5.1三角函数的定义（精讲）（学生版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）_学生版

5.1 三角函数的定义（精讲） 一．任意角 1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．分类： 3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋ k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 4.象限角与轴线角易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同 二．弧度制 1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 2．公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 三．任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP| 定义 sin α＝ cos α＝ tan α＝ 定义域 R R 一 ＋ ＋ ＋ 函数 二 ＋ － － 值在 各象 三 － － ＋ 限的 符号 四 － ＋ － 一．判断象限角的方法 1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角 α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 三．三角函数的定义 1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数， 从而求解问题； 3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用 三角函数的定义求解． 考法一 任意角 【例1-1】（2023春·青海）下列命题中正确的是（ ） A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系 B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角 C．终边相同的角的弧度制表示相差 D．终边相同的角的弧度都相同 【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧 度数为（ ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023春·辽宁）下列与 终边相同角的集合中正确的是（ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·上海闵行）下列说法正确是（ ）A．角60 和角600 是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在 轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 2．（2023春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（ ） A． B．第一象限的角是锐角 C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角 3．（2023·海南）设 ，且 的终边与 角的终边相同，则 __________. 考法二 扇形的弧长与面积 【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为 cm，则扇形的面积为______cm2． 【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ） A．4 B． C．2 D．1 【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的 直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB 直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C 与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面 的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值： ）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m 【一隅三反】 1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出 计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 （弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成， 公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径为 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到 ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为 的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为 的 扇形，设该扇形面积为 ，则 为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为 的圆形纸片上剪出一个扇形， 制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（ ） A． B． C． D． 考法三 三角函数的定义【例3-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知 为角α终边上一点，则 =______． 【例3-2】．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角 的顶点为原点，始边为 轴的非负半轴，若其终边经 过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【例3-3】（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角 的终边上，且 ，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系 中，若点 从点 出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动 到达点 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点为O，始边为x轴的非负半 轴，若 的终边与圆 交于点 ，则 （ ） A． B． C． D．2．（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且 ，则tanα= （ ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图， 的值为（ ） A． B． C． D． 4．（2023秋·山东菏泽）单位圆上一点 从 出发，顺时针方向运动 弧长到达 点，则 点的坐标 为（ ） A． B． C． D． 考法四 三角函数值的正负判断 【例4-1】（2023春·安徽）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上， 是第几象限角 （ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例4-2】（2023·浙江杭州）若 ，且 ，则角 是第（ ）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角 第二象限角，且 ，则角 是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【一隅三反】 1．（2023春·辽宁）点 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限  sin0,tan0  2．（2023·广东）若 满足 ，则 的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 sin5,cos5 3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）坐标平面内点P的坐标为 ，则点P位于第（ ）象 限. A．一 B．二 C．三 D．四 4．（2023·四川成都）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（ ） A．tansin0 B．sincos0 C．costan0 D．tansin0 5．（2023·全国·高三对口高考）已知角 的终边落在直线 上，则 __________. 考法五 三角函数线的应用 【例5-1】（2023·天津）设 ，使 且 同时成立的 取值范围是（ ）A． B． C． D． 【例5-2】．（2023·全国·高三专题练习）如果 ，那么下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【例5-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·上海） 的大小关系为 A． B． C． D． 2．（2023·湖北黄冈）关于 ，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙： .丙: ，丁： 不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2023·广西·校联考模拟预测） 的值所在的范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋ 的定义域为__________________. 5（2023·全国·高三对口高考）若点 在第一象限，则在 内 的取值范围是 ________．