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压轴题解题模板 04
几何综合
目 录
题型一 线段最值问题
①动点路径问题
②“胡不归”问题
③“将军饮马”问题
④“造桥选址”问题
题型二：面积平分问题
题型三 面积最值问题
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题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
几何综合问题在中考中以填空题和解答题
的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中 几何综合
多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合
问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、 100%
相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、 80%
图形变换的性质和二次函数的最值等相关知
60%
识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等
数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图 40%
形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问 20%
题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综
0%
合问题中各题型的考查热度. 题型一 题型二 题型三
题型一 线段最值问题
分类：①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
解题模板：
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①动点路径问题
【例1】（山东济宁-中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体 （图1）．因为在平面 中， ， 与 相交于点A，所以
直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 ，求既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到 ， 的距离分别是2和5，点N到 ， 的距离分别是4和3，
P是 上一动点，求 的最小值．
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【答案】（1） ；（2）①丙；②10
【分析】（1）连接 ，则 为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线 与 所
成角的大小；
（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；
②根据对称关系作辅助线即可求得 的最小值．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ ， 与 相交与点 ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ，
根据正方体性质可得： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ；
（2）①根据正方体展开图可以判断，
甲中与原图形中对应点位置不符，
乙图形不能拼成正方体，
故答案为丙；
②如图：作M关于直线AB的对称点 ，
连接 ，与 交于点P，连接MP，
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则 ，
过点N作BC垂线，并延长与 交于点E，
∵点M到 的距离是5，点N到 的距离是3，
∴ ，
∵点M到 的距离是2，点N到 的距离是4，
∴ ，
∴ ，
故 最小值为10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识
点，读懂题意，明确 最小时的情况是解题的关键．
【变式1-1】（山东日照-中考真题）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形
ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点△F，连接BE．
（1）求证： ABC≌△BDF；
（2）P，N分△别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．
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【答案】（1）见解析；（2）14
【分析】（1）根据正方形的性质得出BD=AB，∠DBA=90°，进而得出∠DBF=∠CAB，因为
∠C=∠DFB=90°．根据AAS即可证得结论；
（2）根据正方形的性质AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，
作DP ⊥AC，交BE于点N，垂足为P，则AN+PN的最小值等于DP =FC=14．
1 1 1 1
【详解】（1）证明：∵Rt ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°． △
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP⊥AC，交BE于点N ，垂足为P，
1 1 1
所以，AN+PN的最小值等于DP＝FC＝14．
1
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【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握正方形的性
质是解题关键．
【变式1-2】（江苏连云港-中考真题）如图，四边形 为平行四边形，延长 到点 ，使 ，
且 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 是边长为2的等边三角形，点 、 、 分别在线段 、 、 上运动，求 的
最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据四边形 为平行四边形的性质和 证明四边形 为平行四边形，再
根据 ，即可得证；
（2）先根据菱形对称性得，得到 ，进一步说明 的最小值即为菱形的高，再
利用三角函数即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
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∴ ，
又∵点 在 的延长线上，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形．
（2）解：如图，由菱形对称性得，点 关于 的对称点 在 上，
∴ ，
当 、 、 共线时，
，
过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ 的最小值即为平行线间的距离 的长，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，
运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023-四川自贡-中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分
别是斜边 ， 的中点， ．
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(1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出 的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可
求解；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据旋转的性质求得 ，进而得出
，进而可得 ，勾股定理解 ，即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ， ，
当 在 的延长线上时， 的距离最大，最大值为 ，
当 在线段 上时， 的距离最小，最小值为 ；
（2）解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
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∵ 绕顶点 逆时针旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角
三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
②“胡不归”问题
【例2】（2023-江苏泰州-三模）如图，已知 中， ，E是 上的一点，
，点D是线段 上的一个动点，沿 折叠 ，点C与 重合，连接 ．
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(1)求证： ；
(2)若点F是 上一点，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）折叠，得到 ，根据 的值，求出 的值，进而得到 ，再根据
，即可得证；
（2）根据相似的性质得到 ，得到 ，得到当 三点共线时，
的值最小为 的长，过点 作 于点 ，易得 ，求出 的长，利用勾
股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：∵沿 折叠 ，点C与 重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴
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∴ ，
∴
∴当点E，点 ，点F三点共线时， 有最小值为 的长，
如图，过点E作 于H，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相似三角
形的判定定理，证明三角形相似．
【变式2-1】（2023-广东广州-二模）如图①，在四边形 中， ， ，
．
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(1)求 的度数；
(2)如图②， 为线段 的中点，连接 ，求证： ；
(3)如图③，若 ，线段 上有一动点 ，连接 ，将 沿 所在直线翻折至
的位置， 为 的对应点，连接 ， ，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，连接 ．求出 ， ，可得结论；
（2）如图2中，连接 ，延长 到 ，使得 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
证明 ，推出 ，再证明 ，推出 ，可得结论；
（3）如图3中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ． ．证明 ，推出
，推出 ，推出 ，由 ，推出当点 与 重合时，
的值最小，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，连接 ．
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， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
， ， ，
，
；
（2）证明：如图2中，连接 ，延长 到 ，使得 ，在 上取一点 ，使得 ，连
接 ．
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
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，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，
，
， ，
，
，
；
（3）解：如图3中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
，
， ，
，
点 在 上运动，设 交圆弧于点 ，连接 ．
， ， ，
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，
，
，
，
，
，
，
，
当点 与 重合时， 的值最小，
，
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形
的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【变式2-2】（2023-广东广州-二模）如图，菱形 中， ， ，点 、 分别为线段 、
上的动点，点 为边 的中点，连接 ， ．
(1)求 的长；
(2)连接 ，若 ，求证： ；
(3)若 ，试求 的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
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(3)
【分析】（1）证明 是等边三角形，即可求解；
（2）延长 至 ，使得 ，在 上取 ，连接 ，证明 ，可得
， ，证明四边形 是平行四边形，可得 ，即可得出 ，进
而证明 ，即可得证；
（3）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ，当 三点共线时，
，此时 取得最小值， 为 的中点，当 为 的中点时（或者
设其他点为中点，再证明 为中点），过点 作 于点 ，勾股定理解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，延长 至 ，使得 ，在 上取 ，连接 ，
在 与 中，
∴
∴ ，
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∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则
在 中， ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，
当 三点共线时， ，此时 取得最小值，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
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∵ 三点共线
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，当 为 的中点时，
∴ ， ，则 ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∵
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 是 的中点时， 三点共线，
过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转
的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-3】（广东广州-中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
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(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如
果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= ，设BE= ，
则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得DF= ，从而得到四边形ABEF
的面积s= S ABD - S DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到
△ △
BE=CE= BO= ，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，
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CF和CE分别达到最小值；再由 ，可得当 ，即BE= 时， s达到最小值，
从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°= = ，
∴BD=2BO= ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
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∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= BE
∵ ，
∴MN= ，
设BE= ，则EN= ，
∴EM=MN-EN= ，
∵S ABCD= AD▪MN= ，
菱形
∴S ABD= S ABCD= ，
菱形
△
∵BE= DF，
∴DF= ，
∴S DEF= DF ▪EM= = ，
△
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ，
△ △
∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即 ；
①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
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∴BE=CE= BO= ，
此时 = ，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为 ；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH= ，
∵ ，
∴当 ，即BE= 时， s达到最小值，
∵BE= DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+ CF的值达到最小，
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其最小值为CO+ CH= =12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直
角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解
直角三角形等知识是解题的关键．
③“将军饮马”问题
【例3】
【变式3-1】（23-24九年级上-黑龙江大庆-期中）如图，以矩形 的顶点 为原点， 所在的直线为
轴， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系．已知 ， ，点 是 的中点，在 上
取一点 ，将 沿 翻折，使点 落在 边上的点 处．
(1)直接写出点 、 的坐标；
(2)连接 交 于点 ，求 的面积．
(3)在 轴、 轴上是否分别存在点 、 ，使得四边形 的周长最小？如果存在，求出周长的最小
值和直线 的函数解析式；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 的面积为
(3)在 轴、 轴上存在点 、 ，使得四边形 的周长最小；
四边形 的周长最小为 ；直线 的函数解析式：
【分析】（1）根据 ， ，点 是 的中点，即可得到点 的坐标；利用折叠性质可得
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， ，即可得到点 的坐标；
（2）利用折叠性质可以得到 ， ，从而得到 ，
，利用比例性质可以得到 ，利用同高可以得到 ，根据 即可求出
的面积；
（3）如图，作点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，连接 ， 与 轴、 轴
上交于点 、点 ，此时的点 、 使得四边形 的周长最小，利用勾股定理求出 ，
，即可得到四边形 的周长最小值；将点 ，点 ，代入 ，利用待定系
数法即可求出直线 的函数解析式；
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点 ， 点 ，点 ，
∵点 是 的中点，
∴点 ；
∵将 沿 翻折，使点 落在 边上的点 处．
∴ ， ，
点 ；
（2）∵ 沿 翻折，使点 落在 边上的点 处．
∴ ，
∴ ， ，
即： ，
∴
，
∴ ，即：
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
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（3）在 轴、 轴上存在点 、 ，使得四边形 的周长最小；
如图，作点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，连接 ， 与 轴、 轴上交于
点 、点 ，此时的点 、 使得四边形 的周长最小；
由对称性可知：点 ，点 ， ， ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
；
四边形 的周长最小为： ；
设直线 的函数解析式 ，
∵直线 经过点 ，点 ，代入得：
，解得：
直线 的函数解析式： ．
【点睛】本题考查线段长度与点的坐标的转化，折叠的性质，相似三角形判定与性质及同高转化面积比，
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待定系数法求函数解析式，线段和最小问题的基本解题思路是利用对称转化为两点之间的距离问题，综合
性较强，熟练掌握折叠性质及线段和最小的方法是解决本题的关键．
【变式3-2】（天津西青-一模）如图①，将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 的坐标是
，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 是 的中点，在 上取一点 ，将 沿
翻折，使点 落在 边上的点 处．
（1）求点 、 的坐标；
（2）如图②，若点 是线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 于点 ，
设 的长为 ， 的面积为 ，请求出 关于 的关系式；
（3）如图③，在 轴、 轴上是否分别存在点 、 ，使得四边形 的周长最小？若存在，请求出
四边形 周长的最小值及此时点 、 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）点 的坐标是 ，点 坐标为 ；（2） ；（3）存在， 在
轴、 轴上分别存在点 、 ，使得四边形 的周长最小，最小值为 ．
【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；
（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；
（3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此
时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．
【详解】解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），
∴OA=3，OC=2，
根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，
由折叠知DA=DF=OC=2，
∴OD=OA-DA=1，
∴点F坐标为（1，2），
∵点E是AB的中点，
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∴EA=1，
∴点E的坐标是（3，1）；
（2）如图2
∵将 BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF=△AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，
若设OP的长为x，
则，PD=x-1，
在Rt ABD中，AB=2，AD=2，
∴∠A△DB=45°，
在Rt PDH中，PH=DH=DP× = （x-1），
△
∴S= ×DH×PH= × （x-1）× （x-1）= （1＜x＜3）；
（3）如图3
作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边
形MNFE的周长最小，
可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），
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用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=- ，
当x=0时，y= ，当y=0时，x= ，
∴N（0， ），M（ ，0），
此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF= ；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+ ．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定
理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键．
【变式3-3】（陕西宝鸡）问题提出
（1）在图1中作出点 关于直线 的对称点
问题探究
（2）如图2，在 中， ， ， 为 的中点， 为线段 上一点，求
的最小值.
问题解决
（3）如图3，四边形 为小区绿化区， ， ， ， ， ，
是以 为圆心， 为半径的圆弧.现在规划在 ，边 和边 上分别取一点 ， ， ，使得
为这一区域小路，求小路长度的最小值.
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据对称性即可作图；
（2）作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 值最小，连接 ，根据图形的
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特点及等边三角形的性质即可求解；
（3）因为 为定值，所以即求 的最小值，连接 ， ，分别以 ， 所在的直线为
对称轴作点 的对称点 ， ，连接 ，此时 的值最小，即为 长，根据图形的特点、
等边三角形的性质与勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图1所示，点 即为所求.
（2）如图2，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 值最小，连接 .
∵ ，
∴ .
∵ 垂直平分 ，
∴ 为等边三角形.
∵点 为中点，
∴ ，
∴ .
（3）要求 的最小值，因为 为定值，
所以即求 的最小值.
如图，连接 ， ，分别以 ， 所在的直线为对称轴作点 的对称点 ， ，连接 ，此时
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的值最小，即为 长.
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
当 ， ， 三点共线时值最小，
由题知 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．
④“造桥选址”问题
【例4】（23-全国）有一条以互相平行的直线 为岸的河流，其两侧有村庄 和村庄 ，现在要在河上
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建一座桥梁 （桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案．
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄 作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄 连接与河岸 相交于一点 ，
过点 作 与 相交于点 ，
连接 ，则 即为最短路径，
如图 所示，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大．
【变式4-1】（湖北黄石）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离
AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，
M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一
条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，
AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
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【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN
垂直于另一条河岸，
则MN∥BB′且MN＝BB′，
于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，
∴在RT ABC中， ，
△
在RT AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，
△
∴AB′＝ 千米；
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，
需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，
往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
【变式4-2】（23-24全国）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，须经过
两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使 到
的路程最短，请确定两座桥的位置．
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【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点 向下平移至点 ，点 向右平移至点 ，构造平行四边形
进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
，
将点 向下平移至点 ，使 的长等于河宽，将点 向右平移至点 ，使 的长等于河宽；连接 ，
与河岸相交于点 ， ；过点 作 于点D，过点 作 于点 ，则 ， 即为两
桥的位置．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行
四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
【变式4-3】已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为1千米，A、B两村庄的直线距离 AB＝10千米，
A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A
村庄的河岸上一点，求AM＋BN的最小值．
【答案】 ．
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条
河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，
AB′最短，即AM＋BN最短，此时AM＋BN＝AB′．
【详解】作BB`垂直于河岸，使BB`等于河宽，连接AB`，与靠近A的河岸相交于M， 作MN垂直于另一
条河岸，
则MN∥BB`且MN＝BB`， 于是MNBB`为平行四边形，
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故MB`＝BN，
当AM＋MB′＝AB时，AM＋BN最小，
∵AB＝10，BC＝1＋3＋1＝5，
∴在Rt△ABC中， ，
在Rt△AB`C中，B`C＝5－1＝4千米，
∴ ．
【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么
简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．
目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
题型二：面积平分问题
解题模板：
技巧精讲
1：利用中线平分图形面积的方法
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2.利用对称性平分图形面积的方法
【例5】（三角形或规则图形）（2023-湖南益阳-中考真题）如图，在 中， ，
，点D在边 上，将线段 绕点D按顺时针方向旋转 得到 ，线段 交 于点E，
作 于点F，与线段 交于点G，连接 ．
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(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，当 平分四边形 的面积时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，再根据 ，可得 ，
即可；
（2）根据 ，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到 ，
，从而得到 ，进而得到 ，可证明 ，即可；
（3）连接 ，根据 ， ，可得 ， ， ，设
，则 可得 ， ， ， ，
， ，再由 平分四边形 的面积，可得 ，
从而得到关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段 绕点D按顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ；
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（2）证明：∵ ，
∴点B，C，G，F四点共圆，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
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∴ ， ，
∵ 平分四边形 的面积，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： （负值舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理
等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式5-1】（2023-江苏盐城-二模）（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在 上，
米， 米， 米， 米， 米．
①探究 与 是否相似并说明理由；
②求 的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形 规划为园林绿化区，对角线 将整个四边形分成面积相等的两
部分，已知 米，四边形 的面积为 平方米，为了更好地美化环境，政府计划在
边上分别确定点E，F，在 边上确定点P，Q，使四边形 为矩形，在矩形 内种植花卉，在
四边形 剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在 之间修一条小路，并使得 最短，根据
设计要求，求出 的最小值，并求出当 最小时，花卉种植区域的面积．
【答案】（1）① ，理由见解析；②26米；（2） ， 平方米．
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【分析】（1）①通过两边对应成比例且夹角相等，证明出 ；②利用相似三角形的性质即
可求出 的长；
（2）作 交 于点G，通过三角形 的面积求出 的长，然后通过 得到
，用含有n的式子将需要的量表示出来，放在 中，通过勾股定理得到一个二次函数
解析式，利用二次函数图像和性质求出最值即可．
【详解】解：（1）① ，理由如下：
∵ 米， 米， 米， 米，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
②∵ ，
∴ ，
∴ 米．
（2）如图所示，作 交 于点G，
∵ 平方米，
∴ 平方米，
∴ 米，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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设 ，则 ，即 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最小，最小为 ，即 最小为 ，
此时 ， ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，此时花卉种植区域的面积为 平方米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图像和性质等知识点，解题的关键在于能够合
理的添加辅助线，构造相似三角形，要求能够熟练运用相似三角形的性质以及二次函数性质.
【变式5-2】（2023-陕西西安-二模）【问题探究】
（1）如图1，已知 ，点D是 的中点，连接 ，则 （填“ ”“ ”或“
”）
（2）如图2，在梯形 中， ，请过点A作一条直线 平分梯形 的面积，点P是
与 的交点，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3是某公园的一块空地，由 和四边形 组成， ， ，
米， ， ，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路 （小路面积忽
略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在 边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中
确定点M的位置，并计算小路 的长．（结果保留根号）
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【答案】（1）=；（2）图、理由见解析；（3）图见解析，AM长度为 米
【分析】（1）根据中点的定义得出 ，则 和 等底同高，推出 ；
（2）在 上取点K，使 ，作 的中点P，则直线 即为所求；设直线 ， 之间的距离
为h，则 ， ，推出 ，即可求证
；
（3）过E作 于T，过A作 于P，交 于Q，易得四边形 ，四边形 都是矩
形， 是等腰直角三角形．求出 （米）， （米）； 米
， 米； 米，则 （平方米），由等腰
直角三角形和矩形的对称性可知： （平方米）；在 中， ，即
，求出 米，进而得出 （平方米），则 （平方米）；
即可求出 （平方米）， （平方米），根据三角形面积公式求出 ，
即可求解．
【详解】解：（1）∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ 和 等底同高，
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∴ ；
故答案为：=；
（2）如图：
在 上取点K，使 ，作 的中点P，则直线 即为所求；
理由如下：
设直线 ， 之间的距离为h，
∴ ， ，
∵ ，P为 中点，
∴ ，
∴ ；
（3）过E作 于T，过A作 于P，交 于Q，如图：
理由如下：
∵ ， ， ， ，
∴四边形 ，四边形 都是矩形，
∵ 米， ，
∴ 是等腰直角三角形．
∴ （米）， （米）；
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∵ ，
∴ 米 ， 米；
∴ 米，
∴ （平方米），
由等腰直角三角形和矩形的对称性可知： （平方米）；
在 中， ，即 ，
∴ 米，
∴ （平方米），
∴ （平方米）；
∵ 将这块空地分成面积相等的两部分，
∴ （平方米），
∴ （平方米），
∴ ，
解得 ，
∴ ， ．
∴M到C的距离为 米， 长度为 米．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题关键
是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】（2023-陕西西安-三模）问题提出：
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(1)如图1， 是 的中线，则有 ___________ 填“ ”、“ ”或“ ”)．
问题探究：
(2)如图2，点 是矩形 内一点， ， ，点 与坐标原点 重合， 、 分别位于 、
轴正半轴， ， ，是否存在直线 经过点 且将矩形 分成面积相等的两部分，若存在，请求
出直线l的解析式：如不存在，请说明理由．
问题解决：
(3)如图3，长方形 是西安某学校在疫情期间为学生核酸检测围成的一个工作区域，顶点 ， 在坐
标轴上，记 为坐标原点，顶点 ， ，原有的一个出入口 在边 上，且 米．为使工作高
效有序，现计划在边 ， ， 上依次再设出入口 ， ， ，沿 ， 拉两道警戒线将工作区
域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点 ， ， ，如存在，请求出点 的坐标及
的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，即可求解；
（2）连接 、 交于点 ，过 、 作直线 则直线 即为所求，由待定系数法求出直线 的解析式
即可；
（3）根据矩形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题．
【详解】解：（1） 是 的中线，
根据等底同高的三角形面积相等，则 ，
故答案为： ；
（2）连接 、 交于点 ，如下图所示：
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四边形 是矩形，
， ， ， ， ， ，
， ，
过 、 作直线 则直线 即为所求，
设直线 的解析式为
由题意得
解得：
∴直线l的解析式为 ；
（3）如下图，在 上取 ，连接 ，则 ， ，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 是 的中位线，
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米 ，
米 ，
点 的坐标为 ， ，
由于长方形被分成四块面积相等的部分，
每块面积为： 平方米 ，
又 平方米 ，
在点N的下方取一点 ，使 平方米 ，
由 得： 米 ，
米 ，
点 坐标为 ， ，
连接 并延长交 于 ，
则 、 、 、 为所求作的点，
设 的解析式为：
则 ， ，
解得： ， ，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，三角形中线的性质，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的
性质，面积的等分线，解题关键是利用面积确定点G的位置．
【典例6】（如图，长方形 各顶点的坐标分别为 、 、 、 ，长方形
各顶点的坐标分别为 、 、 、 ．平移长方形 得到长方形 ，
且点 的坐标为 ．
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(1)画出长方形 ．
(2)如果长方形 沿 的方向平移，至 与 重合停止，设平移过程中平移的距离为 ，长方
形 与长方形 重叠的面积为S，请直接写出平移过程中S的最大值______；此时d的取值范围
为______．
(3)画出一条直线把原图长方形 与长方形 组成的复合图形分成面积相等的两部分．
【答案】(1)见解析
(2)4；
(3)见解析
【分析】（1）通过 点和 点的坐标，明确长方形平移的方式，从而可画出长方形 ．
（2）通过分析可知当长方形 完全在长方形 中时，面积取到最大值，即可求出 最大和 的取
值范围．
（3）先求出复合图形的总面积，设直线与 的交点为 ，通过面积求出 的长度，从而可画出直线．
【详解】（1）解：由题意知，长方形 向右平移了四个单位长度，向上平移了四个单位长度得到长
方形 ，作图如下：
．
（2）由题意知， ， ，
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当长方形 完全在长方形 中时，重合面积最大，为 ；
当 时，长方形 完全进入长方形 ；
当 时，长方形 开始离开长方形 ，
所以当 时， 取最大值为4．
故答案为：4； ．
（3）由题意知， ， ，
则复合图形的面积为 ，
所以复合图形面积的一半为8，
设过 点且平分复合图形面积的直线为 ，则 与 的交点在线段 上，设为 ，
，即 ，解得 ，
由于 ，所以 ，即 点是最靠近 点的线段 的一个五等分点，则画图如下：
【点睛】本题主要考查了图象的平移．解题的关键是明确平移的方式．另外，应区别开平移点和平移图形
的规律．
【变式6-1】【问题提出】
（1）如图①，点D为 的边 的中点，连接 ，若 的面积为3，则 的面积为_______；
【问题探究】
（2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接 ，作 轴于点B，若 ，
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，过点B的直线l将 分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式；
【问题解决】
（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O
为坐标原点， ，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路 （路宽
不计），并且使直线 将四边形 分成面积相等的两部分，记直线 与 所在直线的交点为D，再过
点A修一条笔直的道路 （路宽不计），并且使直线 将 分成面积相等的两部分，你认为直线 和
是否存在？若存在，请求出直线 和 的函数表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2） ；（3）存在，直线 的函数表达式为 ，直线 的函数表达式为
【分析】（1）利用三角形同高等底面积相等即可得解；
（2）利用勾股理得出 ，进而得出 ， ， ，利用三角形同高等底面积相等得出
，代入 的函数表达式可得出 ，利用待定系数法即可得出直线l的函数表达式；
（3）过点A作 轴于点M，过点B作 轴于点H，先证出 ，利用三角形面积相
等得出直线 的函数表达式为 ，由直线 经过 的中点E，可证出 ，从而得出
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，再利用待定系数法即可得出直线 的函数表达式．
【详解】（1）解：设 中， 边上的高为h，
∵点D为 的边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：6 ；
（2）解：∵ 轴于点B，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ， ．
设直线l与 的交点为C，如图②，则
，即 ，
∴ ．
由 可得到直线 的函数表达式为 ，
在 中，令 ，得 ，
∴ ；
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设直线l的函数表达式为 ．
将点 代入，得
解得 ；
∴直线l的函数表达式为 ；
（3）解：过点A作 轴于点M，过点B作 轴于点H，延长 交于点N，如图③．
∵ ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 经过点B，且点D与点B重合，
∴直线 的函数表达式为 ，
∵直线 将 的面积分为相等的两部分，
∴由（1）可知，直线 经过 的中点E，
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连接 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
将点 代入，得
解得 ；
∴直线 的函数表达式为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，三角形中点的性质等知识
点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在 轴上、 轴上， ， ，若点
的坐标为 ， ，且 ．
(1)求点 、 、 的坐标；
(2)若动点P从原点 出发沿 轴正半轴以每秒 个单位长度的速度向右运动，设点 运动的时间为 秒，求
为何值时，直线 把四边形 分成面积为 ： 的两部分；
(3)在(2)的条件下，当直线 把四边形 分成面积相等的两部分时，在 轴上找一点 ，连接 ，
使三角形 的面积与四边形 的面积相等，求点 的坐标．
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【答案】(1) ， ， ，
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）由根式的非负性可求 ， 的值，即可求解；
（2）由梯形面积公式可求四边形 的面积，由三角形的面积公式可求 的长，即可求 的值；
（3）由三角形面积公式可求 的长，即可求点 的坐标．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
解得 ， ，
∴ ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ；
（2）∵
∴四边形的面积为： ，
∵直线 把四边形 分成面积为 ： 的两部分，
∴ 或
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∵动点P从原点 出发沿 轴正半轴以每秒 个单位长度的速度向右运动，设点 运动的时间为 秒，
∴
∴ 或 ，
解得： 或
（3）解：∵当直线 把四边形 分成面积相等的两部分
∴
∴ ，
∴ ，即 ，
设 ，则
∴
即
解得： 或
∴ 或
【点睛】本题是四边形综合题，考查了根式的非负性，梯形的面积公式，三角形的面积公式，求出点 坐
标是本题的关键．
【变式6-3】如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，动点
P从点D开始沿 边向点C以每秒 的速度运动，动点Q从点B开始沿 向点A以每秒 的速度运
动，点P、Q分别从点D、B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t
秒．
(1)当t为何值时，四边形 为平行四边形？
(2)当t为何值时， 将四边形 的面积分成相等的两部分？
【答案】(1)当 秒时，四边形 是平行四边形；
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(2)当 为何值时， 将四边形 的面积分成相等的两部分．
【分析】（1）根据 ，构建方程求解即可；
（2）先计算得出梯形 的面积，再列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，则 ， ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
则有 ，
解得 ，
当 秒时，四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ， ， ， ，
∴梯形 的面积为 ，
∵ ， ， ，
由题意得 ，
解得 ，
当 为何值时， 将四边形 的面积分成相等的两部分．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用
参数构建方程解决问题．
题型三 面积最值问题
技巧精讲：
解题模板：
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【例7】（2023-山东潍坊-中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮 中，裁出一块矩形铁皮制作
工件，如图所示．经测量， ， 与 之间的距离为2米， 米， 米，
， ． ， ， 是工匠师傅画出的裁剪虚线．当 的长度为多少时，
矩形铁皮 的面积最大，最大面积是多少？
【答案】当 的长度为 米时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是 平方米
【分析】连接 ，分别交 于点 ，交 于点 ，先判断出四边形 是矩形，从而可得
，再判断出四边形 和四边形 都是矩形，从而可得
米， ，然后设矩形 的面积为 平方
米， 米，则 米， 米，利用矩形的面积公式可得 关于
的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，分别交 于点 ，交 于点 ，
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，
，
米，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
米， ，
和 都是等腰直角三角形，
，
，
设矩形 的面积为 平方米， 米，则 米， 米，
米，
米，
，
又 ， 与 之间的距离为2米， 米，
，
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由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答：当 的长度为 米时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是 平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题
关键．
【变式7-1】（2023-山东滨州-中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一边 在 轴正半
轴上，顶点 的坐标为 ，点 是边 上的动点，过点 作 交边 于点 ，作
交边 于点 ，连接 ．设 的面积为 ．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)当 取何值时， 的值最大？请求出最大值．
【答案】(1)
(2)当 时， 的最大值为
【分析】（1）过点 作 于点 ，连接 ，证明 是等边三角形，可得 ，进而证明
，得出 ，根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，连接 ，
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∵顶点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵四边形 是菱形，
∴ ， , ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，则 ，
∴
∴
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∴
∴
∴
（2）解：∵
∵ ，
∴当 时， 的值最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，坐标与图形，特殊角的三角函数值，二次函
数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，在正方形 中，线段 绕点C逆时针旋转到 处，
旋转角为 ，点F在直线 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，
①求 的大小（用含 的式子表示）．
②求证： ．
(2)如图2，取线段 的中点G，连接 ，已知 ，请直接写出在线段 旋转过程中（
） 面积的最大值．
【答案】(1)① ；②见解析；
(2) 面积的最大值为 ．
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【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到 ，据此求解即可；
②连接 ，计算得到 ，利用 证明 ，推出 是等腰直角三
角形，据此即可证明 ；
（2）过点G作 的垂直，交直线 于点H，连接 相交于点O，连接 ，利用直角三角形的
性质推出点G在以点O为圆心， 为半径的一段弧上，得到当点 在同一直线上时， 有最大
值，则 面积的最大值，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由题意得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
（2）解：过点G作 的垂线，交直线 于点H，连接 相交于点O，连接 ，
由（1）得 是等腰直角三角形，又点G为斜边 的中点，
∴ ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴点G在以点O为圆心， 为半径的一段弧上，
当点 在同一直线上时， 有最大值，则 面积的最大值，
∴ ，
∴ 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、
直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式7-3】（2023-湖北武汉-模拟预测）问题提出如图（1），在 中， ， ,连接
，探究 ．
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问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当 时，求 的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当 时，求 的值；
问题拓展
如图（3），在 中， ， ，P是 内一点， ， 交 于F，当
的面积最大时，求 的值．
【答案】问题探究（1）当 时 的值为 ；（2） 的值为 ；问题拓展（3）当
的面积最大时 的值为
【分析】（1）通过证明 ，可得 ，即可求解；
（2）通过证明 ，可得 ，即可求解；
（3）由题意可得当 时， 的面积最大，先证明 ，由相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上，
∵ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
∴当 时， 的面积最大，
如图，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点A，点E，点D，点C四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，
圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
一、解答题
1．在矩形 中， ， ，点 在边 上，将射线 绕点 逆时针旋转90°，交 延长
线于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．
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(1)如图1，连接 ，求 的度数和 的值；
(2)如图2，当点 在射线 上时，求线段 的长；
(3)如图3，当 时，在平面内有一动点 ，满足 ，连接 ， ，求 的最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ， ， ，进而根据正切函数得出
，可求出 ，由矩形 和矩形 可得，
，求出 ，证明 ，根据相似三角形的
性质即可得出答案；
（2）过点 作 于点 ，由矩形 和矩形 可得， ，
，证明 ，进而得出 ，设 ，则
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，根据 ，得出 ，求出 ，进而可得出答案；
（3）连接 ，先证明 是等边三角形， ，得出 ，
将 绕点 顺时针旋转120°， 与 重合，得到 ，进而求出 ， ，
，得出 ，可得当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，此时为
．
【详解】（1）解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由矩形 和矩形 可得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如答案图1，过点 作 于点 ，
由矩形 和矩形 可得， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：如答案图2，连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
将 绕点 顺时针旋转120°， 与 重合，得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴当点 ， ， 三点共线时， 的值最小，此时为 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题
的关键．
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2．如图，在 中， ，点 在 边上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到
，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 时，求 的长；
(3)点 在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由 即可证明 ；
（2）证明 （ ），勾股定理得到 ，在 中，勾股定理即可求解；
（3）证明 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可知 ， ， ．
．
即 ．
．
（2） 在 中， ，
．
．
，
， ．
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．
．
在 中， ．
（3）由（2）可知， ．
当 最小时，有 的值最小，此时 ．
为等腰直角三角形，
．
．
即 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出：如图，正方形 中， ， 为对角线 上的一个动点，以 为直角顶点，向右作等
腰直角 ．
(1)操作发现： 的最小值为_______，最大值为_______；
(2)数学思考：求证：点 在射线 上；
(3)拓展应用：当 时，求 的长．
【答案】(1)8，
(2)见解析
(3)当 时，
【分析】（1）当点P运动到对角线 的中点时， 值最小；当点P运动到点A或点C时， 最大．
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（2）分点P在线段 与 两种情况讨论，连接 ，只需证明 ，利用三点构成的平角为
时处在同一条直线上即可证明．
（3） ，利用 即可求解．
【详解】（1）如图2，由于点P运动到 与 垂直时，根据“垂线段最短”可知 最短，则 最短，
此时 与对角线 重合， 与 重合，
∴ ．
由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此 最长，此时： ，
则 ；
（2）连接 ，连接 交 于点 ，则 是等腰直角三角形．
①如图2，当点 在线段 上时，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴点 在线段 的延长线上．
②如图3，当点 在线段 上时，
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同理 ．
∴ ．
∴ ．
∵点 在线段 上．
综上所述，点 在射线上 上．
（3）如图2，设 ，
∵正方形边长为8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴当 时， ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解
题的关键灵活运用这些知识点．
4．如图，正方形 是边长为4米的一块板材．
操作一：现需从中裁出一个等腰直角 模具，点P在边 上，Q在正方形 的内部或边上．
(1)如图，若 ， 米，是否能裁出符合条件的 ？若能，确定Q的位置；若不能，请
说明理由．
(2)如图，连接 ，在对角线 上取点Q，连接 ，过点Q作 交边 于P，连接 ，得到
．请证明 符合裁剪要求．
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操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求
进行裁剪．即在正方形 中重新裁出的一个四边形模具，点P、Q分别在边 上．
(3)如图，若需裁出的四边形 面积为10平方米，请探究模具四边形 周长的最小值．
【答案】(1)不能，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形进行判断即可；
（2）过点Q作 于点M，延长 交 于点N，证明 ，即可推出 ，由
此得到结论；
（3）延长 至点E，使 ，证得 ，得到 ，根据面积求出 ，设
，则 ，利用勾股定理求出 的值，利用函数的性质得到当 时，
最小，故 也最小，勾股定理求出 ，即可求出四边形 周长的最
小值．
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【详解】（1）解：不能裁出符合条件的 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 与 不全等，
故 ，
故 不是等腰直角三角形，
∴不能裁出符合条件的 ；
（2）如图，过点Q作 于点M，延长 交 于点N，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）如图，延长 至点E，使 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
设 ，则 ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， 最小，故 也最小，
∴ ，
∴四边形 周长的最小值 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，勾股定理，综合掌握以上知识是解题的关键．
5．问题提出
（1）如图1，已知点 为线段 上一动点，分别过点 作 ， ，连接 . 若
， ， ，则 的最小值为 ；
问题解决
（2）如图2，某公园规划修建一块形如四边形 的牡丹园，其中 ， ， ，
， ， 的内心 处修建一个圆形喷水池，公园的入口 是 的中点， 是一
条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在 边上取点 ， 上找点 ，修建道路 为
了节省成本，需要使修建的道路最短，即 的值最小，是否存在这样的点 ，使得
的值最小？ 若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；
【分析】（1）根据矩形的判定与性质得到 ， ，再利用“两点之间，线段最短”
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及勾股定理即可解答；
（2）根据矩形的判定与性质得到 ，再根据等边三角形的性质及勾股定理解答．
【详解】解：（1）过 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴当点 在同一直线上时，由“两点之间，线段最短”可得：
的最小值为 的长度，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为 ；
（2）如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
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∴ 是等边三角形，
延长 交 于点 ，
∵ 为 为内心，
∴ 为 的高，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ （ ），
∵ 为 的内心，
∴ 为 的重心，外心，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间，线段最短，
∴当点 在同一条直线上时， 有最小值，
∴ 有最小值，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 有最小值为 ；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定与性质，两
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点之间，线段最短，根据题意画出图形是解题的关键．
6．如图，在 中， 是 边上的中线，点E是 的中点．过点A作 交 的延长线于点
F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的情况下，如果 ，点M在 线段上移动，当 有最小值时，求
的长度．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，再由点E是 的中点及对顶角相等即可证明结论；
（2）由（1）可得 ，可得 ，由平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，由直
角三角形斜边中线的性质即可判定四边形为菱形；
（3）连接 交 于M， 有最小值，则点M即为所求；由题意可得四边形 是正方形；在
线段 上任取一点 ，连接 ， ， ，则 ，由由
可得 ，即可求得 的长度．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
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∴ ；
（2）证明：四边形 是菱形．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：连接 交 于M， 有最小值，则点M即为所求，
理由如下：
∵ ，四边形 是菱形，
∴四边形 是正方形，点D与点F关于直线 对称，
∴ ，
∴ ， ，
在线段 上任取一点 ，连接 ， ， ，
则 ，
∴ 有最小值为 的长．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
即当 有最小值时， 的长度为
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【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，涉及的知识点较多，灵活运用是
关键．
7．如图1，已知 和 均为等腰直角三角形， ， ， ，点
D在线段 上，点F为 中点，点M为 中点，点N为 中点．
(1)如图1， ______， 和 之间的数量关系是______；
(2)如图2， 绕点C顺时针旋转，点G为 中点，求证：四边形 为正方形；
(3)如图3，若 ， ，在将 绕点C顺时针旋转 过程中，直线 ， 交于点H，
直接写出 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）连接 ，延长 交 于点G，证明 ，得出 ，
，推出 ，即 ，则 ，根据三角形的中位线
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定理得 ， ，根据平行线的性质得出 ，则
，即可得出结论；
（2）连接 ， 相交于点H， 交 于点P，通过证 ，得出
， ，根据三角形的中位线定理得出 ，则四边形 为菱
形，用和（1）相同的方法证明 ，即可求证四边形 为正方形；
（3）根据题意可得点D在以点C为圆心， 长为半径的圆上运动，则当 与直线 相切时，
面积最小，通过证明四边形 为正方形，得出 ， ，求出
，最后根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，延长 交 于点G，
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点F为 中点，点M为 中点，点N为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ；
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（2）证明：连接 ， 相交于点H， 交 于点P，
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点F为 中点，点M为 中点，点N为 中点，点G为 中点，
∴ ， ，
∴ ，则四边形 为菱形，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形；
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（3）解：根据题意可得：点D在以点C为圆心， 长为半径的圆上运动，
令点H到直线 距离为h，
∴ ，
∵由图可知，当 与直线 相切时， 最小，则h最小，
∴当 与直线 相切时， 面积最小，
由（2）可知， ， ，
∴ ，
∵ 与直线 相切，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴四边形 为正方形，则 ， ，
∵ ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质，解题的
关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，灵活运用三角形的中位线定理．
8．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片 的边所在的射线 上一动点，将正方形沿着 折
叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线 于点P．
判断：根据以上操作，图1中 与 的数量关系：______．
(2)迁移探究
在（1）条件下，若点E是 的中点，如图2，延长 交 于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，
求出线段 的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
在（1）条件下，如图3， ， 交于点G，取 的中点H，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)点 的位置确定， ，理由见解析
(3) 的最小值为
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【分析】（1）如图，设 ， 交于点 ，由轴对称性质可得： ， ，再结合正方形的
性质可证明 ，从而得出 ，进而得出 ；
（2）连接 ，由折叠可知 ，由题意可知 ，进而可得 可证明
，从而 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理
可得 ，进一步得出结果；
（3）取 的中点 ，再取 的中点 ，连接 ， ， ，依次求得 ， ，
，可得 ，当 、 、 共线时， 的最小值为 ．
【详解】（1）解：如图，设 ， 交于点 ，
由轴对称性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ；
（2）点 的位置确定， ，理由如下：
连接 ，由折叠可知： ， ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）取 的中点 ，再取 的中点 ，连接 ， ， ，
∵ ，
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∴ ，
∵点 是 的中点，则 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 、 、 共线时， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，
三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
9．问题背景
(1)如图1，四边形 中， ， 交于点E，其中 ，求证： ．
(2)尝试应用：如图2， 中， ， ，点 是 的中点，点 ， 是 上两点，
交 于点 ，若 ， ，求 的值．
(3)迁移拓展：如图3， 中， ， ，点 是 上一点， ，直接写出线
段 长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
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(3)
【分析】（1）根据 得到成比例线段，然后结合夹角相等得出结论；
（2）作 于点 ，根据题意得 为等腰直角三角形，结合题干数据通过设边长表示各边长度，
并证得 ，即可得出所求两条线段的长度，从而得出结论；
（3）作 的外接圆 ，过点 作 （ 点在 上方），并取 ，结合题意证明
，从而确定 ，再确定当 、 、 三点共线时， 有最小值，由此计算即可．
【详解】（1）证：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，作 于点 ，
由题意， 为等腰直角三角形， ，
则 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴设 ，则 ， ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，作 的外接圆 ，连接 、 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
过点 作 （ 点在 上方），并取 ，连接 ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 、 、 三点共线时， 有最小值，此时，最小值为 ，
∴线段 长度的最小值为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，熟练运用相似三角形的性质以及勾股定理是解题关键．
10．已知抛物线 ： ，且过点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式及其顶点坐标A；
(2)若抛物线G上两点 ， 满足：对于 ， 时，均有 成立，求出 的
取值范围；
(3)直线 ： 经过 ，点 在直线 上运动，求 最小值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）将点 代入抛物线的关系式求得 的值，即可得到抛物线的解析式，根据对称轴即可
求得顶点坐标；
（2）根据抛物线的性质可得故抛物线开口向下，当 时， 随 的增大而减小，即可求得；
（3）先求出 点坐标；过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 ，
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与直线 的交点为 ．求得直线与与 轴的交点坐标，根据锐角三角函数求得 ，即可得到
， ，推得当 、 、 三点共线时， 的值最小，求出
点 的坐标，即可求得 的最小值．
【详解】（1）∵抛物线 ： ，经过点 ．
将 代入 ，得
解得 ．
∴抛物线 的解析式为： ．
对称轴为 ，
∴顶点坐标 ．
（2）由（1）可得抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，故抛物线开口向下，当 时，
随 的增大而减小．
当 ， 时，均有 成立，故 ，即 ．
∴
解得： ．
（3）∵ 经过 ，
故将 代入 得 ．
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解得： ．
∴ ．
如图：过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 ， 与直线 的交
点为 ．
将 代入 得 ，
解得 ．
∴直线 与 轴的交点为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
当 、 、 三点共线时， 的值最小．
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∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，求一次函数的解析式，锐角三角
函数等，能够利用三角函数将 转化为 是解题的关键．
11．问题发现．（1）如图①，已知菱形 ， ，点M，N分别在 ， 上，若四边形
的面积是菱形 面积的 ，求 的度数；
问题解决：（2）如图②，四边形ABCD是一块板材，其中 ， ， ，
， ，工人师傅想用这块板材裁剪出一块四边形 的部件，使得O是 的中点，
点M，N分别在 ， 上，并要求四边形 部件的面积是四边形 板材面积的 ，求裁剪长度
的最小值．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）连接 ，作 ， ，根据菱形的性质和 可得 和 是等边
三角形，推得 ， ， ，根据四边形 的面积是菱形
面积的 可得 ，推得
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，根据全等三角形的判定和性质可得 ，即可求得；
（2）过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，根据矩形的判定可得四边形 为矩
形，根据平行线分线段成比例定理可得 ，推得 ，根据梯形中位线定理可得 ，根
据正方形的判定可得矩形 为正方形，根据勾股定理可得 ，根据四边形 部件的面积
是四边形 板材面积的 ，推得 ， ；过点 作 ，取一点 使
，连接 ， ，作 于点 ，交 于点 ，根据平行线的性质可得
，根据全等三角形的判定和性质可得 ，根据等角对等边可
得 ，根据勾股定理可得 ，推得 ， ， ， ，根据勾
股定理可得 ，根据三角形的三边关系可得 ，即可求得．
【详解】（1）连接 ，作 于E， 于F，如图：
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴
∵四边形 的面积是菱形 面积的 ，
即 ，
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故 ，
∴ ，
即
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，如图：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
又∵O是CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形，
在 中， ，
∵ ，
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∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，取一点 使 ，连接 ， ，作 于点 ，交 于点 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
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∴裁剪长度 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，平行线分
线段成比例定理，梯形中位线定理，正方形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，三角
形的三边关系，作出辅助线，借助三角形的三边关系求解是解题的关键．
12．如图①，正方形 中， ，点 是边 上的动点，点 是边 上的动点，且
，连接 ．
(1)如图①，作 ，交 于点 ，连接 ，求证；四边形 是平行四边形；
(2)如图②，延长． 、 相交于点 ，试求 的度数；
(3)如图（3），连接 ，记 ，试求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2) 的度数为 ；
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，由 ，可知 ，
，则 ， ，进而可证四边形 是平行四边形；
（2）如图②，连接 交 于 ，连接 ， ，由正方形的性质可知， 为 中点， ，
， ，证明 ，则 ， ，
，可得 是等腰直角三角形， ，由 是
的中位线，可得 ，则 ，求解即可；
（3）如图③，连接 ，由正方形的性质可知 ， ，证明
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，则 ，如图③，作 关于 对称的线段 ，交 延长线于 ，则
，如图③，在 上截取 ，过 作 于 ，使 ，连接 、 ，由
勾股定理得 ， ， ，则 ，如图③，过 作 于 ，
则四边形 是矩形，设 ，则 ， ， ， ，由勾股定理
得 ， ， ，
可求 ，则 ， ，由题意知
，由 ， ，可得 ，当
三点共线时， 最小，如图③，连接 ，则 ， ， 中，由勾
股定理得 ，则 最小值为 ，根据 ，计算求解，
可得 的最小值．
【详解】（1）证明：由正方形的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：如图②，连接 交 于 ，连接 ， ，
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由正方形的性质可知， 为 中点， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（3）解：如图③，连接 ，
由正方形的性质可知 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
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∴ ，
∴ ，
如图③，作 关于 对称的线段 ，交 延长线于 ，
∴ ，
如图③，在 上截取 ，过 作 于 ，使 ，连接 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
如图③，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
设 ，则 ， ， ， ，
由勾股定理得 ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意知 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，
如图③，连接 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 最小值为 ，
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∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等角对等边，平行四边形的判定，中位线，平行线的性质，全等三角
形的判定与性质，轴对称，正弦，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握
与灵活运用．
13．【探究发现】
（1）如图1，在 中，D为 边的中点，连接 并延长至点H，使 ，连接 ．由
，得 ，则 与 的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】
（2）如图2，在 中， 平分 ，D为 边的中点，过点D作 ，交CA的延长线于
点Q，交 边于点K．试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ， ，D为 边的中点，连接 ，E为 边
上一动点，连接 交 于点F．
①若 ．求 的长度；
②在射线 上取一点G，且 ，连接 ，直接写出 的最小值．
【答案】（1） ， ；（2） ，见详解；（3）① ；②
【分析】（1）证 ，得 ， ，再由平行线的判定得 即可；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，证 ，得 ， ，再平
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行线的性质得 ， ，然后证 ，即可得出结论；
（3）①延长 至 ，连接 ,先证明 ，得 ， ，再证明
，根据相似三角形的性质即可；②如图，过点 作 交 的延长线于点 ，点
从点 向点 动时，点 从点 向点 运动， 均同时减小，故点 在点 时， 最小，
再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解： 为 边的中点，
，
， ，
，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，理由如下：
如图2，延长 至点 ，使 ，连接 ，
为 的中点，
，
， ，
，
， ，
，
， ，
平分 ，
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，
，
；
（3）解：①延长 至 ，连接 ,
为 边的中点, ，
，
，
， ，
，
在 中， ， ， ，D为 边的中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
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，
， ，
②如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
点 从点 向点 动时，点 从点 向点 运动， 均同时减小，
故点 在点 时， 最小，
此时 ，
，即 ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
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在 中， ，
．
故 的最小值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的
判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，
熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
14．如图，在等边 中， 于点 ， 为线段 上一动点（不与 ， 重合），连接 ，
，将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 ， ， 与 所在直线交于点 ，求证： ；
(3)如图3，连接 交 于点 ，连接 ， ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，
得到 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，连接 ， ．若 ，
直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得出 ， ，进而证明 ，即可得证；
（2）过点 作 ，交 点的延长线于点 ，连接 ， ，证明四边形四边形 是平行
四边形，即可得证；
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（3）如图所示，延长 交于点 ，由（2）可知 是等边三角形，根据折叠的性质可得
， ，进而得出 是等边三角形，由（2）可得
，得出四边形 是平行四边形，则 ，进而得出
，则 ，当 取得最小值时，即 时， 取得
最小值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴
∴
即
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，过点 作 ，交 点的延长线于点 ，连接 ， ，
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∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴
∴ 垂直平分 ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ 在 的垂直平分线上，
∵
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，
又∵ ，
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∴
∴ ，
∴
在 与 中，
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（3）解：依题意，如图所示，延长 交于点 ，
由（2）可知 是等边三角形，
∴
∵将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，将 沿 所在直线翻折至
所在平面内，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴
由（2）可知 是 的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴当 取得最小值时，即 时， 取得最小值，此时如图所示，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判
定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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