FY25暑假初三B14一模专题复习——相似证明1教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

14B 一模专题复习——相似证明 1
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）A/8字型相关的几何证明
（2）斜A，斜8型相关的几何证明
（3）母子型相关的几何证明
2. 考情分析
几何证明是中考必考的一道解答题，通常出现在一模/二模以及中考试卷的第23题，分值
为12分，期中第二小问在中考“811”难度中，属于第一个“1”。
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：A/8字型，斜 A，斜8，母
85分钟
子型相关的几何证明
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站——A/8字型，斜A，斜 8，母子型相关的几何证明
【建议时长：85分钟】每一道几何证明题，建议学生完成时间控制在 10-12分钟
以内。
知识笔记
1. 正A字型
条件：若
2
∠ A D E = ∠ B
结论：①  A D E ∽  A B C
②
A
A
D
B
=
A
A
E
C
=
D
B
E
C
3. 斜A字型
条件：若 ∠ A E D = ∠ B
结论：①  A D E ∽  A C B
②
A
A
D
C
=
A
A
E
B
=
D
B
E
C
③ A D A B = A E A C
2. 正8字型
条件：若 ∠ A = ∠ D
结论：①  D E C ∽  A B C
AB AC BC
= =
② DE CD CE
4. 斜8字型
条件：若∠A=∠D
结论：①  B D P ∽  C A P
② AP PB=CP PD
③ BDP∽CAP
  A P D ∽  C P B
B
D
C
A
E
A
D
E
B C
E
A
C
D
B
C
A
P
D
B5. 一般母子型（斜A共边型）
条件：
3
∠ A B D = ∠ C
结论：①  A B D ∽  A C B
② AB2 = ADAC
6. 射影定理
条件： A B ⊥ C D , AC⊥CB
结论：




A
C
A
C
B
C
D
D
D
∽
∽
∽



A
A
C
B
B
B
C
C
D



A
AB
AA
B
C
BC
BC
C
=
=
=
A
AB
BC
B
D
CD
CD
D
=
=
=
C
BC
AA
C
D
CD
CD
D



A
B
C
C
C
D
2
2
2
=
=
=
A
B
A
D
D
D
A
B
B
B
A
D
【教学建议】教师可以利用“顺证”、“逆推”和“顺逆结合”的思想引导学生理解并完成练习。
顺证：从已知条件出发，顺着推证。由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证
的结论。
逆推：从要求证的结论出发，倒着分析。由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、
已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。这种证明方法的关键在于要保证分析过
程的每一步都是可以逆推的。
顺逆结合：分别从已知条件和所证结论出发，顺逆结合推理。
A
B
C
D
A
D
C
B考点一：正8、斜8字型
例题1-1:
（★★★★☆）（2023•虹口区一模）如图，在四边形
4
A B C D 中，对角线BD与 A C 交于点F ，
 A D B =  A C B ．
（1）求证：  A B D =  A C D ；
（2）过点 A 作 A E / / D C 交 B D 于点 E ，求证： E F  B C = A D  A F ．
【常规讲解】
证明：（1）  A D B =  A C B ，  A F D =  B F C ，
  A D F ∽  B C F ，

AF DF
= ，
BF CF

A
D
F
F
=
B
C
F
F
，
AFB=DFC，
  A F B ∽  D F C ，
ABF =DCF，即ABD=ACD；
（2） A E / / D C ，
  A E F =  C D F ，
 A F E =  C F D ，
  A F E ∽  C F D ，

E
D
F
F
=
A
C
F
F
，

D
A
F
E
B C
EF DF
= ，
AF CF
由（1）知ADF∽BCF ，
AD DF
 = ，
BC CF
5
E
A
F
F
=
A
B
D
C
，
 E F  B C = A D  A F ．
例题1-2:
（★★★★☆）（2022•虹口区一模）如图，在梯形ABCD中，  A B C = 9 0  ， A D / / B C ，
B C = 2 A D ，对角线 A C 与BD交于点 E ．点 F 是线段 E C 上一点，且  B D F =  B A C ．
（1）求证： E B 2 = E F  E C ；
（2）如果 B C = 6 ， s in  B A C =
2
3
，求FC的长．
【常规讲解】（1）证明： A D / / B C ，
  E A D ∽  E C B ，

EA ED
= ，即
EC EB
E
E
A
D
=
E
E
C
B
，
 B D F =  B A C ，  A E B =  D E F ，
  E A B ∽  E D F ，

EB EA
= ，
EF ED

E
E
B
F
=
E
E
C
B
，
EB2 =EFEC．
（2）解： B C = 6 ， s in  B A C =
B
A
C
C
=
2
3
， B C = 2 A D
AC=9，AD=3，
 A B C = 9 0  ，AD//BC，
BAD=90，
AB= AC2 −BC2 = 92 −62 =3 5，
BD= AD2 + AB2 = 32 +(3 5)2 =3 6 ，
A
B
E
D
F
CEAD∽ECB，
6

EA ED AD 3
= = = ，
EC EB BC 6
 E C =
2
3
A C =
2
3
 9 = 6 ， E B =
2
3
B D =
2
3
 3 6 = 2 6 ，
E B 2 = E F  E C ，即 ( 2 6 ) 2 = 6 E F ，
 E F = 4 ，
 F C = E C − E F = 6 − 4 = 2 ．
练习1:【学习框8】
（★★★★☆）（2021•杨浦区一模）已知：如图，在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，对角线 B D 、
A C 相交于点 E ，过点 A 作 A F / / D C ，交对角线 B D 于点 F ．
（1）求证：
D
B
F
D
=
D
B
E
E
；
（2）如果  A D B =  A C D ，求证：线段 C D 是线段 D F 、 B E 的比例中项．
【常规讲解】证明：（1） A D / / B C ，
  C B D =  A D F ，  A D C +  B C D = 1 8 0  ，
A F / / C D ，
  A D C +  D A F = 1 8 0  ，
DAF =BCD，
  D A F ∽  B C D ，

AD DF
= ，
BC BD
A D / / B C ，
ADE∽CBE，

AD DE
= ，
BC BE
DF DE
 = ；
BD BE
B
A
E
F
D
C（2） ADB=ACD，ADB=CBD，
7
  E C D =  C B D ，
而CDE=BDC，
  D C E ∽  D B C ，

DC DE
= ，
BD DC
 D C 2 = D E  D B ，
DF DE
= ，
BD BE
 D E  D B = D F  B E ，
 D C 2 = D F  B E ，
即线段 C D 是线段 D F 、 B E 的比例中项．
考点二：正 A字型，母子（共边）模型
例题2:
（★★★★☆）（2023•杨浦区一模）已知：如图，在  A B C 中，点 D 、 E 、F 分别在边 A C 、
BD、 B C 上， A B 2 = A D  A C ，  B A E =  C A F ．
（1）求证：  A B E ∽  A C F ；
（2）联结 E F ，如果BF =CF，求证：EF //AC．
A
D
E
B F C
【常规讲解】
证明：（1）如图：
AB2 =ADAC，
AB AC
 = ，
AD AB
BAC=DAB，ABC∽ADB，
8
  A C B =  A B D ，
 B A E =  C A F ，
  A B E ∽  A C F ；
（2）如图：
由（1）知  A B C ∽  A D B ，  A B E ∽  A C F ，

A
A
B
C
=
B
B
D
C
，
A
A
B
C
=
B
C
E
F
，

B
B
D
C
=
B
C
E
F
，
B F = C F ，
BD BE BF BE
 = ，即 = ，
BC BF BC BD
 E B F =  D B C ，
EBF∽DBC，
  B E F =  B D C ，
 E F / / A C ．
练习2:【学习框10】
（★★★★☆）（2021•虹口区一模）如图，在ABC中，点 D 、 G 在边AC上，点 E 在边 B C
上， D B = D C ， E G / / A B ，AE、 B D 交于点F ， B F = A G ．
（1）求证：  B F E ~  C G E ；
（2）当  A E G =  C 时，求证： A B 2 = A G  A C ．
【常规讲解】证明：（1） D B = D C ，
DBC=DCB，
E G / / A B
A
D
E
B F C
A
D
G
F
C
B E
，
CE CG
 = ，
BE AGBF = AG，
9

C
B
E
E
=
C
B
G
F
，
  B F E ~  C G E ；
（2）  B F E ~  C G E ，
  B E F =  G E C ，  B F E =  E G C ，
 A E G =  C ，GEB=AEG+AEB=C+EGC，
  A E B =  E G C ，
BEF =GEC=BFE=EGC，
 B E = B F ， E C = G C ，
BE= AG，
G E / / A B ，
  A E G =  B A E ，
  B A E =  C ，
又 ABE=ABC，
  A B E ∽  C B A ，

AB BE
= ，
AC AB
AB2 = ACBE=ACAG．考点三：斜 8字型，母子（共边）模型
例题3:
（★★★★☆）（2022•徐汇区一模）如图，已知
10
R t A B C 中，ACB=90，射线 C D 交 A B 于
点 D ，点 E 是 C D 上一点，且  A E C =  A B C ，联结 B E ．
（1）求证：  A C D ∽  E B D ；
（2）如果 C D 平分  A C B ，求证： A B 2 = 2 E D  E C ．
【常规讲解】证明：（1）  A E C =  A B C ，  A D E =  B D C ，
  A D E ∽  C D B ，

AD DE
= ，
CD BD
又 ADC=EDB，
  A C D ∽  E B D ；
（2）  A D E ∽  C D B ，
  D C B =  E A B ，
 A C D ∽  E B D ，
ACD=EBD，
 A C B = 9 0  ，
EAB+EBD=DCB+ACD=90，
  A E B = 9 0  ，
C D 平分ACB，
ACD=BCD=45，
  E B D =  E A B = 4 5  ，
EA=EB，
EAB是等腰直角三角形，
EAD=ACE，AED=CEA，
A
C
D
E
BAED∽CEA，
11

AE EC
= ，
ED AE
 A E 2 = E D  E C ，
A E 2 + E B 2 = A B 2 ，
 2 A E 2 = A B 2 ，
 A E 2 =
1
2
A B 2 ，

1
2
A B 2 = E D  E C ，
 A B 2 = 2 E D  E C ．
练习3:【学习框12】
（★★★★☆）（2022•青浦区一模）已知：如图，在四边形 A B C D 中，AC、 B D 相交于点 E ，
 A B D =  C B D ， D C 2 = D E  D B ．
（1）求证：AEB∽DEC；
（2）求证：BCAD=CEBD．
【常规讲解】证明：（1） D C 2 = D E  D B ，

DC DB
= ，
DE DC
 C D E =  B D C ，
  D C E ∽  D B C ，
DCE=DBC，
ABD=DBC，
  D C E =  A B D ，
 A E B =  D E C
A
D
E
B C
，
AEB∽DEC；
（2） AEB∽DEC，12

AE DE
= ，
EB EC
 A E D =  B E C ，
  A E D ∽  B E C ，
  A D E =  B C E ，
 A B D =  D B C ，
  B D A ∽  B C E ，

B
B
D
C
=
D
C
A
E
，
 B C  A D = C E  B D ．
考点四：正 8/斜8字型，添加平行线
例题4-1:
（★★★★☆）（2023•浦东新区一模）如图，在ABC中，点 D 、 F 分别是边 B C 、AB上的
点， A D 和CF交于点 E ．
（1）如果BFAB=BDBC．求证：EFCE=DEAE；
（2）如果 A E  B F = 2 A F  D E ，求证： A D 是  A B C 的中线．
【常规讲解】
证明：（1） BFAB=BDBC，

B
B
F
D
=
B
A
C
B
，
 B =  B ，
ABD∽CBF，
  B A D =  B C F ，
又 AEF =CED，
AEF∽CED，
B
F
E
D
A
CEF AE
 = ，
ED CE
13
 E F  C E = D E  A E ；
（2）过 D 作 D G / / A B 交 C F 于 G ，

A
E
E
D
=
A
D
F
G
，
A E  B F = 2 A F  D E ，

A
E
E
D
=
2 A
F
F
B
，

A
D
F
G
=
2 A
F
F
B
，
DG AF 1
即 = = ，
FB 2AF 2
C
B
D
C
=
D
F
G
B
，

C
B
D
C
=
1
2
，
 D 为 B C 的中点， A D 是  A B C 的中线．
例题4-2:
（★★★★☆）（2022•杨浦区校级期末）已知等腰  A B C 中，AB= AC，点D、 E 是边BC、
A C 上的点，且CD=3BD，连接 A D 、 B E ，交点为 F ．
（1）若 A F = 4 D F
AE
，求 的值．
EC
（2）若 B D 2 = D F  A D ，求证： B C 2 = 4 C E  A C
A
F
E G
B D C
．
A
E
F
B D C
【常规讲解】（1）解：作
14
A G / / B C ，交 B E 延长线于 G ，
AG//BC，
  A G F ∽  D B F ，
A F = 4 D F ，
 A G = 4 B D ，
C D = 3 B D ，
 B D =
1
4
C B ，
 A C = B C ，
又 A G / / B C ，
  A G E ∽  C B E ，

AE AC
= =1；
EC BC
（2）证明： B D 2 = D F  A D ，
BD PF
 = ，
AD BD
 B D F =  A D B ，
  B D F ∽  A D B ，
  B A D =  F B D ，
又 ABD=ACB，
ABD∽BCE，
BD AB
 = ，
CE BC
CEAB=BDBC，
又 AB= ACBC=BD+CD=4BD，
1
CEAC= BCBC，
4
B D
F
A
E
C
G15
 B C 2 = 4 C E  A C ．
练习4:【学习框14】
（★★★★☆）（2023•长宁区期末）如图，在  A B C 中，点 D 、 E 分别是BC、 A D 的中点，
且AD= AC，联结CE并延长交 A B 于点 F ．
（1）求证：  A B C ∽  D C E ；
（2）求证： B F = 4 E F ．
【常规讲解】
证明：（1） 点 D 、 E 分别是 B C 、 A D 的中点，
BC=2CD， D A = 2 D E ，
A D = A C ，  A C = 2 D E ，  A D C =  A C D ，

A
D
C
E
=
B
C
C
D
= 2 ，
  A B C ∽  D C E ；
（2）取 F C 的中点 H ，连接 D H ，
点 H 是 C F 的中点，  F H = C H ，
又 B D = C D ，
 D H / / A B ，
  A F E ∽  D H E ，

AE EF
= =1，
DE EH
 E F = E H ，
FH =2EF，
FC=4EF ，
由（1）可知：ABC∽DCE，
  B =  D C E ，
BF =CF，
BF =4EF ．
B
F
D
E
A
C
A
F
H E
B D C关卡一
练习1:
（★★★★☆）（2021•宝山区一模）如图，点
16
O 是菱形 A B C D 的对角线 B D 上一点，联结 A O
并延长，交 C D 于点 E ，交 B C 的延长线于点 F ．
（1）求证： A B 2 = D E  B F ；
（2）如果 O E = 1
CF
，EF =2，求 的值．
BF
【常规讲解】证明：（1） 四边形 A B C D 是菱形，
 A B = A D = B C = C D ， A B / / C D ， A D / / B C ，
  C E F ∽  B A F ，  A D E ∽  F C E ，

C
A
E
B
=
C
B
F
F
，
A
C
D
F
=
D
C
E
E
，

CE AB DE
= = ，
CF BF AD
 A B 2 = D E  B F ；
（2） CEF∽BAF ，ADE∽FCE，

FC EF 2
= = ，
BF AF AO+3
A
B
D
F
=
A
O
O
F
，
 1 −
A
B
D
F
= 1 −
A
O
O
F
，

CF 3−AO
= ，
BF 3

2 3−AO
= ，
AO+3 3
 A O = 3 ，

F
B
C
F
=
3
2
+ 3
=
3 −
3
3
．练习2:
（★★★★☆）（2021•静安区一模）已知：如图，在
17
 A B C 中，点 D 、E分别在边 A B 、 A C
上，DE//BC， A D 2 = A E  A C ．
求证：（1）  B C D ∽  C D E ；
（2）
C
B
D
C
2
2
=
A
A
D
B
．
【常规讲解】证明：（1） A D 2 = A E  A C ，

AD AC
= ，
AE AD
又 A=A，
  A D E ∽  A C D ，
  A D E =  A C D ，
D E / / B C ，
  E D C =  D C B ，  B =  A D E ，
  B =  A C D ，
  B C D ∽  C D E ；
（2）  B C D ∽  C D E ，
CD DE
 = ，
BC CD

CD2 CD DE DE
=  = ，
BC2 BC CD BC
D E / / B C ，

DE AD
= ，
BC AB

C
B
D
C
2
2
=
A
A
D
B
．练习3:
（★★★★☆）（2019•浦东新区期末）如图，已知
18
 A B C 和  A D E ，点 D 在 B C 边上，DA=DC，
ADE=B，边DE与 A C 相交于点F ．
（1）求证： A B  A D = D F  B C ；
（2）如果 A E / / B C ，求证：
B
D
D
C
=
D
F
F
E
．
【常规讲解】（1）证明： D A = D C ，
  D A C =  C ，
又 ADE=B，
  A B C ∽  F D A ，

AB BC
= ，
DF AD
 A B  A D = D F  B C ；
（2）证明：  A D E +  C D F =  B +  B A D ，ADE=B，
  C D F =  B A D ，
A E / / B C ，
  E =  C D F ，  C =  E A F ，
  B A D =  E ，
又 ADE=B，
  A B D ∽  E D A ，

BD AD
= ，
AD AE
DA=DC，
  D A C =  C ，
EAF =DAC，即 A C 平分DAE，
作FM ⊥AD于M， F N ⊥ A E 于 N ，
则FM =FN，1
ADFM
ADF的面积 DF 2 AD
= = = ，
AEF的面积 EF 1 AE
AEFN
2
19

BD DF
= ．
DC FE
方法二：
 B =  A D E ，BAD=CDF =E，
  A B D ∽  E D A ，

AD BD
= ，
AE AD
D A = D C ，

BD AD CD
= = ①，
CD AE AE
又 A E / / B C ，
  D F C ∽  E F A ，

CD DF
= ②，
AE FE
由①②得：
B
D
D
C
=
D
F
F
E
．
练习4:
（★★★★☆）（2023•青浦区一模）已知：如图，在ABC中，点 D 、 E 分别在边BC、AC
上，AD、BE相交于点F ，  A F E =  A B C ，AB2 =AEAC．
（1）求证：  A B F ∽  B C E ；
（2）求证： D F  B C = D B  C E ．
【常规讲解】证明：（1） AB2 =AEAC，
AE AB
 = ，
AB AC
BAE=CAB，ABE∽ACB，
20
  A B F =  C ，  A B C =  A E B ，
 A B C =  A F E ，
  A F E =  A E B ，
 1 8 0  −  A F E = 1 8 0  −  A E B ，即  A F B =  B E C ，
  A B F ∽  B C E ；
（2） ABF∽BCE，

C
C
E
B
=
B
A
F
B
，CBE=BAF，
 B D F =  A D B ，
DBF∽DAB，

B
A
F
B
=
D
D
F
B
，
CE DF
 = ，
CB DB
 D F  B C = D B  C E ．
练习5:
（★★★★☆）（2023•金山区一模）如图，已知菱形 A B C D 中，点 E 在边 C B 延长线上，联
结 D E 交边AB于点F ，联结 A E ，过点 F 作 F G / / B E 交 A E 于点 G ．
（1）求证： F G = B F ；
（2）联结 A C 交 D E 于点O，联结 B O ，当  F O B =  D A O 时，求证： D O 2 = A B  G F ．
【常规讲解】证明：（1） 四边形ABCD是菱形，
AD//BC， A B / / C D ， A D = C D ，
GF //BE，
GF //AD，
GF EF
 = ，
AD EDBF //CD，
21

EF BF
= ，
ED CD

GF BF
= ，
AD CD
 F G = B F ；
（2）连接 B D ，
四边形ABCD是菱形，
AC垂直平分 B D ，
 B O = D O ，
四边形ABCD是菱形，
 F A O =  D A O ，
FOB=DAO，
  F O B =  F A O ，
又 FBO=ABO，
  B O F ∽  B A O ，

BO BF
= ，
BA BO
 B O 2 = B A  B F ，
由（1）知： B F = G F ，
BO=DO，
DO2 = ABGF ．