文档文本内容
[基础题组练]
1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要
做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否
定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”索的
因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：选C.<a b2－ac<3a2
(a＋c)2－ac<3a2
⇔
a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇔
⇔－2a2＋ac＋c2<0 2a2－ac－c2>0
⇔
(a－c)(2a＋c)>0 (a－c)(a－b)>0.故选C.
⇔
3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
⇔ ⇔
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋
1)2≥0，
所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A.因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C.
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x＋x>0，则f(x)＋f(x)
1 2 1 2
的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定
解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上
的单调递减函数，
由x＋x>0，可知x>－x，f(x)<f(－x)＝－f(x)，则f(x)＋f(x)<0.
1 2 1 2 1 2 2 1 26．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
解析：a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然<，所以
a<b.
答案：a<b
7．已知a>b>0，则①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正确的序号是________．
解析：对于①，因为a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故①正确；
当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．
答案：①③④
8．已知点A(n，a)为函数y＝图象上的点，B(n，b)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，
n n n n
设c＝a－b，则c 与c 的大小关系为________．
n n n n n＋1
解析：由条件得c＝a－b＝－n＝，
n n n
所以c 随n的增大而减小，所以c <c.
n n＋1 n
答案：c <c
n＋1 n
9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.
证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，
所以－1＝＝>，①
－1＝＝>，②
－1＝＝>，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，
得>8.
[综合题组练]
1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是( )
A．a，b，c同号
B．b，c同号，a与它们异号
C．a，c同号，b与它们异号
D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定
解析：选A.由·>1知与同号，
若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，
若<0且<0，则－>0，－>0，
＋≥2 >2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．
2．在等比数列{a}中，“a<a<a”是“数列{a}递增”的( )
n 1 2 3 n
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当a<a<a 时，设公比为q，
1 2 3
由a<aq<aq2得
1 1 1
若a>0，则1<q<q2，即q>1，
1
此时，显然数列{a}是递增数列，
n
若a<0，则1>q>q2，即0<q<1，
1
此时，数列{a}也是递增数列，
n
反之，当数列{a}是递增数列时，显然a<a<a.
n 1 2 3
故“a<a<a”是“等比数列{a}递增”的充要条件．
1 2 3 n
3．(创新型)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；
④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
4．(应用型)(一题多解)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至
少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．
解析：法一(补集法)：
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的取值范围为.
法二(直接法)：
依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，
即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，得－＜p＜1或－3＜p＜，
故满足条件的p的取值范围是.
答案：
5．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
证明：a⊥b a·b＝0，
要证≤.
⇔
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即证(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且
0<x<c时，f(x)>0.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－2<b<－1.
解：(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
所以f(x)＝0有两个不等实根x，x，
1 2
因为f(c)＝0，
所以x＝c是f(x)＝0的根，
1
又xx＝，
1 2
所以x＝，
2
所以是f(x)＝0的一个根．
(2)假设<c，又>0，
由0<x<c时，f(x)>0，
知f>0与f＝0矛盾，
所以≥c，又因为≠c，所以>c.
(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
所以b＝－1－ac.
又a>0，c>0，所以b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x＝，
2
即－<.
又a>0，所以b>－2，
所以－2<b<－1.
