FY25暑假初三B14一模专题复习——相似证明1教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

14B 一模专题复习——相似证明 1 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）A/8字型相关的几何证明 （2）斜A，斜8型相关的几何证明 （3）母子型相关的几何证明 2. 考情分析 几何证明是中考必考的一道解答题，通常出现在一模/二模以及中考试卷的第23题，分值 为12分，期中第二小问在中考“811”难度中，属于第一个“1”。 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：A/8字型，斜 A，斜8，母 85分钟 子型相关的几何证明 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站——A/8字型，斜A，斜 8，母子型相关的几何证明 【建议时长：85分钟】每一道几何证明题，建议学生完成时间控制在 10-12分钟 以内。 知识笔记 1. 正A字型 条件：若 2 ∠ A D E = ∠ B 结论：①  A D E ∽  A B C ② A A D B = A A E C = D B E C 3. 斜A字型 条件：若 ∠ A E D = ∠ B 结论：①  A D E ∽  A C B ② A A D C = A A E B = D B E C ③ A D A B = A E A C 2. 正8字型 条件：若 ∠ A = ∠ D 结论：①  D E C ∽  A B C AB AC BC = = ② DE CD CE 4. 斜8字型 条件：若∠A=∠D 结论：①  B D P ∽  C A P ② AP PB=CP PD ③ BDP∽CAP   A P D ∽  C P B B D C A E A D E B C E A C D B C A P D B5. 一般母子型（斜A共边型） 条件： 3 ∠ A B D = ∠ C 结论：①  A B D ∽  A C B ② AB2 = ADAC 6. 射影定理 条件： A B ⊥ C D , AC⊥CB 结论：     A C A C B C D D D ∽ ∽ ∽    A A C B B B C C D    A AB AA B C BC BC C = = = A AB BC B D CD CD D = = = C BC AA C D CD CD D    A B C C C D 2 2 2 = = = A B A D D D A B B B A D 【教学建议】教师可以利用“顺证”、“逆推”和“顺逆结合”的思想引导学生理解并完成练习。 顺证：从已知条件出发，顺着推证。由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证 的结论。 逆推：从要求证的结论出发，倒着分析。由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、 已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。这种证明方法的关键在于要保证分析过 程的每一步都是可以逆推的。 顺逆结合：分别从已知条件和所证结论出发，顺逆结合推理。 A B C D A D C B考点一：正8、斜8字型 例题1-1: （★★★★☆）（2023•虹口区一模）如图，在四边形 4 A B C D 中，对角线BD与 A C 交于点F ，  A D B =  A C B ． （1）求证：  A B D =  A C D ； （2）过点 A 作 A E / / D C 交 B D 于点 E ，求证： E F  B C = A D  A F ． 【常规讲解】 证明：（1）  A D B =  A C B ，  A F D =  B F C ，   A D F ∽  B C F ，  AF DF = ， BF CF  A D F F = B C F F ， AFB=DFC，   A F B ∽  D F C ， ABF =DCF，即ABD=ACD； （2） A E / / D C ，   A E F =  C D F ，  A F E =  C F D ，   A F E ∽  C F D ，  E D F F = A C F F ，  D A F E B C EF DF = ， AF CF 由（1）知ADF∽BCF ， AD DF  = ， BC CF 5 E A F F = A B D C ，  E F  B C = A D  A F ． 例题1-2: （★★★★☆）（2022•虹口区一模）如图，在梯形ABCD中，  A B C = 9 0  ， A D / / B C ， B C = 2 A D ，对角线 A C 与BD交于点 E ．点 F 是线段 E C 上一点，且  B D F =  B A C ． （1）求证： E B 2 = E F  E C ； （2）如果 B C = 6 ， s in  B A C = 2 3 ，求FC的长． 【常规讲解】（1）证明： A D / / B C ，   E A D ∽  E C B ，  EA ED = ，即 EC EB E E A D = E E C B ，  B D F =  B A C ，  A E B =  D E F ，   E A B ∽  E D F ，  EB EA = ， EF ED  E E B F = E E C B ， EB2 =EFEC． （2）解： B C = 6 ， s in  B A C = B A C C = 2 3 ， B C = 2 A D AC=9，AD=3，  A B C = 9 0  ，AD//BC， BAD=90， AB= AC2 −BC2 = 92 −62 =3 5， BD= AD2 + AB2 = 32 +(3 5)2 =3 6 ， A B E D F CEAD∽ECB， 6  EA ED AD 3 = = = ， EC EB BC 6  E C = 2 3 A C = 2 3  9 = 6 ， E B = 2 3 B D = 2 3  3 6 = 2 6 ， E B 2 = E F  E C ，即 ( 2 6 ) 2 = 6 E F ，  E F = 4 ，  F C = E C − E F = 6 − 4 = 2 ． 练习1:【学习框8】 （★★★★☆）（2021•杨浦区一模）已知：如图，在梯形 A B C D 中， A D / / B C ，对角线 B D 、 A C 相交于点 E ，过点 A 作 A F / / D C ，交对角线 B D 于点 F ． （1）求证： D B F D = D B E E ； （2）如果  A D B =  A C D ，求证：线段 C D 是线段 D F 、 B E 的比例中项． 【常规讲解】证明：（1） A D / / B C ，   C B D =  A D F ，  A D C +  B C D = 1 8 0  ， A F / / C D ，   A D C +  D A F = 1 8 0  ， DAF =BCD，   D A F ∽  B C D ，  AD DF = ， BC BD A D / / B C ， ADE∽CBE，  AD DE = ， BC BE DF DE  = ； BD BE B A E F D C（2） ADB=ACD，ADB=CBD， 7   E C D =  C B D ， 而CDE=BDC，   D C E ∽  D B C ，  DC DE = ， BD DC  D C 2 = D E  D B ， DF DE = ， BD BE  D E  D B = D F  B E ，  D C 2 = D F  B E ， 即线段 C D 是线段 D F 、 B E 的比例中项． 考点二：正 A字型，母子（共边）模型 例题2: （★★★★☆）（2023•杨浦区一模）已知：如图，在  A B C 中，点 D 、 E 、F 分别在边 A C 、 BD、 B C 上， A B 2 = A D  A C ，  B A E =  C A F ． （1）求证：  A B E ∽  A C F ； （2）联结 E F ，如果BF =CF，求证：EF //AC． A D E B F C 【常规讲解】 证明：（1）如图： AB2 =ADAC， AB AC  = ， AD AB BAC=DAB，ABC∽ADB， 8   A C B =  A B D ，  B A E =  C A F ，   A B E ∽  A C F ； （2）如图： 由（1）知  A B C ∽  A D B ，  A B E ∽  A C F ，  A A B C = B B D C ， A A B C = B C E F ，  B B D C = B C E F ， B F = C F ， BD BE BF BE  = ，即 = ， BC BF BC BD  E B F =  D B C ， EBF∽DBC，   B E F =  B D C ，  E F / / A C ． 练习2:【学习框10】 （★★★★☆）（2021•虹口区一模）如图，在ABC中，点 D 、 G 在边AC上，点 E 在边 B C 上， D B = D C ， E G / / A B ，AE、 B D 交于点F ， B F = A G ． （1）求证：  B F E ~  C G E ； （2）当  A E G =  C 时，求证： A B 2 = A G  A C ． 【常规讲解】证明：（1） D B = D C ， DBC=DCB， E G / / A B A D E B F C A D G F C B E ， CE CG  = ， BE AGBF = AG， 9  C B E E = C B G F ，   B F E ~  C G E ； （2）  B F E ~  C G E ，   B E F =  G E C ，  B F E =  E G C ，  A E G =  C ，GEB=AEG+AEB=C+EGC，   A E B =  E G C ， BEF =GEC=BFE=EGC，  B E = B F ， E C = G C ， BE= AG， G E / / A B ，   A E G =  B A E ，   B A E =  C ， 又 ABE=ABC，   A B E ∽  C B A ，  AB BE = ， AC AB AB2 = ACBE=ACAG．考点三：斜 8字型，母子（共边）模型 例题3: （★★★★☆）（2022•徐汇区一模）如图，已知 10 R t A B C 中，ACB=90，射线 C D 交 A B 于 点 D ，点 E 是 C D 上一点，且  A E C =  A B C ，联结 B E ． （1）求证：  A C D ∽  E B D ； （2）如果 C D 平分  A C B ，求证： A B 2 = 2 E D  E C ． 【常规讲解】证明：（1）  A E C =  A B C ，  A D E =  B D C ，   A D E ∽  C D B ，  AD DE = ， CD BD 又 ADC=EDB，   A C D ∽  E B D ； （2）  A D E ∽  C D B ，   D C B =  E A B ，  A C D ∽  E B D ， ACD=EBD，  A C B = 9 0  ， EAB+EBD=DCB+ACD=90，   A E B = 9 0  ， C D 平分ACB， ACD=BCD=45，   E B D =  E A B = 4 5  ， EA=EB， EAB是等腰直角三角形， EAD=ACE，AED=CEA， A C D E BAED∽CEA， 11  AE EC = ， ED AE  A E 2 = E D  E C ， A E 2 + E B 2 = A B 2 ，  2 A E 2 = A B 2 ，  A E 2 = 1 2 A B 2 ，  1 2 A B 2 = E D  E C ，  A B 2 = 2 E D  E C ． 练习3:【学习框12】 （★★★★☆）（2022•青浦区一模）已知：如图，在四边形 A B C D 中，AC、 B D 相交于点 E ，  A B D =  C B D ， D C 2 = D E  D B ． （1）求证：AEB∽DEC； （2）求证：BCAD=CEBD． 【常规讲解】证明：（1） D C 2 = D E  D B ，  DC DB = ， DE DC  C D E =  B D C ，   D C E ∽  D B C ， DCE=DBC， ABD=DBC，   D C E =  A B D ，  A E B =  D E C A D E B C ， AEB∽DEC； （2） AEB∽DEC，12  AE DE = ， EB EC  A E D =  B E C ，   A E D ∽  B E C ，   A D E =  B C E ，  A B D =  D B C ，   B D A ∽  B C E ，  B B D C = D C A E ，  B C  A D = C E  B D ． 考点四：正 8/斜8字型，添加平行线 例题4-1: （★★★★☆）（2023•浦东新区一模）如图，在ABC中，点 D 、 F 分别是边 B C 、AB上的 点， A D 和CF交于点 E ． （1）如果BFAB=BDBC．求证：EFCE=DEAE； （2）如果 A E  B F = 2 A F  D E ，求证： A D 是  A B C 的中线． 【常规讲解】 证明：（1） BFAB=BDBC，  B B F D = B A C B ，  B =  B ， ABD∽CBF，   B A D =  B C F ， 又 AEF =CED， AEF∽CED， B F E D A CEF AE  = ， ED CE 13  E F  C E = D E  A E ； （2）过 D 作 D G / / A B 交 C F 于 G ，  A E E D = A D F G ， A E  B F = 2 A F  D E ，  A E E D = 2 A F F B ，  A D F G = 2 A F F B ， DG AF 1 即 = = ， FB 2AF 2 C B D C = D F G B ，  C B D C = 1 2 ，  D 为 B C 的中点， A D 是  A B C 的中线． 例题4-2: （★★★★☆）（2022•杨浦区校级期末）已知等腰  A B C 中，AB= AC，点D、 E 是边BC、 A C 上的点，且CD=3BD，连接 A D 、 B E ，交点为 F ． （1）若 A F = 4 D F AE ，求 的值． EC （2）若 B D 2 = D F  A D ，求证： B C 2 = 4 C E  A C A F E G B D C ． A E F B D C 【常规讲解】（1）解：作 14 A G / / B C ，交 B E 延长线于 G ， AG//BC，   A G F ∽  D B F ， A F = 4 D F ，  A G = 4 B D ， C D = 3 B D ，  B D = 1 4 C B ，  A C = B C ， 又 A G / / B C ，   A G E ∽  C B E ，  AE AC = =1； EC BC （2）证明： B D 2 = D F  A D ， BD PF  = ， AD BD  B D F =  A D B ，   B D F ∽  A D B ，   B A D =  F B D ， 又 ABD=ACB， ABD∽BCE， BD AB  = ， CE BC CEAB=BDBC， 又 AB= ACBC=BD+CD=4BD， 1 CEAC= BCBC， 4 B D F A E C G15  B C 2 = 4 C E  A C ． 练习4:【学习框14】 （★★★★☆）（2023•长宁区期末）如图，在  A B C 中，点 D 、 E 分别是BC、 A D 的中点， 且AD= AC，联结CE并延长交 A B 于点 F ． （1）求证：  A B C ∽  D C E ； （2）求证： B F = 4 E F ． 【常规讲解】 证明：（1） 点 D 、 E 分别是 B C 、 A D 的中点， BC=2CD， D A = 2 D E ， A D = A C ，  A C = 2 D E ，  A D C =  A C D ，  A D C E = B C C D = 2 ，   A B C ∽  D C E ； （2）取 F C 的中点 H ，连接 D H ， 点 H 是 C F 的中点，  F H = C H ， 又 B D = C D ，  D H / / A B ，   A F E ∽  D H E ，  AE EF = =1， DE EH  E F = E H ， FH =2EF， FC=4EF ， 由（1）可知：ABC∽DCE，   B =  D C E ， BF =CF， BF =4EF ． B F D E A C A F H E B D C关卡一 练习1: （★★★★☆）（2021•宝山区一模）如图，点 16 O 是菱形 A B C D 的对角线 B D 上一点，联结 A O 并延长，交 C D 于点 E ，交 B C 的延长线于点 F ． （1）求证： A B 2 = D E  B F ； （2）如果 O E = 1 CF ，EF =2，求 的值． BF 【常规讲解】证明：（1） 四边形 A B C D 是菱形，  A B = A D = B C = C D ， A B / / C D ， A D / / B C ，   C E F ∽  B A F ，  A D E ∽  F C E ，  C A E B = C B F F ， A C D F = D C E E ，  CE AB DE = = ， CF BF AD  A B 2 = D E  B F ； （2） CEF∽BAF ，ADE∽FCE，  FC EF 2 = = ， BF AF AO+3 A B D F = A O O F ，  1 − A B D F = 1 − A O O F ，  CF 3−AO = ， BF 3  2 3−AO = ， AO+3 3  A O = 3 ，  F B C F = 3 2 + 3 = 3 − 3 3 ．练习2: （★★★★☆）（2021•静安区一模）已知：如图，在 17  A B C 中，点 D 、E分别在边 A B 、 A C 上，DE//BC， A D 2 = A E  A C ． 求证：（1）  B C D ∽  C D E ； （2） C B D C 2 2 = A A D B ． 【常规讲解】证明：（1） A D 2 = A E  A C ，  AD AC = ， AE AD 又 A=A，   A D E ∽  A C D ，   A D E =  A C D ， D E / / B C ，   E D C =  D C B ，  B =  A D E ，   B =  A C D ，   B C D ∽  C D E ； （2）  B C D ∽  C D E ， CD DE  = ， BC CD  CD2 CD DE DE =  = ， BC2 BC CD BC D E / / B C ，  DE AD = ， BC AB  C B D C 2 2 = A A D B ．练习3: （★★★★☆）（2019•浦东新区期末）如图，已知 18  A B C 和  A D E ，点 D 在 B C 边上，DA=DC， ADE=B，边DE与 A C 相交于点F ． （1）求证： A B  A D = D F  B C ； （2）如果 A E / / B C ，求证： B D D C = D F F E ． 【常规讲解】（1）证明： D A = D C ，   D A C =  C ， 又 ADE=B，   A B C ∽  F D A ，  AB BC = ， DF AD  A B  A D = D F  B C ； （2）证明：  A D E +  C D F =  B +  B A D ，ADE=B，   C D F =  B A D ， A E / / B C ，   E =  C D F ，  C =  E A F ，   B A D =  E ， 又 ADE=B，   A B D ∽  E D A ，  BD AD = ， AD AE DA=DC，   D A C =  C ， EAF =DAC，即 A C 平分DAE， 作FM ⊥AD于M， F N ⊥ A E 于 N ， 则FM =FN，1 ADFM ADF的面积 DF 2 AD = = = ， AEF的面积 EF 1 AE AEFN 2 19  BD DF = ． DC FE 方法二：  B =  A D E ，BAD=CDF =E，   A B D ∽  E D A ，  AD BD = ， AE AD D A = D C ，  BD AD CD = = ①， CD AE AE 又 A E / / B C ，   D F C ∽  E F A ，  CD DF = ②， AE FE 由①②得： B D D C = D F F E ． 练习4: （★★★★☆）（2023•青浦区一模）已知：如图，在ABC中，点 D 、 E 分别在边BC、AC 上，AD、BE相交于点F ，  A F E =  A B C ，AB2 =AEAC． （1）求证：  A B F ∽  B C E ； （2）求证： D F  B C = D B  C E ． 【常规讲解】证明：（1） AB2 =AEAC， AE AB  = ， AB AC BAE=CAB，ABE∽ACB， 20   A B F =  C ，  A B C =  A E B ，  A B C =  A F E ，   A F E =  A E B ，  1 8 0  −  A F E = 1 8 0  −  A E B ，即  A F B =  B E C ，   A B F ∽  B C E ； （2） ABF∽BCE，  C C E B = B A F B ，CBE=BAF，  B D F =  A D B ， DBF∽DAB，  B A F B = D D F B ， CE DF  = ， CB DB  D F  B C = D B  C E ． 练习5: （★★★★☆）（2023•金山区一模）如图，已知菱形 A B C D 中，点 E 在边 C B 延长线上，联 结 D E 交边AB于点F ，联结 A E ，过点 F 作 F G / / B E 交 A E 于点 G ． （1）求证： F G = B F ； （2）联结 A C 交 D E 于点O，联结 B O ，当  F O B =  D A O 时，求证： D O 2 = A B  G F ． 【常规讲解】证明：（1） 四边形ABCD是菱形， AD//BC， A B / / C D ， A D = C D ， GF //BE， GF //AD， GF EF  = ， AD EDBF //CD， 21  EF BF = ， ED CD  GF BF = ， AD CD  F G = B F ； （2）连接 B D ， 四边形ABCD是菱形， AC垂直平分 B D ，  B O = D O ， 四边形ABCD是菱形，  F A O =  D A O ， FOB=DAO，   F O B =  F A O ， 又 FBO=ABO，   B O F ∽  B A O ，  BO BF = ， BA BO  B O 2 = B A  B F ， 由（1）知： B F = G F ， BO=DO， DO2 = ABGF ．