文档内容
专题 24.2 垂直于弦的直径
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.........................................................................................1
活动探究1：..........................................................................................................................................1
知识点1：圆的轴对称性......................................................................................................................2
【题型1】圆的轴对称性......................................................................................................................2
知识点2：垂径定理..............................................................................................................................2
【题型2】利用垂径定理求值..............................................................................................................2
【题型3】利用垂径定理证明..............................................................................................................3
知识点3：垂径定理的推论...................................................................................................................4
【题型4】利用垂径定理推论求值证明...............................................................................................4
知识点4：垂径定理的应用...................................................................................................................4
【题型5】利用垂径定理推论求值证明...............................................................................................5
二. 同步练习.............................................................................................................................5
【基础巩固（16题）】........................................................................................................................5
【能力提升（16题）】......................................................................................................................10
【中考真题6题】...............................................................................................................................14
一．知识梳理与题型分类精析
如上图，我们如何来测出这个石拱桥的半径呢？我们可以把拱桥看成的一部分，本专题我们就来研
究如何测量石拱桥的高和半径.
活动探究1：如上图 沿圆心的直径所在直线折叠一次圆的纸片，发现两旁部分能互相重全，再折叠一次，我们
就找到了圆形纸片的圆心. 这样我们就得到了;
知识点1：圆的轴对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
【题型1】圆的轴对称性
【例题1】求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
【变式】（24-25河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有 条对称轴，每条对称轴都是这个圆
的 所在的直线．
【例题2】证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图， 是 的直径， 是 的弦，___________．
求证：___________．
证明：___________
知识点2：垂径定理
垂直于弦的直径平分弦.并且平分弦所对的两条弧.
【题型2】利用垂径定理求值
【例题3】【课本源题】如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求☉O
的半径.
【变式1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知 是 的直径， ，弦
于 ， ，求弦 的长．【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接
，若 ， ．
（1）求 的长度；（2）求 的长度．
【题型3】利用垂径定理证明
【例题4】【课本源题】如图3，在☉O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦， ，
垂直分别为D，E.
求证：四边形ADOE是正方形.
【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图， 是 的弦，半径 ，垂足为 ，
，交 延长线于点 ．
求证： 是 的中点．
【变式2】（23-24九年级上·辽宁·期中）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，且 平
分 ，作 于E．
（1）求证： ；（2）求证： ．【例题5】求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
已知：如图，在 中， 是非直径的弦， 是直径，且 平分 ，并交 于点M，
求证： ，
知识点3：垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【题型4】利用垂径定理推论求值证明
【例题6】（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， 是弦，点E是 的中点，
交 于点D．连接 ，若 ， ，求 的长．
【变式1】（24-25九年级上·广东·期末）如图， 为 的直径，点D是弧 的中点，过点D
作 于点E，延长 交 于点F，若 ，则 的直径长为 ．【变式2】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，
如果D是 中弦 的中点，连接 并延长交 于点C，并且 ， ，求
的半径．
知识点4：垂径定理的应用
垂径定理在建筑、测量、机械等领域广泛应用，关键是将实际问题中的“弧形结构”（如
拱桥、管道、轮子）抽象为圆，“跨度”“水深” 等抽象为弦长或弓形高.
【题型5】利用垂径定理推论求值证明
【例题7】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃
容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为 ，瓶内液体的最大深度 ，则截面圆
中弦 的长为 ．
【变式1】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中
国古代单孔敞肩石拱桥如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半
径R约为（ ）（四舍五入结果取整数）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点 ，若这
个输水管道有水部分的水面宽 ，水面最深地方的高度为 ．求这个圆形截面的半径．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·周测）如图，在 中， 的半径为4，圆心到弦 的距离 为2，
则弦 的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，
已知点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽亳州·二模）如图， ， ， 都是 的半径， ， 交于点 ．若
， ，则 的长为（ ）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中
的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”
转化为现在的数学语言就是：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， 寸，
寸，则 半径的长度为（ ）寸．
A．5 B．8 C．12 D．13
5．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，四边形 是 的内接四边形，连接对角线
， 交于点 ，且 ， 为 的直径，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．9 C． D．
6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧 ），
点 是这段弧的圆心， 是弧 上一点， ，垂足为 ．若这段弯路的半径是 ，
，则 两点的直线距离是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为
O，直径 是河底线，弦 是水位线，已知拱桥的跨度 ，若测得某时水面宽度
，求水深 是 ．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过 的中点 作 ，垂足为 ， ，
，则 所在圆的半径长是 ．
9．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在圆 中，直径 ，弦 交 于点 ，
且 ，若 ，则 ．
10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中） 的半径为5，两条平行弦的长为6和8，则这两条弦
的距离为 ．
11．（2025·北京石景山·二模）如图， 为 的弦， ， ，半径 于点 ，
则 的长为 ．
12．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移 ，如图2， 边与圆的两个交点
对应 的长为 ，则可知井盖的半径是 ．
三、解答题
13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图， 为 的弦， 为直线 上两点， ，
求证： ．
14．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图， 是 的两条弦，且 于
M， 于N．求证： ．
15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， 的延长线
交于点M．若 ，求 的值．16．（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部
门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如
下：
信息二：点 为喷泉中心， 是喷泉边缘的一条弦， 米， 是弦 的中点，连接 并
延长，交劣弧 于点 ， 米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以 为圆心， 为半径作防护栏所在圆．请根据以上信
息解答下列问题
（1）求喷泉的半径；
（2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（ 取3，结果保留
整数）
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2025·广东广州·二模）如图，若 的半径为 ，圆心 到 的距离为 ，则 （
） ．
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图 ，点 是
的中点，测量数据得 ， ，则圆的半径长为（ ）A． B． C． D．
3．（2025·广西来宾·模拟预测）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用
于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形
框架．图②是其截面示意图， 为圆形框架的圆心，弦 和劣弧 围成的区域为种植区，已知
种植区的深度为 ，圆形框架的半径为 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试） 是等腰三角形 的外接圆，圆心O到底边
的距离为 ， 的半径为 ，则腰 的长为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．（2025·湖北·模拟预测）如图，某同学通过观察家中的绣品摆件，发现是由圆的绣品面和一段劣
弧支架组成，图形关于两圆心所在直线对称，通过测量得知， 长 ，绣面（圆）最高点E
到 的距离 为 ，到劣弧 最高点M的距离 为 ，则可求支架劣弧 所在圆
的半径是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图， 为 的直径，A、B是 上的两点，过A作于点C，过B作 于点D， P为 上的任意一点，若 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）以点 为圆心，以4为半径的圆与x轴的交点坐标
为 ．
8．（2025·江苏泰州·三模）如图， 为 的直径， 为 的弦， 于 ，若
， ，则 ．
9．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图， 的半径 弦 于点 ，连接 并延长
交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
10．（2025·安徽滁州·二模）如图， 是 的弦，点P在弦 上，已知 的半径为7，若
， ，则 的长为 ．11．（2025·江苏无锡·二模）如图，将 的一部分沿着弦 翻折，劣弧恰好经过圆心 ， ，
则 的半径为
12．（2025·河南驻马店·一模）如图，在半径为10的 中， 、 是互相垂直的两条弦，垂足
为 ，且 ．则 的长为 ．
三、解答题
13．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图， ， 交 于C、D两点，半径
于点F．求证： ．
14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，有一个圆形花园，圆心 处为一观光亭， 是一条
横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于 、 两点，且两端点 、 与观光亭 距离相
等．现在要从观光亭 向小路 修一条小路 ，使 垂直于 ，与小路交于点 ，与外围栅
栏交于点 ．
（1）试说明 ；
（2）若量得花园内的小路长 米， 米，求花园的半径．15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线 交y轴于点 是抛物线上
的一点，Q为第四象限抛物线上的一点，经过 三点作 的弦 轴．求证：点F
在定直线上．
16．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点
C与点D在 的两侧，E是 上一点（ ），连接 ，且 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的半径；
（2）如图2，若 ，求证： ．
【中考真题6题】
一、单选题
1．（2024·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若
， ，则 的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则
的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，
交 于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2025·四川内江·中考真题）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．
则 的长是 ．5．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 为半径作 ．直
线 与 交于 两点，则 的最小值为 ．
三、解答题
6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于
点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
（1）求证：四边形 为矩形．
（2）已知 的半径为4， ，求弦 的长．
