文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
压轴题解题模板 04
几何综合
目 录
题型一 线段最值问题
①动点路径问题
②“胡不归”问题
③“将军饮马”问题
④“造桥选址”问题
题型二：面积平分问题
题型三 面积最值问题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
几何综合问题在中考中以填空题和解答题
的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中 几何综合
多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合
问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、 100%
相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、 80%
图形变换的性质和二次函数的最值等相关知
60%
识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等
数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图 40%
形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问 20%
题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综
0%
合问题中各题型的考查热度. 题型一 题型二 题型三
题型一 线段最值问题
分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
解题模板：
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①动点路径问题
【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体 （图1）．因为在平面 中， ， 与 相交于点A，所以
直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 ，求既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到 ， 的距离分别是2和5，点N到 ， 的距离分别是4和3，
P是 上一动点，求 的最小值．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1） ；（2）①丙；②10
【分析】（1）连接 ，则 为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线 与 所
成角的大小；
（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；
②根据对称关系作辅助线即可求得 的最小值．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ ， 与 相交与点 ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ，
根据正方体性质可得： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ；
（2）①根据正方体展开图可以判断，
甲中与原图形中对应点位置不符，
乙图形不能拼成正方体，
故答案为丙；
②如图：作M关于直线AB的对称点 ，
连接 ，与 交于点P，连接MP，
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则 ，
过点N作BC垂线，并延长与 交于点E，
∵点M到 的距离是5，点N到 的距离是3，
∴ ，
∵点M到 的距离是2，点N到 的距离是4，
∴ ，
∴ ，
故 最小值为10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识
点，读懂题意，明确 最小时的情况是解题的关键．
【变式1-1】（山东日照-中考真题）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形
ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点△F，连接BE．
（1）求证： ABC≌△BDF；
（2）P，N分△别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）见解析；（2）14
【分析】（1）根据正方形的性质得出BD=AB，∠DBA=90°，进而得出∠DBF=∠CAB，因为
∠C=∠DFB=90°．根据AAS即可证得结论；
（2）根据正方形的性质AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，
作DP ⊥AC，交BE于点N，垂足为P，则AN+PN的最小值等于DP =FC=14．
1 1 1 1
【详解】（1）证明：∵Rt ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°． △
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP⊥AC，交BE于点N ，垂足为P，
1 1 1
所以，AN+PN的最小值等于DP＝FC＝14．
1
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握正方形的性
质是解题关键．
【变式1-2】（江苏连云港-中考真题）如图，四边形 为平行四边形，延长 到点 ，使 ，
且 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 是边长为2的等边三角形，点 、 、 分别在线段 、 、 上运动，求 的
最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据四边形 为平行四边形的性质和 证明四边形 为平行四边形，再
根据 ，即可得证；
（2）先根据菱形对称性得，得到 ，进一步说明 的最小值即为菱形的高，再
利用三角函数即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
又∵点 在 的延长线上，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形．
（2）解：如图，由菱形对称性得，点 关于 的对称点 在 上，
∴ ，
当 、 、 共线时，
，
过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ 的最小值即为平行线间的距离 的长，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，
运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023-四川自贡-中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分
别是斜边 ， 的中点， ．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可
求解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据旋转的性质求得 ，进而得出
，进而可得 ，勾股定理解 ，即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ， ，
当 在 的延长线上时， 的距离最大，最大值为 ，
当 在线段 上时， 的距离最小，最小值为 ；
（2）解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 绕顶点 逆时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角
三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
②“胡不归”问题
【例2】（2023-江苏泰州-三模）如图，已知 中， ，E是 上的一点，
，点D是线段 上的一个动点，沿 折叠 ，点C与 重合，连接 ．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证： ；
(2)若点F是 上一点，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）折叠，得到 ，根据 的值，求出 的值，进而得到 ，再根据
，即可得证；
（2）根据相似的性质得到 ，得到 ，得到当 三点共线时，
的值最小为 的长，过点 作 于点 ，易得 ，求出 的长，利用勾
股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：∵沿 折叠 ，点C与 重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴
∴当点E，点 ，点F三点共线时， 有最小值为 的长，
如图，过点E作 于H，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相似三角
形的判定定理，证明三角形相似．
【变式2-1】（2023-广东广州-二模）如图①，在四边形 中， ， ，
．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求 的度数；
(2)如图②， 为线段 的中点，连接 ，求证： ；
(3)如图③，若 ，线段 上有一动点 ，连接 ，将 沿 所在直线翻折至
的位置， 为 的对应点，连接 ， ，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，连接 ．求出 ， ，可得结论；
（2）如图2中，连接 ，延长 到 ，使得 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
证明 ，推出 ，再证明 ，推出 ，可得结论；
（3）如图3中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ． ．证明 ，推出
，推出 ，推出 ，由 ，推出当点 与 重合时，
的值最小，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，连接 ．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
， ， ，
，
；
（2）证明：如图2中，连接 ，延长 到 ，使得 ，在 上取一点 ，使得 ，连
接 ．
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，
，
， ，
，
，
；
（3）解：如图3中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
，
， ，
，
点 在 上运动，设 交圆弧于点 ，连接 ．
， ， ，
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
，
，
，
，
，
当点 与 重合时， 的值最小，
，
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形
的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【变式2-2】（2023-广东广州-二模）如图，菱形 中， ， ，点 、 分别为线段 、
上的动点，点 为边 的中点，连接 ， ．
(1)求 的长；
(2)连接 ，若 ，求证： ；
(3)若 ，试求 的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)
【分析】（1）证明 是等边三角形，即可求解；
（2）延长 至 ，使得 ，在 上取 ，连接 ，证明 ，可得
， ，证明四边形 是平行四边形，可得 ，即可得出 ，进
而证明 ，即可得证；
（3）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，当 三点共线时，
，此时 取得最小值， 为 的中点，当 为 的中点时（或者
设其他点为中点，再证明 为中点），过点 作 于点 ，勾股定理解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，延长 至 ，使得 ，在 上取 ，连接 ，
在 与 中，
∴
∴ ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则
在 中， ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，
当 三点共线时， ，此时 取得最小值，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 三点共线
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，当 为 的中点时，
∴ ， ，则 ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∵
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 是 的中点时， 三点共线，
过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转
的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如
果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= ，设BE= ，
则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得DF= ，从而得到四边形ABEF
的面积s= S ABD - S DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到
△ △
BE=CE= BO= ，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
CF和CE分别达到最小值；再由 ，可得当 ，即BE= 时， s达到最小值，
从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°= = ，
∴BD=2BO= ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= BE
∵ ，
∴MN= ，
设BE= ，则EN= ，
∴EM=MN-EN= ，
∵S ABCD= AD▪MN= ，
菱形
∴S ABD= S ABCD= ，
菱形
△
∵BE= DF，
∴DF= ，
∴S DEF= DF ▪EM= = ，
△
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ，
△ △
∵点E在BD上，且不在端点，∴0
