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重难点 03 几何模型求最值（将军饮马模型、建桥选址
模型、胡不归模型）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中
高档题为主。本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角
三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转
化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题。
模型01 将军饮马模型
考｜向｜预｜测
将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能
力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型。在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对
称点；②两点之间，线段最短； ③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到
“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家
对这类问题有比较清晰的认识。
答｜题｜技｜巧
1. 观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移；
2. 同侧做对称点变异侧，异侧直接连线；
3. 结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点；
4. 利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型；
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1．（2024·黑龙江）如图，在矩形 中， ， ，点M是 边的中点，点N是
边上任意一点，将线段 绕点M顺时针旋转 ，点N旋转到点 ，则 周长的最小值为
（ ）
A．15 B． C． D．18
1．如图，已知 ，点 为 内部一点，点 为射线 、点 为射线 上的两个动点，
当 的周长最小时，则 ．
2．如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动点，则 的最小
值为 ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点 作 轴的垂线 ， 为直线 上一动点，
连接 ， ，则 的最小值为 ．
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4．如图，在菱形 中， ， 是 边上一个动点，连接 ， 的垂直平分线
交 于点 ，交 于点 ．连接 ．
(1)求证： ；
(2)求 的最小值．
模型02 建桥选址模型
考｜向｜预｜测
建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查
轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段
最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，
从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
答｜题｜技｜巧
（1）两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
A
A
m
m
P' P
n n
Q' Q
B B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值
为AB’.
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A
m
A
m P
B
B n
Q
n B'
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点
P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
A'
m
A
m
P
A
B
Q
B n
n B'
1.（2023·南京）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边
上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
1. 已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两
村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄
的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
2.如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、
AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
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A．4 B．4+ C．2+2 D．6
3.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分别是AD、BC边上的动点，且
∠ABC=∠MNB=60°，则BM+MN+ND的最小值是 ．
4.如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，若 为 边上的两个动点，
且 ，若想使得四边形 的周长最小，则 的长度应为__________.
5.如图，已知AB为O的直径，BC，CD是O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一
个动点，连结CE ，DE．若AB2 5，BC 2，则CEDE 的最小值是 ．
模型03 胡不归模型
考｜向｜预｜测
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中
常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方
便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
答｜题｜技｜巧
1. 构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；
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2. 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；
3. 利用“垂线段最短”原理构造最短距离；
4. 数形结合解题
1．（2023·安徽）如图， 为等边三角形， 平分 ， ，点E为 上动点，
连接 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
1．如图，菱形 的边长为5，对角线 的长为 ， 为 上一动点，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作 于点E，点P为线段 上一
动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
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3．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别
截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小
值是 ．
4．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求 的函数值的取值范围；
(3)将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求 的
最小值．
1.（2023·四川）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且
MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
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2. （2024·安徽）如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线 上运动，若⊙O的周长为 ，
，则 周长的最小值是 ．
3．（2023·浙江）如图，平行四边形 中， ， ， ，P为边CD上的一动点，
则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川）如图，在 中， ，若 D 是 边上的动点，则
的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点 ，使得 的值最小．解法：如图1，作A点关于直
线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且 的最小值为 ．
请利用上述模型解决下列问题：
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(1)几何应用：如图2， 中， ， ， 是 的中点， 是 边上的一动点，则
的最小值为 ；
(2)几何拓展：如图3， 中， ， ，若在 、 上各取一点 、 使 的
值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
6．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图 1所示，已知 A，B是直线 l同旁的两个定点．在直线 l上确定一点 P，并连接 与 ，使
的值最小．
问题探究：
(2)如图 2 所示，正方形 的边长为 2，E 为 的中点，P 是 上一动点．连接 和 ，则
的最小值是___________；
问题解决：
(3)某地有一如图 3 所示的三角形空地 ，已知 ，P 是 内一点，连接 后测得
米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 分别是 边上的
任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值．
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1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动
点，则BE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．3√2 C．3√3 D．3
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点，
则DQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．√5
3.如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动
点，则△PMN周长的最小值是（ ）
2 4
A．3 B． C． D．6
3 3
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC
＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
5．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN
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的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
6．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥
与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝
2，当BP＝（ ）时，四边形APQE的周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．2√2
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