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压轴题解题模板 03
几何背景下的线段最值问题
目 录
题型一 垂线段最短问题
题型二 将军饮马问题
题型三 旋转最值问题
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题型解读： 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
考查热度.
线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的
形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查
考试热度
垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用
到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理 60%
和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、 50%
转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题： 40%
①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费 30%
马点”问题；④点到直线的距离最值问题等. 20%
10%
0%
题型1 题型2 题型3
题型一 垂线段最短问题
解题模板：
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技巧精讲：垂线段最短模型
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分
别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三
角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝ AB×AC＝ BC×AD，
∴AD＝ ，
∴MN的最小值为 ；
故选：A．
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【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝
5，则DE的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【分析】根据角平分线的性质即可得到即可，
【解答】解：当DE⊥AB时，DE的值最小，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，
∴DE的最小值＝CD＝5，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适中．
【变式1-2】如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以
PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是( ）
√3 3
A. B.1 C. √2 D.
2 2
如图，CD的上方,作等边ACDM,连接PM,过点M作MHLCB于H.
∵△DPQ, △DCM都是等边三角形
∴∠CDM=∠PDQ=60°
∴DP=DQ, DM=DC,
∴△DPM≌△DQC(SAS),
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∴PM=CQ.
∴PM的值最小时，CQ的值最小，
1
当PM⊥MH时，PM的最小值=CH= CD=1
2
∴CQ的最小值为1故选:B.
题型二 将军饮马问题
解题模板：
技巧精讲：
1、“将军饮马”模型
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2、线段差最大值问题模型：
【例2】（德州中考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一
个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从
而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，
∵A、C关于BD对称，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝ ，
∴AE＝ ＝2 ，
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∴ME+MC的最小值是2 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、
M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键．
【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点
CF＝BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三
角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．
【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，
由菱形的性质可知，
AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵F点为BC的中点，AB＝2，
∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，
∴在Rt△ABF中，AF＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定MA+MF的最小值为AF的长度
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是关键．
【变式2-2】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，
F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若 CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面
积为（ ） △
A．78 B．39 C．42 D．30
【答案】D
【详解】如图，连接AD，交EF于点M．
∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD= BC=3．∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为A，AM=CM，∴此时△CDM的周长最小，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S ABC= BC·AD=
△
×6×10=30．
【变式2-3】已知点P在 内．
(1)如图①，点P关于射线 的对称点分别是G、H，连接 ．
①若 ，则 是什么特殊三角形？为什么？
②若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由；
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(2)如图②，若 ， A、B分别是射线 上的点， 于点B，点P、Q分别为
上的两个定点，且 ， ，在 上有一动点E，试求 的最小值．
【答案】(1)① 是等边三角形，理由见解析；② ，理由见解析
(2) 的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得 ， ， ．根据“有一
个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可得出 是等边三角形；②当 时，
，G、O、H在同一直线上，由此可得 与 的数量关系；
（2）过Q作 的对称点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，则 的最小值为 ，由已知条
件可得 ，易得 ， ，由此可得 是等边三角形，即可得 的长，即
的最小值．
【详解】（1）解：① 是等边三角形，
∵点P关于 对称的点为G，
∴ ， ，
同理 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
② ，
当 时， ，
∴G、O、H在同一直线上， ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：过Q作 的对称点 ，连接 ，交 于点E，连接 ，
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∴ 最小值为 ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点Q与 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即 的最小值为5．
【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴
对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
【变式2-4】（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形 中， ，点P在对角线
上，过点P作 ，交边 于点M，N，过点M作 交 于点E，连接
．下列结论：① ；②四边形 的面积不变；③当 时，
；④ 的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
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【答案】②③④
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知 ，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出 ，
，，利用 判断②；根据相似可以得到 ，判断③；利用将军
饮马问题求出最小值判断④．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在点P移动过程中，不一定 ，
相矛盾，
故①不正确；
延长 交 于点H,
则 为矩形，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
即 ，
解得： ，
∴
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确，
，
即当 的最小值，作B、D关于 的对称点 ,
把图 中的 向上平移到图2位置，使得 ，连接 ，即 为 的最小值，则
， ,
这时 ，
即 的最小值是20，
故④正确；
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故答案为：②③④
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题
的关键．
题型三 旋转最值问题
解题模板：
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技巧精讲：旋转求最值模型
【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动
点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是
．
【答案】 /
【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即
，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 为高 上的动点．
∴
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形，
∴
∴
∴ ，
∴ 点在射线 上运动，
如图所示，
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作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即
∵ ， ，
∴
∴
在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
【变式3-1】如图，在 中， ，P是 内一点，求 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】将△APC绕点C顺时针旋转 得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将 转化为
，此时当B、P、F、D四点共线时， 的值最小，最小值为BD的长；根据勾股
定理求解即可．
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转 得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的
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延长线于点E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD= ，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴ ，
∴当B、P、F、D四点共线时， 的值最小，最小值为BD的长；
∵ ，∠CAD= ，
∴∠EAD= ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转 得△DFC，将三条线段的
长转化到一条直线上．
【变式3-2】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA＋MD＋ME的最小值为 ．
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【答案】
【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC
时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值；
【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝
∴MA＋MD＋ME的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加
常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
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【变式3-3】如图，正方形 的边长为4，点 是正方形内部一点，求 的最小值．
【答案】
【分析】延长 到 ，使得 ，则 ，在 的内部作射线 ，使得
，使得 ，连接 ， ， ．先证明 ，可得 ，再证明
，可得： ，从而得到 ，计算出 的长度
即可．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，则 ，在 的内部作射线 ，使得
，使得 ，连接 ， ， ．
， ，
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，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
的值最小，最小值为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解
费马点问题，利用相似构造 与 ，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键．
一、单选题
1．如图， 的面积为12， ， 与 交于点O．分别过点C，D作 ， 的平行
线相交于点F，点G是 的中点，点P是四边形 边上的动点，则 的最小值是（ ）
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A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】先证明 ，四边形 是菱形，如图，连接 ， ，而点G是 的中点，可得 为
菱形对角线的交点， ，当 时， 最小，再利用等面积法求解最小值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是菱形，
如图，连接 ， ，而点G是 的中点，
∴ 为菱形对角线的交点， ，
∴当 时， 最小，
∵ 即矩形 的面积为12， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由菱形的性质可得： ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为1．
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故选A
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，
理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
2．已知在 中， ， ．点 为边 上的动点，点 为边 上的动点，
则线段 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂
线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：
由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF，此时E位于上图中的E 位置，
0 0
由对称性知，∠CAF=∠BAC=90°-75°=15°，
0
∴∠BAF=30°，
0
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
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BF= AB= ，
0
故选：B．
【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作
点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
二、填空题
3．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，
则点P到BC的距离是 cm．
【答案】4
【分析】利用菱形对角线平分一组对角，得到BD平分∠ABC，再利用角平分线的性质可得P到BC的距离
为4cm.
【详解】根据菱形对角线平分一组对角，
∴BD平分∠ABC，
∴ P到BC的距离=P到AB的距离，
∵P到AB的距离为PE的长，即为4cm，
∴P到BC的距离为4cm，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了菱形的性质和角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
4．如图，在 中， ．P为边 上一动点，作 于点D， 于点
E，则 的最小值为 ．
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【答案】
【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得
，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出
方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 于点D， 于点E， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小，
此时， ，
代入数据： ，
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∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的
值最小是解题的关键．
5．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别
截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小
值是 ．
【答案】
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求
出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，当C、
P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三角的性
质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
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由题意知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
6．菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、 上的动点， 的最小值为
．
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【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为
FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可
求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可
知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形 的边长为2， ，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题
的关键．
7．如图，在 中， ， ，点 在直线 上， ，点 为 上一动
点，连接 ， ．
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（Ⅰ）使 取最小值的动点 的位置在点 的 侧.（填“左”或“右”）．
（Ⅱ）当 的值最小时，请直接写出 的度数. ．
【答案】 左 /15度
【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．
（Ⅰ）作点B关于直线 对称的点D，连接 ，交直线 于点 ，此时 有最小值，即可得到
点 的位置在点 的左侧；
（Ⅱ）当 的值最小时，根据轴对称的性质得到 ，进而得到 ，再证明
，得到 ，即可得到 ．
【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线 对称的点D，连接 ，交直线 于点 ，此时
有最小值，此时点 的位置在点 的左侧；
（Ⅱ）当 的值最小时，
∵点B和点D关于直线 对称，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：左， ．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A的坐标为 ．点B的坐标为 ，
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点C的坐标为 ．
(1)作出 关于y轴对称的 ，其中 ， ， 分别是A，B，C的对应点；
(2)写出 的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得 的值最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见详解
(2)
(3)见详解
【分析】（1）先做出A，B，C三点关于y轴的对称点 ， ， ，再顺次连接 ， ， 即可；
（2） 点的坐标为 ；
（3）做B点关于x轴的对称点 ，连接 ，与x轴的交点即为所求作的P点．
此题考查关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点及将军饮马的作图问题．其关键是要理解会运用：关于x轴
对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【详解】（1）如图 即为所求；
（2） 点的坐标为 ；
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（3）如图，点P即为所求作．
9．如图1：正方形 的边长为3，E是直线 上一动点，连接 ，在 的右侧以C为直角顶点作
等腰直角三角形 ，连接 ， ．
(1)当点E在线段 上运动时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)当 时，求 的长．
(3)如图2，连接BF，则 的最小值为______．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据“边角边”证明 ,即可得到 ；
（2）分当点E在线段 上和点E在线段 延长线上两种情况分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）作 于H，先证明 得到 ，再在 延长线上截取 ，
连接 ，证明 ，从而得到 ，即可得到当点B、F、M在同一直线上时，
，此时 值最小，根据勾股定理求出 ，问题得解．
【详解】（1）解： ．
证明：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵三角形 为以C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ,
∴ ；
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（2）解：如图3，当点E在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ；
如图4，当点E在线段 延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
综上所述， 或 ；
（3）解：如图5，作 于H，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴
∵ ,
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ,
∴ ，
在 延长线上截取 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点B、F、M在同一直线上时， ，此时 的值最小，
在 中， ．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，将军饮马问题，根据已知条件
证明或构造三角形全等进行线段的转移与代换是解题关键，第（3）步解题时要借助将军饮马模型转化为
两点之间线段最短，从而解决问题．
10．
中， ．
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(1)如图1，若 ， 平分 交 于点 ，且 ．证明： ；
(2)如图2，若 ，取 中点 ，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 并延长至 ，使
，猜想线段 、 、 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若 ， 为平面内一点，将 沿直线 翻折至 ，当 取得
最小值时，直接写出 的值．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点 分别作 ， 的垂线，垂足为 ， ，易得 ，由 ，可得
，由 ，求得 ，可证得 ；
（2）延长 ，使得 ，连接 ， ，易证 为等边三角形，进而可证 ，
可得 ， ，可知 ，易证得 ，可得 ，由
可得结论；
（3）由题意可知 是等边三角形，如图，作 ，且 ，作 ，且 ，
可得 ， ，可知 ，可得 ，由
可知点 ， 都在线段 上时，
有最小值，过点 作 ，过点 作 交 延长线于 ，可得
， ，可证 ，得 ，设
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由等边三角形的性质，可得 ，进而可得 ，
，结合 可得： ，可得 ，由翻
折可知， ，可求得 的值．
【详解】（1）证明：过点 分别作 ， 的垂线，垂足为 ， ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
延长 ，使得 ，连接 ， ，
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∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 绕点 逆时针旋转 至 ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
如图，作 ，且 ，作 ，且 ，
则 ， ，
∴ ， ，
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则 ，
∴ ，则
∴ ，
∴ ，即： ，
∴
即：点 ， 都在线段 上时， 有最小值，如下图，
过点 作 ，过点 作 交 延长线于 ，
则 ，
， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，设
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ， ，
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则由 可得： ，
整理得： ，得 ，
由翻折可知， ，
∴ ．
【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，
相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全
等三角形和相似三角形是解决问题的关键．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求 最小值
【答案】
【分析】将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A ，将△A 扩大 倍，得到△ ，当点
B、P、 、 在同一直线上时， = 最短，利用勾股定理求出
即可．
【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A ，将△A 扩大，相似比为 倍，
得到△ ，则 ， ， ，
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过点P作PE⊥A 于E，
∴AE= ，
∴ E=A -AE= ，
∴P = ，
当点B、P、 、 在同一直线上时， = 最短，此时
= B ，
∵∠BA =∠BAC+∠CA =90°，AB=6， ，
∴ ．
∴ = B =
【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋
转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大
或缩小构建图形．
12．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB= ；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求 的取值范围；
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(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；② ；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决
问题；
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点
之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2 ，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝ ＝ AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，
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∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝ =AF，
∴FH＝ AF＝ ，AH＝ ＝ ，
在Rt△DFH中，DF＝ ＝ ，
∴BE＋AE＋ED的最小值为 ．
【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是
学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常
考题型．
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