ，
，
∴四边形 为矩形，
且 ，
又 ，
，
∴四边形 为正方形．【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图， 是 的弦，半径 ，垂足为 ，
，交 延长线于点 ．求证： 是 的中点．
【分析】此题考查了垂径定理，等腰三角形的判定及性质，连接 ，根据垂径定理推出 ，
根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出 ，等量代换即可得解．
解：证明：如图，连接 ．
∵ 是 的弦，半径 ，
∴D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即D为 的中点．
【变式2】（23-24九年级上·辽宁·期中）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，且 平
分 ，作 于E．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是：
（1）根据角平分线定义和等腰三角形等边对等角性质可得出 ，然后根据
平行线的判定即可得证；
（2）过点O作 于M，由垂径定理可得出 ，利用 证明 ，得出
，即可得证．
解：（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点O作 于M，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【例题5】求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
已知：如图，在 中， 是非直径的弦， 是直径，且 平分 ，并交 于点M，
求证： ，
【分析】本题主要考查了垂径定理．连接 ，根据垂径定理，即可求解．
解：证明：连接 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，∵ 是直径，
∴ ．
知识点3：垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【题型4】利用垂径定理推论求值证明
【例题6】（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， 是弦，点E是 的中点，
交 于点D．连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】8
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平
分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理得出 ， ；求出 的值；设 的半径为r，表示出
的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出 ， ；再根据三角形的中
位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得 的长．
解：连接 ，如图：
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，设 的半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（24-25九年级上·广东·期末）如图， 为 的直径，点D是弧 的中点，过点D
作 于点E，延长 交 于点F，若 ，则 的直径长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知 ，
，从而得到 ， ，得 ，得到 ，得
，设圆的半径为R，连接 ，根据勾股定理，得到 ，计算 的值即
可．
解： 点D是弧 的中点，
，为 的直径， ，
，
， ，
，
，
，
设圆的半径为R，连接 ，
根据勾股定理，得到 ，
解得 ，
故答案为：15．
【变式2】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，
如果D是 中弦 的中点，连接 并延长交 于点C，并且 ， ，求
的半径．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接 ，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得
， ；在 中，利用勾股定理建立方程即可求得半径．
解：如图，连接 ，设圆的半径为r；
∵D是 中弦 的中点，
∴ ， ；∵ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
答： 的半径为 ．
知识点4：垂径定理的应用
垂径定理在建筑、测量、机械等领域广泛应用，关键是将实际问题中的“弧形结
构”（如拱桥、管道、轮子）抽象为圆，“跨度”“水深” 等抽象为弦长或弓形高.
【题型5】利用垂径定理推论求值证明
【例题7】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃
容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆
中弦 的长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂
径定理得到直角三角形 ，通过半径和已知深度求出直角边 的长度，再计算弦长．
确定 ；在 中用勾股定理求 ；由垂径定理得
．
解：由题意知， 的半径 ，且 于点C，根据垂径定理， 平分弦
，即 ．
已知液体最大深度 ，则 ．在 中，由勾股定理：
代入数据： ，解得 ．
因此，弦 ．
故答案为：24．
【变式1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中
国古代单孔敞肩石拱桥如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半
径R约为（ ）（四舍五入结果取整数）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于 的方
程解决问题．设主桥拱半径 ，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理列方程求解，即可得
到答案．
解：由题意可知， ， ，
设主桥拱半径为 ，
，
是半径， ，
，
在 中， ，
，
解得 ．
故选：B【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，
需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点 ，若这
个输水管道有水部分的水面宽 ，水面最深地方的高度为 ．求这个圆形截面的半径．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理．
先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算．
解：如图，作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
设半径为 ，则 ，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得： ．
答：这个圆形截面的半径是 .
二. 同步练习【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·周测）如图，在 中， 的半径为4，圆心到弦 的距离 为2，
则弦 的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．
在Rt 中，先根据勾股定理求出 的长度，再根据垂径定理可得 ，进而可得
即可求出弦 的长．
解：由题意可得， ， ．
根据垂径定理可得， ．
在Rt 中， ， ，
由勾股定理可得 ．
，
．
故选：C．
2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，
已知点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段 的垂直平分线 和线段 的垂直平分线
的交点即可得到圆心坐标．
解：如图线段 的垂直平分线 和线段 的垂直平分线 的交点M，即为弧的圆心，
∴圆心的坐标是 ，
故选：B．
3．（2025·安徽亳州·二模）如图， ， ， 都是 的半径， ， 交于点 ．若
， ，则 的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可
得 ，在 中，由勾股定理可得 ，由圆的半径均相等，结合 代值求
解即可得到答案．
解： 是 的半径， 交于点 ， ，
，
在 中， ，则由勾股定理可得 ，
，
故选：B．4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中
的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”
转化为现在的数学语言就是：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， 寸，
寸，则 半径的长度为（ ）寸．
A．5 B．8 C．12 D．13
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由 垂直 得到点 为 的中点，
由 寸可求出 的长，再设出圆的半径 为 寸，表示出 的长，根据勾股定理建立关
于 的方程，解方程即可得到答案．
解：连接 ，
∵ 为 的直径， ，且 寸，
∴ 寸，
设圆 的半径 的长为 寸，则 寸，
∵ 寸，
∴ 寸，
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
∴ ，
解得 ，
∴则 半径的长度为 寸，
故选：D．
5．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，四边形 是 的内接四边形，连接对角线， 交于点 ，且 ， 为 的直径，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，理解垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的
两条弧是解答关键．
连接 ，根据勾股定理求出 ，根据垂径定理得到 ，得到答案．
解：如图，连接OC，
， ，
， ．
，
， ，
，
．
故选：C．
6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧 ），
点 是这段弧的圆心， 是弧 上一点， ，垂足为 ．若这段弯路的半径是 ，
，则 两点的直线距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，利用勾股定理求出 ，再根据垂径定理解答即可求解，
掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵弯路的半径是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
7．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为
O，直径 是河底线，弦 是水位线，已知拱桥的跨度 ，若测得某时水面宽度
，求水深 是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接 ，由题意可得 ，
，由垂径定理可得 ，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．解：如图所示，连接 ，
由题意得， ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴水深 为 ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过 的中点 作 ，垂足为 ， ，
，则 所在圆的半径长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定
理的推论及勾股定理是解题的关键．
由“点 是 的中点， ”，根据垂径定理的推论可知， 所在圆的圆心在 所在的
直线上，延长 到圆心 ，连接 ，设 所在圆的半径长为 ，则 ，
，在 中，根据勾股定理可得 ，即 ，
解方程即可求出 所在圆的半径长．
解：如图，延长 到圆心 ，连接 ，
设 所在圆的半径长为 ，则 ，，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
，
解得： ，
所在圆的半径长为 ，
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在圆 中，直径 ，弦 交 于点 ，
且 ，若 ，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到 是解答的关键．连接 ，先根据垂
径定理的推论得到 ，再利用勾股定理求解即可．
解：如图，连接 ，
∵ 是圆 的直径， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中） 的半径为5，两条平行弦的长为6和8，则这两条弦
的距离为 ．
【答案】7或1/1或7
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，解题的关键是能正确求出符合条件的两种情况、
熟练掌握垂径定理．先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作 于E，交 于F，连接 、 ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出 、 ，然后结合图形求出 即可．
解：分为两种情况：①当 和 在O的同旁时，如图1，
过O作 于E，交 于F，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
则由垂径定理得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
同理可求出 ，
∴ ；
②当 和 在O的两侧时，如图2，同法求出 ， ，
则 ；
即 与 的距离是1或7．
故答案为：1或7．
11．（2025·北京石景山·二模）如图， 为 的弦， ， ，半径 于点 ，
则 的长为 ．【答案】2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段．
根据垂径定理，先利用勾股定理求出 ，再求出 的长．
解：∵ 为 的弦， ，半径 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 2．
12．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一
边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移 ，如图2， 边与圆的两个交点
对应 的长为 ，则可知井盖的半径是 ．
【答案】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．过圆心P作
，交圆P于E，交 于F，得到 ，设圆P的半径为r ，则
，在 中， ，即 ，解方程即可得到答案．
解：如图，过圆心P作 ，交圆P于E，交 于F，
则 ，设圆P的半径为r ，则
在 中， ，即 ，
解得： ，
则井盖的半径是 ，
故答案为：
三、解答题
13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图， 为 的弦， 为直线 上两点， ，
求证： ．
【答案】证明见分析
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点 作 于 ，由垂径定理得
，由等腰三角形三线合一得 ，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键．
解：证明：如图，过点 作 于 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
14．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图， 是 的两条弦，且 于
M， 于N．求证： ．【答案】见分析
【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直
角三角形成为解题的关键．
连接 ．由垂径定理结合 可得 ，再证明 ，最后根据全
等三角形的性质即可解答．
解：证明：如图：连接 ．
∵ 于M， 于N．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， 的延长线
交于点M．若 ，求 的值．【答案】
【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接 ，过点O作
于点H，由题意易得 ，则有 ，然后可设
，则 ，进而问题可求解
解：连接 ，过点O作 于点H．
，
，
，
．设 ，则 ，
，
．
16．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部
门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如
下：
信息二：点 为喷泉中心， 是喷泉边缘的一条弦， 米， 是弦 的中点，连接 并
延长，交劣弧 于点 ， 米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以 为圆心， 为半径作防护栏所在圆．请根据以上信
息解答下列问题
（1）求喷泉的半径；
（2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（ 取3，结果保留整数）
【答案】（1）喷泉的半径为5米；（2）大约需要安装24盏景观灯
【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；
（1）连接 ，设喷泉的半径为 ，则： ，然后可得 ， ，进而
根据勾股定理可进行求解；
（2）由（1）可知 米，然后根据圆的周长可进行求解．
解：（1）解：连接 ，设喷泉的半径为 ，则： ，
，
是弦 的中点，
平分弦 ， ，
，
，
，
米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得： 米，
∴ （盏）
答：大约需要安装24盏景观灯．
【能力提升（16题）】
一、单选题1．（2025·广东广州·二模）如图，若 的半径为 ，圆心 到 的距离为 ，则 （
） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过 作 于 ，由垂径定理得到 ，由勾
股定理求出 ，即可得到 的长．
解：过 作 于 ，
，
的半径为 ，圆心 到 的距离为 ，
， ，
，
．
故选C．
2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图 ，点 是
的中点，测量数据得 ， ，则圆的半径长为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直
平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．利用垂径定理的推论得到圆心在 上，设圆心为O
点，连接 ，如图，设圆的半径为 ，则 ， ，利用勾股定理得到
，然后就解方程即可．
解： ，点C是 的中点，
即 垂直平分 ， ，
圆心在 上，
设圆心为O点，连接 ，如图，
设圆的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
即圆的半径为 ．
故选：D．
3．（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用
于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形
框架．图②是其截面示意图， 为圆形框架的圆心，弦 和劣弧 围成的区域为种植区，已知
种植区的深度为 ，圆形框架的半径为 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，利用垂径定理得出 ，利用勾股定理求出 ，进而了得出 ．根据垂
径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键．
解：如图，作 交 于点 ，交 于点 ，连接
在 中，
∴
∵ ， ，
，
∴ ，
∴
故选： ．
4．（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试） 是等腰三角形 的外接圆，圆心O到底边
的距离为 ， 的半径为 ，则腰 的长为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，三线合一定理，勾股定理，分圆心在 内和在 外两
种情况讨论，先证明 三点共线，则可求出 的长，根据勾股定理先求得 的长，再根
据勾股定理可求得 的长即可．
解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图一，假若 是锐角， 是等腰三角形，
连接 ，过点O作 于D，连接 ，
∵ ，
∴ 为 的中点，
∵ 是等腰三角形，且 为底，
∴ ，
∴ 三点共线，
， ，
，
，
；
如图二，若 是钝角， 是等腰三角形，
同理可得 ，
，
综上可得腰长 或
故选：
5．（2025·湖北·模拟预测）如图，某同学通过观察家中的绣品摆件，发现是由圆的绣品面和一段劣
弧支架组成，图形关于两圆心所在直线对称，通过测量得知， 长 ，绣面（圆）最高点E
到 的距离 为 ，到劣弧 最高点M的距离 为 ，则可求支架劣弧 所在圆
的半径是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．设 ， 分别为两圆圆心，连接 ，设 ，则 ，根据勾股定理列出式子，即可得到答
案．
解：如解图，设P，Q为两圆心，连接 ．
由题意可知，E，P，M，N，Q五点共线，
， ．
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理得， ，解得 ，
∴支架劣弧 所在圆的半径是 ．
故选：C．
6．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图， 为 的直径，A、B是 上的两点，过A作
于点C，过B作 于点D， P为 上的任意一点，若 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据 ， ，用勾股定理计算得到 ；延长 与
⊙O相交于点G，推导得当点P在直线 上时， 取最小值；过G作 于点H，经证明四边形 是矩形，并经勾股定理计算即可得到 的值，即可完成求解．
解：如图，连接 ，
∵过A作 于点C，过B作 于点D，
∴ ， ，
∵ ，A、B是 上的两点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
延长 与⊙O相交于点G，
∵MN为 的直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
当点P在直线 上时， 取最小值，且最小值 ，
过G作 于点H，
又∵ ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌
握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
二、填空题7．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）以点 为圆心，以4为半径的圆与x轴的交点坐标
为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的
关键．
根据题意画出图形，再根据勾股定理求出点B、C的坐标即可．
解：如图所示：连接 ，则 ,
∵ ,
∴ （垂径定理）
∵ ，即 ，又 ，
，
，又 ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（2025·江苏泰州·三模）如图， 为 的直径， 为 的弦， 于 ，若
， ，则 ．
【答案】【分析】连接 ，根据已知易得： ，再根据垂径定理可得： ，然后在
中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
解：连接 ，
为 的直径， ，
，
，
，
在 中， ，
故答案为： ．
9．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图， 的半径 弦 于点 ，连接 并延长
交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟
练掌握相关的定理和性质．
根据垂径定理得出 ，设 为x，则 ，根据勾股定理得出方程，求
出x的值，连接 ，求出 且 ，求出 ，根据勾股定理求出 即可．
解：∵在 中， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
连接 ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（2025·安徽滁州·二模）如图， 是 的弦，点P在弦 上，已知 的半径为7，若
， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．过点O作 于点C，则 ， ，
设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，建立方程求出x
的值，即可求解．
解：如图，过点O作 于点C，则 ， ，
∵ ， ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．（2025·江苏无锡·二模）如图，将 的一部分沿着弦 翻折，劣弧恰好经过圆心 ， ，
则 的半径为【答案】
【分析】本题考查的是翻转变换的性质、垂径定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形
的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
过O作垂直于 的半径 ，设交点为D，连接 ,根据折叠的性质可求出 的长；根据勾
股定理可 ，由垂径定理知 ，进而列方程求解即可．
解：过O作 于D，交 于C，连接 ，设 ，
由折叠可知： ，
中， ， ，
根据勾股定理，得： ，
∴ ，
解得： （负值已经舍去）
故答案 ： ．
12．（2025·河南驻马店·一模）如图，在半径为10的 中， 、 是互相垂直的两条弦，垂足
为 ，且 ．则 的长为 ．【答案】
【分析】作 于M， 于N，连接 ， ， ，根据垂径定理可得
，再根据勾股定理可得 ，再证明四边形 是正方形
则 ，根据勾股定理即可求出 的长．本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形
的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
解：作 于M， 于N，连接 ， ， ，
，
，
，
，
，
于M， 于N，
，
∴四边形 是矩形，
，
∴四边形 是正方形，
，
．
故选：B．
三、解答题
13．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图， ， 交 于C、D两点，半径于点F．求证： ．
【答案】见分析
【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再
根据线段的和差关系可得结论．
解：证明：∵ 为 的弦，
，
，
，
，
．
14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，有一个圆形花园，圆心 处为一观光亭， 是一条
横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于 、 两点，且两端点 、 与观光亭 距离相
等．现在要从观光亭 向小路 修一条小路 ，使 垂直于 ，与小路交于点 ，与外围栅
栏交于点 ．
（1）试说明 ；
（2）若量得花园内的小路长 米， 米，求花园的半径．
【答案】（1）见分析；（2）花园的半径为50米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理．
（1）根据等腰三角形的性质求得 ，根据垂径定理求得 ，再利用线段的和差计
算即可得到 ；
（2）连接 ，设 的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解．
解：（1）证明：在 中， ， ，∴ ， ，
∴ ，即 ；
（2）解：连接 ，
设 的半径为r，则 米， 米，
∵ ，
∴ 米，
在 中， ，
解得 ，即花园的半径为50米．
15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线 交y轴于点 是抛物线上
的一点，Q为第四象限抛物线上的一点，经过 三点作 的弦 轴．求证：点F
在定直线上．
【答案】见分析
【分析】本题考查二次函数的性质，垂径定理，勾股定理．先根据点C、D的坐标得到 关于直
线 对称，过点M作 于点N，连接 ，设 ， ，则 ，进
而根据 计算得到 ，求出点 解题即可．解：证明：令 ，则 ，解得 ， ，
，
关于直线 对称．
，
∴点M在直线 上．
过点M作 于点N，连接 ，则 ．
设 ， ，则 ，
，
．
，
，
即 ，
，即 ．
，
，
∴点F在定直线 上．
16．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点C与点D在 的两侧，E是 上一点（ ），连接 ，且 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的半径；
（2）如图2，若 ，求证： ．
【答案】（1） 的半径为3；（2）见分析．
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出 ，结合
，可得出 ，在 中，利用勾股定理求解即可；
（2）过O作 于F，利用垂径定理等可得出 ，然后利用 定理证明
，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证；
解：（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为3；
（2）证明：过O作 于F，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性
质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
【中考真题6题】
一、单选题
1．（2024·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若
， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得 ，再对 运用勾股定理即可求 ，最后 即
可求解．
解：∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，故选：B．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则
的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理求解即可．
解：∵在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，
∴ ， ，
在 中， ，
故选：B．
3．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，
交 于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出 的长；设圆心为O，连接
，在 中，可用半径 表示出 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，
即可得出轮子的直径长．
解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴直线 经过圆心，设圆心为 ，连接 ．中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
二、填空题
4．（2025·四川内江·中考真题）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．
则 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到 ，在 中，由勾股定理求解 ，再由
即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，∴ ，
故答案为：2．
5．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 为半径作 ．直
线 与 交于 两点，则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于 ，当 时， 得直
线 过定点 ，再求出 ，得点P在 内部，根据过圆内定点P的所有
弦中，与 垂直的弦最短，得当直线 与 垂直时， 为最小，此时 ，
在 中，由勾股定理求出 ，进而可得 的最小值．
解：∵
∴直线 过定点 ，
∵点 ，
∴ ，
又∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴点P在 内部，
由于过圆内定点P的所有弦中，与 垂直的弦最短，即当直线 与 垂直时， 为
最小，如图所示：
由垂径定理得： ，∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
即 的最小值为6．
故答案为：6．
三、解答题
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于
点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
（1）求证：四边形 为矩形．
（2）已知 的半径为4， ，求弦 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
解：（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的
关键．
