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22.1二次函数的图象和性质
知识点 1 二次函数的定义
1．（2025春•榕江县月考）下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
x 1
A．y＝2x+1 B．y= C．y＝x2﹣1 D．y=
3 x2
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判
断即可．
【详解】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下；
A．y＝2x+1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
x
B． y= 是一次函数，不符合题意；
3
C．y＝x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意；
1
D． y= 不是二次函数，不符合题意；
x2
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键．
2．（2024秋•路桥区期末）已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2
【分析】根据二次函数的定义进行解答．
【详解】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，
所以a+2≠0，
即a≠﹣2．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．
3．（2022秋•沙市区期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2
1
﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2+ +5其中二次函数的个数为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函
数进行分析即可．
【详解】解：①y＝2x﹣1是一次函数；
②y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
③y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y＝2（x+3）2﹣2x2不是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c不一定是二次函数；
1
⑥y＝x2+ +5不是二次函数；
x
∴②是二次函数，共1个，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函
数，注意a≠0这一条件．
4．如果y＝（k﹣3）x|k﹣1|+x﹣3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为﹣1，她们俩中求得
结果正确的是 k ＝﹣ 1 ．
【分析】利用二次函数的定义得出|k﹣1|＝2，k﹣3≠0，进而求出即可．
【详解】解：∵y＝（k﹣3）x|k﹣1|+x﹣3是二次函数，
∴|k﹣1|＝2，
解得：k ＝﹣1，k ＝3，
1 2
∵k﹣3≠0，
∴k≠3，
∴k＝﹣1．
故答案为：k＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，得出关于k的等式是解题关键．
5．（2023秋•韩城市月考）关于x的函数y＝（a2+2a+3）x2+3ax+1，甲说：此函数不一定是二次函数；乙
说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与a的取值有关．你认为谁的说法正确？为
什么？
【分析】将原函数的二次项系数a2+2a+3配方得到（a+1）2+2，由非负项的特点可知（a+1）2≥0，即有
a2+2a+3≥2≠0，到此相信你能判断出谁的说法正确了．
【详解】解：乙的说法对．理由如下：
对a2+2a+3配方可得（a+1）2+2，因为无论a取何值，（a+1）2≥0，
即有（a+1）2+2≥2，
所以a2+2a+3≥2≠0，
故无论a取何值，该函数一定是二次函数．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
知识点2 二次函数的一般形式
6．（2024秋•铁西区月考）二次函数y＝3x2﹣2x+5中，二次项系数是 3 ，一次项系数是 ﹣ 2 ，
常数项是 5 ．
【分析】二次函数：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项
系数，常数项．
【详解】解：由y＝3x2﹣2x+5，得它的二次项系数是3，一次项系数是﹣2，常数项是5．
故答案是：3，﹣2，5．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握相关定义是解题的关键．
7．（2021秋•头屯河区期末）把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 1
．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把二次函数化为一般式，根据二次函数的概念写出一次项系数
和常数项，计算即可．
【详解】解：y＝（3x﹣2）（x+3）
＝3x2+7x﹣6，
其中一次项系数为7，常数项为﹣6，
∴一次项系数与常数项的和为：7+（﹣6）＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，利用多项式乘多项式的运算法则把二次函数化为一般式是
解题的关键．
知识点3 实际问题中的二次函数
8．（2024秋•雨花区月考）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果
第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝50（1+x）2
B．y＝50+50（1+x）+50（1+x）2
C．y＝50（1+x）+50（1+x）2
D．y＝50+50（1+x）【分析】设该厂第三季度平均每月的增长率为 x，则八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件
50（1+x）2万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，依题意得：
y＝50+50（1+x）+50（1+x）2．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．
9．（2023春•馆陶县期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式
为（ ）
A．y＝x2+16 B．y＝（x+4）2 C．y＝x2+8x D．y＝16﹣4x2
【分析】增加的面积＝新正方形的面积﹣原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：∵新正方形边长是x+4，原正方形边长是4，
∴新正方形面积是（x+4）2，原正方形面积是16，
∴增加的面积y＝（x+4）2﹣16
即y＝x2+8x
故选：C．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，根据题意列出增加面积的等量关系是解决本题的关键．
10．九年级共有x名同学，在开学见面时每两名同学都握手一次，共握手y次．则y与x之间的函数关系式
x(x−1)
是 y= ， 是 （填“是”或“不是”）二次函数．
2
x(x−1)
【分析】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x﹣1）个人握手，所以共握手 次，从而列
2
出二次函数关系式．
【详解】解：设有x人，由题意可得：
x(x−1)
y= ，是二次函数，
2
x(x−1)
故答案为：y= ，是．
2
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手
一次，难度中等．
11．（2022秋•澧县期末）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于30m）和
总长为28m的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为 x米，花圃总面积为y平方米，求y关于x的函数解析式 y ＝﹣ 3 x 2 +2 8 x ．（用二次函数一般式表示）
【分析】根据各边之间的关系，可得出BC＝（28﹣3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可找出y
关于x的函数解析式．
【详解】解：∵篱笆的总长为28米，且AB＝x米，
∴BC＝（28﹣3x）米，
∴花圃总面积为AB•BC＝x（28﹣3x）＝（﹣3x2+28x）（平方米），
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x2+28x．
故答案为：y＝﹣3x2+28x．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解
析式是解题的关键．
知识点4二次函数y＝ax2的图像
1
12．二次函数y=− x2的大致图象是（ ）
2
A． B． C． D．
【分析】由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，结合图象判断即可得解．
【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
知识点5 二次函数y＝ax2的图像和性质
1
13．（2024秋•郑州期中）点(−1，y )，(− ，y )，(2，y )都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则
1 2 2 3
y ，y ，y 的大小（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1
【分析】由点离对称轴的距离越大对应的函数值越小，即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝0，
1
则三个点离对称轴的距离依次为：1， ，2，
2
∵a＝﹣1，
则离对称轴的距离越大对应的函数值越小，
故y ＞y ＞y ，
2 1 3
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，判断出开口方向及三个点离对称轴的远近是解题的关
键．
1
14．（2023秋•濠江区期末）如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线y= x2上，点O是原点，顶点B在
4
y轴上，则顶点A的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（❑√2，❑√2） C．（4，4） D．（2❑√2，2❑√2）
1 1
【分析】设点B坐标为（0，m），根据正方形的性质和二次函数的性质确定A（ m， m），然后根据
2 2
1
点A在抛物线y= x2上，求出m即可．
4
【详解】解：设点B坐标为（0，m），
∵四边形OABC是正方形，
∴OB＝AC＝m，
1 1
∴A（ m， m），
2 2
1
∵A在抛物线y= x2上，
4
1 1 1
∴ m= ×（ m）2，
2 4 2
解得m＝0（舍去）或m＝8，∴A（4，4）．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质和正方形的性质，关键对正方形性质和二次函数性质的应用，
15．（2021 秋•灵山县校级期中）若二次函数 y＝ax2的图象过点 P（﹣2，4），则该图象必经过点
（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图
象的对称轴为y轴是解题的关键．
1
16．（2024秋•保定月考）对于抛物线y= x2 与y＝2x2，下列说法不正确的是（ ）
2
A．开口方向相同 B．都过原点
C．对称轴都是y轴 D．开口大小相同
【分析】根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的顶点坐标以及对称轴，
分别分析即可．
【详解】解：根据二次函数的性质，
1
∵抛物线y= x2 ，
2
1
∴此函数顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，a= ＞0，开口向上，
2
∵y＝2x2，
∴此函数顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，a＝2＞0，开口向上，
∴ABC正确，不符合题意，
1
∵| |≠|2|，
2
1
∴抛物线y= x2 与y＝2x2开口大小不同，故D错误，符合题意．
2
故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题关键．
17．（2021秋•汾阳市校级期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值
范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
【分析】由二次函数的性质得a﹣1＞0，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2，
当x≥0时，y随x增大而增大，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
18．（2021秋•望花区月考）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关
1 2
系式一定正确的是（ ）
A．y ＞y ＞0 B．y ＞y ＞0 C．y ＞0＞y D．y ＞0＞y
1 2 2 1 1 2 2 1
【分析】依据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y ＞y ＞0；
1 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
19．（2021秋•新市区校级月考）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把x＝﹣2代入即可求得y的值；
（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标及对称轴，根据二次函数的性质
判断函数的增减性．
1
【详解】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2，求得a= ，
3
1
∴二次函数的解析式为y= x2 ，
31 4
当x＝﹣2时，y= ×（﹣2）2= ；
3 3
1
（2）∵a= ＞0，
3
∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），
当x＞0时，函数y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
20．（2024秋•代县期中）已知点A（2，8）与点B（﹣1，k）都在二次函数y＝ax2的图象上．
（1）求a和k的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
（2）求该抛物线上纵坐标为6的点的坐标；
（3）当﹣3≤x≤1时，求函数y的最大值和最小值．
【分析】（1）把点A代入，运用待定系数法可求出解析式，再把点B代入即可求解；
（2）根据题意，把y＝6代入二次函数解析式，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，当x＝﹣3时，y＝18；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2；由此即可
求解．
【详解】解：（1）由条件可知4a＝8，
解得，a＝2，
∴二次函数解析式为y＝2x2，
∵点B（﹣1，k）在二次函数图象上，
∴k＝2，
∵2＞0，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为x＝0；
（2）由条件可知2x2＝6，
解得，x=±❑√3，
∴纵坐标为6的点的坐标为(−❑√3，6)，(❑√3，6)；
（3）∵二次函数的对称轴为x＝0，开口向上，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，
当﹣3≤x≤1时，x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）2＝18，x＝0时，y＝0，x＝1时，y＝2，
∴当﹣3≤x≤1时，函数y的最大值为18，最小值为0．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．知识点6 二次函数y=ax2+k的性质
21．（2024秋•邯山区校级期中）二次函数y＝x2+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其图象的开口方向由a的符号决定，当a＞0时，开口向
b b 4ac−b2
上；当a＜0时，开口向下．对称轴公式为x=− ，顶点坐标为（− ， ）．本题中二次函
2a 2a 4a
数y＝x2+1，a＝1，b＝0，c＝1，可根据这些性质分析图象特征．
【详解】解：在二次函数y＝x2+1中，a＝1＞，
∴抛物线开口向上，可排除选项B、D（B、D中抛物线开口向下），
0
对于二次函数y＝x2+1，b＝0，c＝1．根据顶点坐标公式，对称轴为中心x=− =0，把x＝0代入函
2×1
数得y＝02+1＝1，
∴顶点坐标为（0，1），
∴选项A中顶点坐标是（0，0），不符合，选项C中顶点坐标是（0，1），符合条件．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象性质，解题的关键是熟练掌握二次函数 y＝ax2+bx+c中a中开口方向、
顶点坐标的性质．
22．（2021秋•武义县期末）函数y＝﹣x2+3与y＝﹣x2﹣2的图象的不同之处是（ ）
A．顶点 B．对称轴 C．开口方向 D．形状
【分析】根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题．
【详解】解：函数y＝﹣x2+3与y＝﹣x2﹣2的图象的对称轴都是y轴，开口都向下，形状一样，而函数
y＝﹣x2+3的顶点坐标为（0，3），函数y＝﹣x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），
故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质解答．
23．（2021秋•藁城区校级月考）对于二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y≤5 B．﹣5≤y≤5 C．﹣3≤y≤5 D．﹣2≤y≤5
【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线x＝0，且开口向上，再由﹣1≤x≤2可知，当x＝0时，取得
最小值，当x＝2时，取得最大值，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数的解析式为y＝2x2﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，
∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵﹣1≤x≤2，
当x＝0时，取得最小值y＝﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝5，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．
24．如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当x＝﹣3时，新函数值为 5 ，当x＝1时，新函数值为 3 ；
（2）当x＝ ﹣ 2 或 2 时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 2 ．
【分析】先根据二次函数的性质得到y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再解方程x2﹣4＝0得抛物线y
＝x2﹣4与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0），从而得到新函数的图象的解析式；（1）利用新函数解析式计算自变量为3和1对应的函数值即可；
（2）观察函数图象得到当x＝﹣2或2时，新函数有最低点；
（3）观察函数图象，写出新函数中函数y随x的增大而增大所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，x2﹣4＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝﹣2，
1 2
∴抛物线y＝x2﹣4与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0），
{y=x2−4(x＜−2或x＞2))
∴新函数的图象的解析式为 ，
y=−x2+4(−2≤x≤2)
（1）当x＝﹣3时，y＝x2﹣4＝9﹣4＝5；
当x＝1时，y＝﹣x2+4＝3，
故答案为：5，3；
（2）当x＝﹣2或2时，新函数有最小值0；
故答案为：﹣2或2；
（3）当﹣2＜x＜0或x＞2时，新函数中函数y随x的增大而增大．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标
特征．
25．（2020秋•红谷滩区校级期末）已知点（x ，y ），（x ，y ）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法中：
1 1 2 2
①若y ＝y ，则x ＝x ；②若x ＝﹣x ，则y ＝y ；③若0＜x ＜x ，则y ＞y ；④若x ＜x ＜0，则y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
＞y ．佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确．请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并
2
说明理由．
【分析】利用二次函数的性质依次判断可求解．
【详解】解：佳佳说法错误，李华说法正确，
理由如下：①若y ＝y ，则x 2﹣1＝x 2﹣1，
1 2 1 2
∴x ＝±x ，故①错误；
1 2
②若x ＝﹣x ，则y ＝x 2﹣1＝（﹣x ）2﹣1＝x 2﹣1，y ＝x 2﹣1，
1 2 1 1 2 2 2 2
∴y ＝y ，故②正确；
1 2
③若0＜x ＜x ，则x ，x 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y ＜y ，故③错误；
1 2 1 2 1 2④若x ＜x ＜0，则x ，x 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，y ＞y ．故④正确；
1 2 1 2 1 2
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是本题的关键．
1
26．已知抛物线y=− x2+(5−m)x+m−3与y轴交于点C，与x轴正半轴交于点A，与x轴负半轴交于
2
点B，且OA＝OB．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据根与系数的关系求得m的取值范围；由根与系数的关系来求m的值．
1
（2）把m＝5代入解析式得到y=− x2+2，即可求得该抛物线的顶点坐标；
2
（3）根据A、B、C的坐标即可求得三角形ABC的面积．
1
【详解】解：（1）∵抛物线y=− x2+（5﹣m）x+m﹣3与x轴有两个交点，
2
∴Δ＝（5﹣m）2+4×（m﹣3）＞0，
整理，得（m﹣4）2+3＞0
解得：m为任意实数，
又∵点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，OA＝OB，
设A（a，0），B（﹣a，0）（a＞0），
{ −a+a=2(5−m) )
则 ，
−a⋅a=−2(m−3)
{m=5)
解得 ．
a=2
综上所述，m的值是5．
（2）∵m＝5，
1
∴y=− x2+2，
2
∴该抛物线的顶点坐标为（0，2）；
（3）∵A（2，0），B（﹣2，0），C（0，2），
∴AB＝4，OC＝2，
1 1
∴S = AB•OC= ×4×2＝4．
△ABC 2 2【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，一定要先通过根的判别式求得m的取值范围，再根
据根与系数的关系列出式子．
知识点7 二次函数y=ax2+k图象的平移
27．抛物线y＝ax2﹣1上有一点P（2，2），平移该抛物线，使其顶点落在点A（0，1）处，这时，点P落
在点Q处，则点Q的坐标为 （ 2 ， 4 ） ．
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y＝ax2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用顶点的坐标变
换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标．
【详解】解：抛物线y＝ax2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
∵点（0，﹣1）向上平移2个单位得到点A（0，1），
∴点P（2，2）向上平移2个单位得到点Q（2，4）．
故答案为（2，4）．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移
后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法
求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
28．（2023秋•思明区校级月考）把函数y＝x2的图象向上平移一个单位后得到函数（ ）的图象．
A．y＝x2﹣1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2+1 D．y＝（x﹣1）2
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把函数y＝x2的图象向上平移一个单位，得到的新图象的二次函数是：y＝x2+1．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
1
29．（2023秋•北流市期末）如图，已知抛物线y =− x2+4，﹣2≤x≤2，将y 向下平移2个单位长度后
1 2 1
得抛物线y ，则图中阴影部分的面积S＝ 8 ．
2
【分析】根据二次函数平移后的大小及开口方向不发生改变，可知图中阴影部分的面积为2个平行四边
形ABCD的面积，据此解答即可．【详解】解：∵二次函数平移后的大小及开口方向不发生改变，
∴图中阴影部分的面积＝2S ＝2×2×2＝8．
ABCD
故答案为：8． ▱
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知二次函数平移后的大小及开
口方向不发生改变是解题的关键．
知识点8 二次函数y=a(x-h)2的图象
30．（2025•赤坎区校级四模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【分析】依据题意，根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断得解．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）且开口向下，当x＝0时，y＝﹣1，
∴抛物线一定经过第三，四象限．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，根据解析式开口方向
及顶点位置求解．
31．若小明将如图所示的两条水平线AB，CD中的一条当成x轴，且向右为正方向；两条铅垂线AC，BD
中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数y＝2（x﹣1）2的图象，则坐
标原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】由抛物线的解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，0），据此判断可得．
【详解】解：∵函数y＝2（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，0），∴直
线CD为x轴，AC为y轴，∴坐标原点可能是C，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线解析式判断出抛物线的对称轴位置，与
坐标轴的交点，开口方向等特征．
知识点9 二次函数y=a(x-h)2的性质
1
32．（2024秋•临泉县月考）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2与抛物线y= x2 的相同点是（ ）
2
A．对称轴相同 B．顶点相同
C．顶点都在x轴上 D．形状相同
【分析】根据抛物线的解析式确定抛物线的对称轴，开口方向，顶点坐标，两抛物线的形状，即可得到
答案．
【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，顶点为（4，0）
1
∴y= x2 的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），
2
两条抛物线的a值不相等，故形状不同，
∴两个抛物线的顶点都在x轴上．
故选：C．
【点睛】此题考查了 抛物线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
33．（2021秋•绥滨县期末）已知二次函数y＝﹣2（x+b）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣
3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．32 D．﹣32
【分析】根据二次函数的增减性，结合条件可求得抛物线的对称轴方程，可得到b的值，可求得二次函
数的解析式，然后把x＝1代入解析式即可求得答案．
【详解】解：∵y＝﹣2（x+b）2，
∴其对称轴方程为x＝﹣b，
又当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，
∴其对称轴为x＝﹣3，
∴﹣b＝﹣3，解得b＝3，
∴二次函数为y＝﹣2（x+3）2，把x＝1代入得，y＝﹣2（1+3）2＝﹣32；
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的对称轴及增减性，掌握在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．
34．（2024秋•工业园区校级期中）已知A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）三点都在二次函数y＝
1 2 3
﹣2（x+2）2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
【详解】解：把A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）分别代入y＝﹣2（x+2）2得
1 2 3
y ＝﹣2（x+2）2＝﹣8，y ＝﹣2（x+2）2＝﹣2，y ＝﹣2（x+2）2＝﹣50，
1 2 3
所以y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
35．已知二次函数y＝3（x﹣3）2，当x分别取x ，x （x ≠x ）时，函数值相等，则当x取3x +3x 时，函数
1 2 1 2 1 2
值为 67 5 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可知x＝3，从而可以得到当x＝时的函数值．
【详解】解：∵二次函数y＝3（x﹣3）2，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
∵当x分别取x ，x （x ≠x ）时，函数值相等，
1 2 1 2
∴＝3时，x1+x2＝6，
∴3x +3x ＝18，
1 2
∴当x取3x +3x 时，函数值＝3×152＝675．
1 2
故答案为：675．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用
二次函数图象具有对称性解答．
36．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图象的顶点在x轴上；
B：当x＞1时，y随x的增大而减小；
C：该函数图象的形状与函数y＝﹣2x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式： y ＝﹣ 2 （ x ﹣ 1 ）
2 ．
【分析】根据题意，列出符合条件的解析式即可．【详解】解：根据题意可列出函数解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系式解答本题的关键．
37．（2024秋•姑苏区校级月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．
【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析
式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式．
（2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大．
（3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，
∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，
∵抛物线过点（1，﹣3），
∴﹣3＝a（1﹣2）2，
∴解得a＝﹣3，
∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2．
（2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
（3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12，
所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
知识点10 二次函数y=a(x-h)2的平移
38．（2021秋•开化县月考）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝（x﹣1）2+2先向下平移3个单位长度再
向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣4）2
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【详解】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2先向下平移3个单位长度再向右平移2个单位长度，所得到的抛
物线的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故选：C．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函
数解析式．
39．（2024秋•南昌县校级月考）若将抛物线y＝﹣3（x﹣3）2的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的
是（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度
D．向右平移3个单位长度
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），原点坐标为（0，0），
∴将（3，0）左平移3个单位得到（0，0），
故平移过程为：向左平移3个单位长度．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，：二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握平移的规
律：左加右减，上加下减．
知识点11 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
40．（2024秋•南昌县月考）在平面直角坐标系中，若二次函数y＝﹣（x﹣h）2﹣k的图象如图所示．则点
A（h，k）所在的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】本题应根据抛物线的顶点的位置求解．
【详解】解：由图象可知顶点（h，﹣k）在第一象限，
则（h，k）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，解题关键是确定抛物线的顶点坐标．
41．（2024•从江县校级二模）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示．关于该函数在所给自变量取值范
围内，下列说法正确的是（ ）
A．关于直线x＝1对称
B．有最小值﹣1，有最大值3
C．y值随x值的增大而增大
D．有最小值0，有最大值3
【分析】根据二次函数的图象的性质求解．
【详解】解：根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故A是错误的；
根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为3，最小值为﹣1，故B是正确的；
根据图象当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1＜x≤3时，y随x的增大而增大，故C是错误的；
由B得D是错误的；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图形的性质，理解二次函数的图象和性质是解题的关键．
知识点12 二次函数y=a(x-h)2+k的性质42．（2023秋•芜湖月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（0，4），（6，5）两点，若a＜0，0＜h＜
6，则h的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴x＝h满足0＜h＜6，得（6，5）关于x＝h的对称点（2h﹣
6，5）在（0，4）的上方，得2h﹣6＞0即可．
【详解】解：由抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴x＝h满足0＜h＜6，
得（6，5）关于x＝h的对称点（2h﹣6，5）在（0，4）的上方，
得2h﹣6＞0，即h＞3；
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性和增减性，解题关键是综合应用对称性和增减性解题．
43．（2024秋•广州期末）已知二次函数y＝3（x+2）2的图象上有三点A（1，y ），B（2，y ），C（﹣
1 2
3，y ），则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向即可解决问题．
【详解】解：由题知，
二次函数y＝3（x+2）2的图象开口向上，
且对称轴为直线x＝﹣2，
所以抛物线上离对称轴越远的点函数值越大．
又因为1﹣（﹣2）＝3，2﹣（﹣2）＝4，﹣2﹣（﹣3）＝1，
且4＞3＞1，
所以y ＞y ＞y ．
2 1 3
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
44．（2024秋•海安市月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时．y随x的增大而减小，则实
数t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．t＞1 C．1≤t＜5 D．t≥5
【分析】根据二次函数解析式可得，图象开口向下，顶点坐标为（1，2），对称轴为x＝1，由此即可
求解．
【详解】解：由解析式可知：函数图象的开口向下，顶点坐标为（1，2），对称轴为x＝1，
∵当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，
∴t≥1，且t＜5，∴实数t的取值范围是：1≤t＜5，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的增减性是关键．
45．（2022秋•淮南月考）如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
4
（1）①a＝ − ．
9
②方程a（x+1）2+4＝0的解是 x ＝﹣ 4 ， x ＝ 2 ．
1 2
（2）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，那么△PAB的面积是 1 2 ．
【分析】（1）将点A的坐标代入y＝a（x+1）2+4列方程求出a的值即可；
（2）由二次函数的图象可以得到该抛物线的对称轴和抛物线与 x轴的交点A的坐标，再根据抛物线的
对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，即得到一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，再根据点A、点B的坐标求出△PAB的面积即可．
【详解】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝a（x+1）2+4上，
∴（﹣4+1）2a+4＝0，
4
∴解得a=− ．
9
4
故答案为：− ．
9
（2）由二次函数y＝a（x+1）2+4的图象可知，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣4，0），
设该抛物线与x轴的另一个交点为B，
∵点B与点A（﹣4，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴B（2，0），
∴当y＝0时，一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解为x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
故答案为：x ＝﹣4，x ＝2；
1 24
（3）由（2）得a=− ，
9
4
∴该二次函数为y=− （x+1）2+4，
9
∴该抛物线的顶点为P（﹣1，4），
又∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝2+4＝6，
1
∴S = ×6×4＝12，
△PAB 2
∴△PAB的面积是12．
故答案为：12．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的图象与x轴的交点坐标、二次函数图象的顶
点坐标以及用待定系数法求二次函数的解析式等知识与方法，解题的关键是结合函数的图象确定抛物线
上的特殊点的坐标．
知识点13 二次函数y=a(x-h)2+k的平移
46．（2024•淮阴区一模）点P（m，5）在抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6上，将抛物线C进行平移得抛物线
C′：y＝﹣x2+2，P的对应点为P′，则点P移动的最短路程为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先求出抛物线C的顶点坐标为（3，6），抛物线C'的顶点坐标为（0，2），根据点P'移动的最
短路程为顶点由（3，6）移到（0，2）的距离求解即可．
【详解】解：∵抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6，
∴抛物线C的顶点坐标为（3，6），
∵抛物线C'：y＝﹣x2+2，
∴抛物线C'的顶点坐标为（0，2），将抛物线C进行平移得抛物线C′，
∴点P'移动的最短路程为顶点由（3，6）移到（0，2）的距离，
∴最短距离为❑√32+(6−2) 2=5．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．
47．（2023秋•怀仁市期中）将抛物线y＝﹣2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，
所得到的抛物线解析式为（ ）A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2
C．y＝﹣2（x﹣3）2+2 D．y＝﹣2（x﹣3）2
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线
解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+1﹣1，即y＝﹣2（x﹣3）2，
故选：D．
【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用
规律求函数解析式．
知识点14 把二次函数的一般式化为顶点式
48．（2024•杭州模拟）将二次函数y＝x2+4x﹣4化成y＝a（x+h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣8 B．y＝（x﹣2）2
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝x2﹣8
【分析】根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答．
【详解】解：y＝x2+4x﹣4＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，熟练运用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．
1
49．（2024秋•海门区校级月考）把二次函数y=− x2−x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则k＝ 4
4
．
1
【分析】把y=− x2−x+3转化为顶点式，即可得解．
4
1
【详解】解：y=− x2−x+3
4
1
=− (x2+4x)+3
4
1
=− (x2+4x+4−4)+3
4
1
=− (x+2) 2+4，
4
∴k＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查将二次函数的三种形式，将一般式转化为顶点式是解题的关键．
知识点15 二次函数y=ax2+bx+c的图象50．（2024•柴桑区二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝mx2+nx+m﹣2（m＞
2）向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移1个单位长度
B．向上平移2个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向上平移4个单位长度
【分析】利用对称轴求得n＝﹣2m，可得抛物线解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣2＝m（x﹣1）2﹣2，得到抛
物线的顶点坐标为（1，﹣2），根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点
在x轴上，据此即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
n
∴− =1，
2m
∴n＝﹣2m，
∴抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣2＝m（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，
∴平移后的抛物线顶点在x轴上，
∴抛物线应向上平移2个单位长度，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
知识点16 二次函数y=ax2+bx+c的图象
51．（2017•府谷县模拟）二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象关于直线x＝﹣1对称的图象的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣16x+55 B．y＝x2+8x+7
C．y＝﹣x2+8x+7 D．y＝x2﹣8x+7
【分析】将y＝x2﹣4x﹣5配方得，y＝（x﹣2）2﹣9，求得抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（2，﹣
9），求得点（2，﹣9）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣4，﹣9），于是得到结论．
【详解】解：∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（2，﹣9），
∵点（2，﹣9）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣4，﹣9），
而抛物线y＝x2﹣4x﹣5关于直线y＝﹣1对称后图象的开口相同，
∴所求抛物线解析式为y＝（x+4）2﹣9．即所求抛物线解析式为y＝（x+4）2﹣9，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移
后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法
求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
52．（2012秋•东胜区期末）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下
表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 1 ﹣4 1 ﹣2 1 …
−6 −2 −2
2 2 2
1
根据表格上的信息写出该二次函数的解析式是 y=− （ x ﹣ 1 ） 2 ﹣ 2 ．
2
【分析】先求得顶点坐标，再由顶点式得出顶点坐标．
【详解】解：由表得，顶点坐标为（1，﹣2），
设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
1
再把x＝﹣1，y＝﹣4代入y＝a（x﹣1）2﹣2，得a=− ，
2
1 5 1
二次函数的解析式是y=− x2+x− 或y=− (x−1) 2−2，
2 2 2
1 5 1
故答案为y=− x2+x− 或y=− (x−1) 2−2．
2 2 2
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象，掌握用待定系数法求二
次函数的解析式是解题的关键．
知识点17 二次函数y=ax2+bx+c的性质
53．（2024秋•和平区校级月考）若抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m的顶点在x轴上，则m＝ ﹣ 2 ．
【分析】根据当b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点可得：[﹣（m﹣2）]2﹣4×1•（﹣2m）＝0，
然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m的顶点在x轴上，
∴[﹣（m﹣2）]2﹣4×1•（﹣2m）＝0，
m2﹣4m+4+8m＝0，
m2+4m+4＝0，
（m+2）2＝0，m ＝m ＝﹣2，
1 2
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
54．（2022秋•大荔县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图
所示，其对称轴为直线x＝2，与y轴交于点（0，﹣2），则当y＜﹣2时，x的取值范围是 0 ＜ x ＜ 4
．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2及抛物线经过点（0，﹣2）可得抛物线经过（4，﹣2），进
而求解．
【详解】解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（0，﹣2），
由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，﹣2），
∴当0＜x＜4时，y＜﹣2，
故答案为：0＜x＜4．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题关键．
55．（2024秋•前进区校级期中）已知（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）都是二次函数y＝ax2﹣2ax+3a
1 2 3
（a≠0）的图象上的点，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则y ，y ，y 按从小到大顺序排列是 y
1 2 3 2
＜ y ＜ y ．
1 3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线 x＝1，结合题意得出抛物线开口向上，再将
点（﹣1，y ）求得关于对称轴对称的点（3，y ），利用增减性即可得出答案．
1 1
【详解】解：∵y＝ax2﹣2ax+3a（a≠0），
−2a
∴图象的对称轴是直线x=− =1．
2a
∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴a＞0，
∴点（﹣1，y ）关于直线x＝1的对称点是（3，y ），
1 1
∵2＜3＜4，∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 3
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，解题时要熟练掌握
二次函数的性质是关键．
知识点18 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
56．（2024秋•三台县期中）二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1．下列结论：
①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④（a+c）2﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数），
其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
b
【分析】由抛物线开口向下，对称轴− =1＞0以及抛物线交y轴正半轴，得abc＜0，即可判断①；
2a
b
由对称轴− =1，可得2a+b＝0，即可判断②：当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，结合b＝﹣2a，得3a+c＜
2a
0，即可判断③；由x＝1时，a+b+c＞0，得（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，得（a+c）2﹣b2＜0，即可判断
④；由x＝1时，函数取得最大值a+b+c，得a+b+c≥am2+mb+c，得a+b≥m（am+b），即可判断⑤．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
b
∵− =1＞0，
2a
∴b＞0，
由题意可得：c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确；
b
②∵− =1，
2a
∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，
∴②正确；
③∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
把b＝﹣2a代入，
得3a+c＜0，
∴③错误；
④∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
即（a+c）2﹣b2＜0，
∴④正确；
⑤∵x＝1时，函数取得最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系．解题关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向，对称轴
位置，与x轴交点位置，与y轴交点位置，x取特殊值时函数表达式值的正负性质．
57．（2021•河北区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结
论：
①b＞a；
b
②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜− ；
a
③3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断①；根据根与系数的关系即可判断②；根据对称轴
和当x＝1时，函数值的符号即可判断③．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
b
∵− ＞0，
2a
∴b＞0，
∴b＞a，故①正确；
设二次函数与x轴的两个交点的横坐标是x 和x ，x ＜x ，则x +x ＞m+n，
1 2 1 2 1 2
b
∵x +x =− ，
1 2 a
b
∴m+n＜− ，故②正确；
a
b
∵− ＞1，a＜0，
2a
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，c＜0，b＞0，
∴﹣3a＝|3a|，﹣c＝|c|，2b＝|2b|，
∴3|a|+|c|＜2|b|，故③正确，
故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下
开口．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称
轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定
抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
知识点19 用“一般式”求二次函数解析式
58．（2024秋•江岸区期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y＝ax2+bx+c的
解析式为（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 …
A．y＝x2+3x+5 B．y＝x2+3x﹣5
C．y＝﹣x2+3x﹣5 D．y＝﹣x2﹣3x﹣5
【分析】选取表中的三组对应值代入y＝ax2+bx+c中得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出
a、b、c，从而得到抛物线解析式．
{a−b+c=−7
)
【详解】解：把（﹣1，﹣7），（0，﹣5），（1，﹣1）分别代入y＝ax2+bx+c得 c=−5 ，
a+b+c=−1
{
a=1
)
解得 b=3 ，
c=−5
所以二次函数解析式为y＝x2+3x﹣5．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
59．（2024秋•东莞市校级月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），C
（0，3），B（2，﹣3）三点．求抛物线对应的函数表达式．
【分析】由待定系数法即可求解．
{
a−b+c=0
)
【详解】解：由题意得： c=3 ，
4a+2b+c=−3
{a=−2
)
解得： b=1 ，
c=3则抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+x+3．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，确定函数表达式是解题的关键．
知识点20 用“顶点式”求二次函数解析式
60．（2024秋•西华县期中）形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+3相同，且顶点为（﹣2，1）的二次函数
解析式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+1 D．y＝﹣2（x﹣2）2+1
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+1，
∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线y＝2x2﹣x+3相同，
∴a＝2，
则二次函数解析式为y＝2（x+2）2+1，
故选：A．
【点睛】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性
质求出a值是关键．
61．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
1 7
则这个二次函数的解析式为 y=− x2+x+ ．
2 2
【分析】用待定系数法即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将（﹣3，﹣4），（﹣1，2），（1，4）代入y＝ax2+bx+c得，
{9a−3b+c=−4
)
a−b+c=2 ，
a+b+c=4
1
{a=−
)
2
解得 b=1 ，
7
c=
21 7
所以这个二次函数的解析式为y=− x2+x+ ．
2 2
1 7
故答案为：y=− x2+x+ ．
2 2
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
62．（2021秋•瑶海区期末）一个二次函数，当x＝﹣1时，函数的最小值为2，它的图象经过点（1，
6），求这个二次函数的表达式．
【分析】设抛物线顶点式，然后将（1，6）代入解析式求解．
【详解】解：设y＝a（x+1）2+2，
把（1，6）代入y＝a（x+1）2+2得6＝4a+2，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2+2．
【点睛】本题考查求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的三
种解析式．
知识点21 用“交点式”求二次函数解析式
63．（2020•吴兴区校级三模）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝
2，则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2
B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2
D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C点
坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出对
应的a的值，从而可得抛物线解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣
（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝
（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
64．（2024秋•萧山区月考）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相可，且经过（﹣
1，0）和（3，0），则这条抛物线的解析式为 y ＝﹣ 2 x 2 + 4 x + 6 ．
【分析】利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到a＝﹣2，即可．
【详解】解：∵抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
∵一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相可，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6．
故答案为：y＝﹣2x2+4x+6．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式是解题的关键．
25
65．若抛物线的最高点的纵坐标是 ，且过点（﹣1，0），（4，0），则该抛物线的解析式为（ ）
4
A．y＝﹣x2+3x+4 B．y＝﹣x2﹣3x+4
C．y＝x2﹣3x﹣4 D．y＝x2﹣3x+4
3
【分析】由于抛物线与x轴交点为对称轴，则可得到抛物线的对称轴为直线x= ，所以抛物线的顶点坐
2
3 25
标为（ ， ），然后设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），再把顶点坐标代入求出a即可．
2 4
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），
3
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
3 25
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ），
2 4
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
3 25 5 5 25
把（ ， ）代入得a• •（− ）= ，解得a＝﹣1，
2 4 2 2 4∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+3x+4．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析
式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
66．（2024秋•工业园区校级期中）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，
0），C（0，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
1 1
（2）在y= x2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4= x2﹣x﹣4，得x＝0或x＝2；由图可知当y＜﹣4时，x
2 2
的取值范围是0＜x＜2．
【详解】解：（1）由题意设y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，﹣4）代入得﹣4＝﹣8a，
1
∴a= ，
2
1
∴y= （x+2）（x﹣4），
2
1
∴二次函数的解析式为y= x2﹣x﹣4；
2
1 1
（2）在y= x2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4= x2﹣x﹣4，
2 2
解得x＝0或x＝2；
∴当y＜﹣4时，x的取值范围是0＜x＜2．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合 s解题的
关键．
知识点22 根据图形平移、翻折、旋转求解析式
67．已知一条抛物线的开口方向和形状与y＝3x2相同，顶点在抛物线y＝（x+2）2的顶点上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若将（1）中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式为 y ＝ 3 （ x ﹣ 2 ） 2 ；
（3）若将（1）中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为 y ＝﹣ 3 （ x + 2 ） 2
；
（4）若将（1）中的抛物线沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为 y ＝ 3 （ x ﹣ 2 ） 2 ．
【分析】（1）a＝3，顶点为（﹣2，0），利用顶点式得到这条抛物线的解析式为y＝3（x+2）2；
（2）把点（﹣2，0）向右平移4个单位得到（2，0），然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式；
（3）由于顶点不变，开口方向相反，则y＝﹣3（x+2）2；
（4）由于点（﹣2，0）关于y轴对称的点的坐标为（2，0），则所得到的新抛物线解析式为y＝3（x﹣
2）2．
【详解】解：（1）这条抛物线的解析式为y＝3（x+2）2；
（2）将抛物线y＝3（x+2）2向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2；
（3）将抛物线y＝3（x+2）2的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2；
（4）将抛物线y＝3（x+2）2沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2．
故答案为y＝3（x﹣2）2；y＝﹣3（x+2）2；y＝3（x﹣2）2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移
后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法
求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
68．已知抛物线y＝2x2﹣4x+1，
（1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？
（2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？
（3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？
（4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？
【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
（1）先确定点（1，﹣1）关于x轴对称的对应点的坐标，由于关于x轴对称的两抛物线开口方向相反，
则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
（2）先确定点（1，﹣1）关于y轴对称的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；（3）先确定点（1，﹣1）关于原点对称的对应点的坐标，由于关于原点对称的两抛物线开口方向相反，
则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
（4）先确定抛物线y＝2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），再确定顶点（1，﹣1）关于点（0，
1）对称的对应点的坐标，由于旋转180°后抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，则可根据顶点
式写出对称后的抛物线解析式．
【详解】解：y＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
（1）点（1，﹣1）关于x轴对称的对应点的坐标为（1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的
解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1；
（2）点（1，﹣1）关于y轴对称的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），所以原抛物线关于y轴对称的抛物
线的解析式为y＝2（x+1）2﹣1；
（3）点（1，﹣1）关于原点对称的对应点的坐标为（﹣1，1），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线
的解析式为y＝﹣2（x+1）2+1；
（4）抛物线y＝2x2﹣4x+1与y轴的交点坐标为（0，1），点（1，﹣1）关于点（0，1）对称的对应点
的坐标为（﹣1，3），所以原抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的
抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出
解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．记住关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标
特征．
易错点：用二次函数定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错。
69．（2022秋•普兰店区期末）y=(m−1)xm2+1是二次函数，则m的值是（
）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：∵y=(m−1)xm2+1是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数 y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
易错点： 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致错误
70．（2021秋•鲤城区校级期中）已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．1
【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，
∴|a|＝4，
∴a＝±4．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状
相同，即二次项系数的绝对值相等．
易错点：忽略开口方向隐含的条件致错
71．若二次函数y＝（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，求m的值．晓丽的解题过程如下：
解：∵y＝（2﹣m）x|m|﹣3是二次函数，
∴|m|﹣3＝2，解得m＝5或m＝﹣5．
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程．
【分析】直接利用二次函数的定义，再结合抛物线开口向下进而得出答案．
【详解】解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误，
正确的解题过程如下：
∵y＝（2﹣m）x|m|﹣3是二次函数，
∴|m|﹣3＝2，
解得m＝5或m＝﹣5，
∵二次函数∵y＝（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，
∴2﹣m＜0，
解得：m＞2，
故m＝5．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握抛物线开口方向下a＜0是解题关键．
易错点：混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错
72．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左
平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，向右平移3个单位长度后”后所得抛物
线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，向右平移3个单位长度
后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
易错点：考虑不到C点的坐标是两种情况而出错。
73．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的解析
式．
【提示】①该抛物线表达式怎么设？
②C点坐标是多少？
【分析】首先由OC＝2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标
代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【详解】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y＝ax2+bx+c（a≠0），
{4a+2b+c=0
)
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得： a−b+c=0 ，
c=2
{a=−1
)
解得： b=1 ，
c=2
则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解
题的关键．
易错点：考虑不到另一交点的坐标是两种情况而出错。
74．（2023•南岗区二模）已知二次函数图象经过原点和点（2，4），且图象与x轴的另一个交点到原点的
2 6
距离是3，则这个二次函数的解析式为 y ＝﹣ 2 x 2 + 6 x 或 y= x 2 + x ．
5 5
【分析】利用抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）或（﹣3，0），则可设抛物线解析式为y＝ax（x﹣3）或抛物线解析式为y＝ax（x+3），然后把（2，4）分别代入求出对应的a的值即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的另一个交点到原点的距离是3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）或（﹣3，0），
当抛物线经过点（0，0），（3，0），（2，4），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣3），
把（2，4）代入得2a（2﹣3）＝4，解得a＝﹣2，
∴此时抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3），即y＝﹣2x2+6x；
当抛物线经过点（0，0），（﹣3，0），（2，4），
设抛物线解析式为y＝ax（x+3），
2
把（2，4）代入得2a（2+3）＝4，解得a= ，
5
2 2 6
∴此时抛物线解析式为y= x（x+3），即y= x2+ x，
5 5 5
2 6
综上所述，这个二次函数的解析式为y＝﹣2x2+6x或y= x2+ x．
5 5
2 6
故答案为y＝﹣2x2+6x或y= x2+ x．
5 5
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．
75．（2017•南山区三模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD
的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
4 2 2 4
A．y= x2 B．y= x2 C．y= x2 D．y= x2
25 25 5 5
【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC＝a，则AC＝4a，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，易证得
△ABC≌△DAE，所以AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，得到EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，在Rt△DEC中，根
1
据勾股定理得到DC＝5a，所以有x＝5a，即a= x；根据四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积
51 1 2
+三角形ACD的面积，即可得到y= ×a×4a+ ×4a×4a＝10a2= x2．
2 2 5
【详解】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC＝a，则AC＝4a，
∵∠BAD＝90°，∠AED＝90°，
∴∠1＝∠3，
而∠ACB＝90°，AB＝AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，
∴EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，
在Rt△DEC中，DC＝5a，
1
∴x＝5a，即a= x，
5
又∵四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
1 1 2
∴y= ×a×4a+ ×4a×4a＝10a2= x2．
2 2 5
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．
76．（2025•重庆模拟）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂
3月份的产值y关于x的函数解析式为 y ＝ 20 0 （ 1+ x ） 2 ．
【分析】根据：现有量＝原有量×（1+增长率）n，即可列出函数解析式．
【详解】解：现有量＝原有量×（1+增长率）n，
依题意得：y＝200（1+x）2．
故答案为：y＝200（1+x）2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×（1+增长率）n＝现有量，n表示增长的
次数．
77．（2022秋•太康县期末）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和
不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
{m2−m=0)
【详解】解：（1）依题意得： ，
m−1≠0
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，
叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y
是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常
数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
78．（2021秋•新昌县期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边
长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当S=❑√3时，求x的值．
【分析】（1）用x表示矩形的长和宽即可．
（2）根据函数表达式计算x．
【详解】解：（1）∵正△ABC，
∴∠B＝60°，
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，
∴∠BED＝90°，BE＝CF＝x，EF＝4﹣2x，∴DE＝BE•tan60°=❑√3x．
∴S＝EF•DE=❑√3x•（4﹣2x）＝﹣2❑√3x2+4❑√3x．
（2）∵S=❑√3，
∴﹣2❑√3x2+4❑√3x=❑√3．
∴2x2﹣4x+1＝0．
❑√2
解得：x＝1± ．
2
∵0＜x＜2．
❑√2
∴x＝1± ．
2
【点睛】本题考查二次函数的应用，将矩形的长和宽用x表示是求解本题的关键．
2n+1 1 1
79．（2024秋•绍兴月考）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2− x− + 与x轴交于A ，
n(n+1) n+1 n n
B
n
两点，以A
n
B
n
表示这两点之间的距离，则A
1
B
1
+A
2
B
2
+A
3
B
3
+⋯+A
2024
B
2024
的值是（ ）
2024 1011 2023
A． B． C．1 D．
2025 1012 2024
1 1
【分析】依据题意，先利用因式分解的方法得到y=(x− )(x− )，从而得到抛物线与x轴的交点
n+1 n
1 1 1 1
A ， B 坐 标 为 ( ，0)， ( ，0)， 所 以 A B = − ， 所 以
n n n+1 n n n n n+1
1 1 1 1 1 1 1
A B +A B +A B +⋯+A B =1− + − + − +⋯+ − ，然后合并即可．
1 1 2 2 3 3 2024 2024 2 2 3 3 4 2024 2025
2n+1 1 1
【详解】解：∵y=x2− x− +
n(n+1) n+1 n
1 1 1
=x2−( + )x+
n n+1 n(n+1)
1 1
=(x− )(x− )，
n+1 n
1 1
∴抛物线与x轴的交点A ，B 坐标为( ，0)，( ，0)，
n n n+1 n
1 1
∴A B = − ，
n n n n+1
1 1 1 1 1 1 1
∴原式=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2024 20251
=1−
2025
2024
= ．
2025
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，十字相乘法，因式分解法解一元二次方程，有理
数的加减混合运算等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
80．已知点（x ，y ），（x ，y ）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（
1 1 2 2
）
A．若x ＞x ，则y ＞y
1 2 1 2
B．若x ＜x ，则y ＜y
1 2 1 2
C．若x x ＞（x ）2，则y ＞y
1 2 2 1 2
D．若x x ＜（x ）2，则y ＜y
1 2 2 1 2
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵y＝x2，a＝1＞0，对称轴为y轴，
∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，
函数值越大；
A、x ＞x ，y 不一定大于y ，
1 2 1 2
例如x ＝1时，y ＝1，x ＝﹣2时，y ＝4，此时x ＞x ，
1 1 2 2 1 2
但是y ＜y ；故选项A错误，不符合题意；
1 2
B、x ＜x ，y 不一定小于y ，
1 2 1 2
例如x ＝﹣2时y ＝4，x ＝1时，y ＝1，此时x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
但是y ＞y ；故选项B错误，不符合题意；
1 2
C、当x x ＞（x ）2，即：x x ＞x x ＞0，
1 2 2 1 2 2 2
∴x ＜x ＜0或x ＞x ＞0，
1 2 1 2
当x ＜x ＜0时，y ＞y ，
1 2 1 2
当x ＞x ＞0时，y ＞y ，
1 2 1 2
..当x x ＞（x ）2时，y ＞y ，
1 2 2 1 2
故选项C正确，符合题意；
D、当x x ＜（x ）2，即：y 不一定小于y ，
1 2 2 1 2
例如x ＝﹣2时，y ＝4，x ＝1时，y ＝1，
1 1 2 2此时x x ＝﹣2＜（x ）2＝1，但是y ＞y ；故选项D错误，不符合题意；
1 2 2 1 2
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键，本题可以利用特
殊值法进行排除，进行判断．
81．（2021秋•天津期末）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横
坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．2❑√5 D．❑√26
【分析】根据点B的横坐标与纵坐标之和等于6和点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，可以求得
点B的坐标．
【详解】解：连接OB，如图，
设点B的横坐标为a，
∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴点B的纵坐标为6﹣a，
∵点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，
∴6﹣a＝a2，
解得a ＝﹣3（不符合题意，舍去），a ＝2，
1 2
∴6﹣a＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
连接OB，
则OB=❑√22+42=2❑√5，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC＝OB＝2❑√5，故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是
求出点B的坐标．
82．7（2019秋•雁塔区校级月考）如图，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是：①y＝a（x﹣
h）2；②＝b（x﹣h）2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【分析】根据二次函数图象的开口宽窄和方向解答即可．
【详解】解：由二次函数的性质知：
抛物线的开口大小由|a|决定．|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽；
抛物线y＝ax2的开口方向由a决定．当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方；当a＜
0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方．
根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d．
所以，a＞b＞c＞d．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
1
83．（2023•长春一模）如图，抛物线y＝x2与矩形ABCD交于E、F两点，y= x2 与矩形ABCD交于A、D
21
两点，y=− x2 与矩形ABCD交于B、C两点，若点A的横坐标为﹣1，则图中阴影部分面积的和为
4
3
．
4
【分析】把点A的横坐标代入函数解析式求出点A、B的纵坐标，从而求出AB的长度，再根据二次函
数的对称性求出BC的长，并得到阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积的一半，然后列式计算即可得
解．
【详解】解：∵点A的横坐标为﹣1，
1 1
∴y= ×（﹣1）2= ，
2 2
1 1
y=− ×（﹣1）2=− ，
4 4
1 1
∴点A（﹣1， ），B（﹣1，− ），
2 4
1 1 3
∴AB= −（− ）= ，
2 4 4
根据二次函数的对称性，BC＝1×2＝2，
1 1 3 3
阴影部分的面积=
2
S矩形ABCD =
2
×2×
4
=
4
．
3
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，
判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键，也是本题的难点．
84．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y ＝x（x＜m）的图象与函数y ＝x2（x≥m）的
1 2
图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一
个满足条件的实数m的值为 答案不唯一，如： 1 （ 0≤ m ≤ 1 ） （写出一个即可）．
【分析】求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．{y=x) {x=0) {x=1)
【详解】解：由 解得 或 ，
y=x2 y=0 y=1
∴函数y ＝x的图象与函数y ＝x2的图象的交点为（0，0）和（1，1），
1 2
∵函数y ＝x（x＜m）的图象与函数y ＝x2（x≥m）的图象组成图形G．
1 2
由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1，
故答案为答案不唯一，如：1（0≤m≤1），
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，求得交点坐标是解题的关键．
85．（2024•福田区校级二模）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
【详解】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，
一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝
ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知D正确．
故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找
出其大概图象是解题的关键．
86．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），若y ＜y ，则下列结论正确的是（
1 1 2 2 1 2
）
A．0≤x ＜x B．x ＜x ≤0
1 2 2 1
C．x ＜x ≤0或0≤x ＜x D．以上都不对
2 1 1 2
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，
∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），且y ＜y ，
1 1 2 2 1 2
∴|x |＜|x |，
1 2
∴0≤x ＜x 或x ＜x ≤0或0＜﹣x ＜x 或0＜x ＜﹣x ，
1 2 2 1 1 2 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关
键．
87．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac
的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求
得a、c的值，即可求得结论．
【详解】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），{m=am2+c)
∴ ，
2m=c
c
解得am＝﹣1，m= ，
2
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关
键．
2
88．（2024秋•阜阳月考）抛物线y=mx2+
的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
m
2
（1）点B坐标为 (0，− ) ；
m
2
（2）点C(2， −1)，D（4，0），且线段CD与抛物线恰有一个公共点，则 m的取值范是
m
1
− ≤m＜0 ．
4
【分析】（1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标；
（2）根据题意，分两种情况分别求：当m＞0和m＜0时，根据“线段CD与抛物线恰有一个公共点”
列出不等式，再结合图象可确定m的范围．
2
【详解】解：（1）∵抛物线y=mx2+
与y轴交于点A，
m
2
∴A(0， )，
m
∵点A关于x轴的对称点为点B，
2
∴B(0，− )，
m
2
故答案为：(0，− )；
m（2）当m＞0时，
通过观察可得：C在直线l上，若要CD与抛物线有一个交点，
2 2
则
−1≥m⋅22+
，
m m
1
解得m≤− （舍），
4
当m＜0时，
2 2
−1≤m⋅22+
，
m m
1 1
解得m≥− ，即− ≤m＜0．
4 4
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能对 m进行分类讨论，
并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
1
89．（2021•凉山州模拟）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的
4
1
距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为（❑√3，3），P是抛物线y= x2+1上一个动点，
4
则△PMF周长的最小值是 5 ．
【分析】作PM'⊥x轴于M'，当M，P，M'共线时△PMF周长的最小．【详解】解：作PM'⊥x轴于M'，
由题意得PM'＝PF，
∴当M，P，M'共线时MP+FP最小，最小值为MM'＝3，
∵MF=❑√(❑√3−0) 2+(3−2) 2=2，
∴△PMF周长的最小值为MM'+MF＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查二次函数的性质及最短路线问题，解题关键是根据题意作辅助线求解．
90．抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于M（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）对于二次函数y＝2x2+n，当x在什么范围时，y随x的增大而减小？
（4）y＝2x2+n与y＝2x﹣1还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，说明理由．
【分析】（1）将（m，3）代入y＝2x﹣1即可求出m的值，再将（2，3）点代入y＝2x2+n即可求出n
的值；
（2）利用顶点式求得顶点坐标和对称轴；
（3）丽抛物线的开口方向和对称轴得出x的取值范围；
（4）将两函数联立方程，即可求出交点坐标
【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3），
∴将点（m，3），代入y＝2x﹣1得：
3＝2m﹣1，
解得：m＝2，
则将（2，3）代入y＝2x2+n得：3＝8+n，
解得：n＝﹣5；
（2）根据（1）得出y＝2x2﹣5，
顶点坐标（0，﹣5），对称轴y轴；（3）抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小；
（4）由题意得2x﹣1＝2x2﹣5解得：
x＝﹣1，或x＝2，
故y＝2x2+n与y＝2x﹣1图象还有其它交点为（﹣1，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，图象上点的坐标性质以及函数图象交点坐标求法，利用方程
与函数的关系得出是解题关键．
91．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的
直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）
7 9 11 13
A． B． C． D．
3 4 5 6
【分析】函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）2＝a，求出A、
B坐标即可求解．
【详解】解：函数顶点坐标M为（h，0），
设：点M到直线l的距离为a，
则：y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h±❑√a，
即：A（h−❑√a，a），B（h+❑√a，a），
∵AB＝3，∴h+❑√a−（h−❑√a）＝3，
9
解得：a= ，
4
故选：B．
【点睛】本题考查的是函数与x轴的交点，是一道基本题．
92．（2021•开福区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，
其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
【分析】根据对称轴x＝h和1≤x≤3位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x＝h，
①当h≥3时，x＝3时，y取得最小值，即（3﹣h）2＝1，
解得：h＝2或4（舍去2），
故h＝4；
②当h≤1时，
x＝1时，y取得最小值，即（1﹣h）2＝1，
解得：h＝0或2（舍去2），
故h＝0；
③当1＜h＜3时，
x＝h取得最小值，最小值为0，不符合题意，舍去，故此结论不成立；
综上，h＝0或4，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键确定对称轴与给定区间的位置关系，
讨论求解．
93．（2024秋•莱阳市期末）设函数y =−(x−m) 2，y =−(x−n) 2，直线x＝1与函数y ，y 的图象分别
1 2 1 2
交于点A（1，a ），B（1，a ），得（ ）
1 2
A．若1＜m＜n，则a ＜a B．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 1 2
C．若m＜1＜n，则a ＜a D．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 2 1
【分析】根据题意分别画出y ，y 的图象，继而根据图象即可求解．
1 2
【详解】解：如图所示，若1＜m＜n，则a ＞a ，
1 2故A不符合题意；
如图所示，若m＜1＜n，则a ＞a 或a ＜a ，
1 2 1 2
故C不符合题意；
如图所示，若m＜n＜1，则a ＜a ，
1 2B符合题意，D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
94．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1），Q（9，1），若抛物线y＝（x﹣a）2与线段PQ有
交点，则a的取值范围是 2≤ a ≤1 0 ．
【分析】当y＝（x﹣a）2经过点P（3，1）时求出a的最小值，当y＝（x﹣a）2经过点Q（9，2）时求
出a的最大值．
【详解】解：当y＝（x﹣a）2经过点P（3，1）时，（3﹣a）2＝1，解得a＝2或a＝4；
当y＝（x﹣a）2经过点Q（9，2）时，（9﹣a）2＝1，解得a＝8或a＝10；
故a的取值范围为：2≤a≤10．
故答案为：2≤a≤10．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关
键．
95．如图，点P ，P ，P ，…，P 在抛物线y＝a（x﹣1）2上，点Q ，Q ，Q ，…，Q 在抛物线的对称轴
1 2 3 n 1 2 3 n
上，若△P Q Q ，△P Q Q ，…，△P Q Q 都为等边三角形（点Q 是抛物线的顶点）且Q Q ＝2，
1 0 1 2 1 2 n n﹣1 n 0 0 1
则P 的坐标为 （❑√3 n +1 ， n 2 ） ．
n【分析】过点P作P
1
M⊥x轴交于M点，利用等边三角形的性质，求出P
1
（1+❑√3，1），P
2
（2❑√3+1，
4），P （3❑√3+1，9），……P （❑√3n+1，n2）．
3 n
【详解】解：过点P作P
1
M⊥x轴交于M点，
∵Q Q ＝2，△P Q Q 是等边三角形，
0 1 1 0 1
∴P Q ＝2，∠PQ M＝30°，
1 0 0
∴MQ =❑√3，
0
∴P （1+❑√3，1），
1
∴1＝3a，
1
∴a= ，
3
1
∴y= （x﹣1）2，
3
❑√3 1
设Q Q ＝m，则P （ m+1， m+2），
1 2 2 2 2
1 1 ❑√3
∴ m+2= ×（ m+1﹣1）2，
2 3 2
∴m＝4或m＝﹣2（舍），
∴P （2❑√3+1，4），
2
同理可得P （3❑√3+1，9），
3
……
∴P （❑√3n+1，n2），
n
故答案为：（❑√3n+1，n2）．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，探索
出点的坐标规律是解题的关键．
96．（2020秋•越秀区校级期中）如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且1
S = ．
△AOB 2
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求S 最大时，点C的坐标．
△ABC
1
【分析】（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据S△AOB= 确定出a的值，即可确定出解析式；
2
（2）过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），根据S
△ABC
＝
S +S 表示出△ABC的面积，根据二次函数的性质即可求得．
△ACD △BCD
【详解】解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，a），
∴OA＝1，OB＝﹣a，
1
∵S = ．
△AOB 2
1 1
∴ ×1×（﹣a）= ，
2 2
解得，a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2；
（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），
∴直线AB为y＝﹣x﹣1，
过C作x轴垂线，交直线AB于点D，连接AC、BC，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），
∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，
1
∵S ＝S +S = [﹣（x+1）2+x+1]×1，
△ABC △ACD △BCD 2
1 1 1
∴S =− （x+ ）2+ ，
△ABC 2 2 8
1
∵− ＜0，
2
1
∴当x=− 时，△ABC的面积最大，
2
1 1 1
将x=− 代入C（x，﹣（x+1）2），得C（− ，− ），
2 2 4
1 1
∴S 最大时，点C的坐标为（− ，− ）．
△ABC 2 4
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
三角形面积等，表示出C、D的坐标是解本题的关键．
97．（2023•衡水模拟）已知a（a＜0），h（0＜h＜10），k为三个常数，且二次函数y＝a（x﹣h）2+k的
图象经过（0，5），（10，8）两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：h的值可能为5；
结论Ⅱ：点P（m，n）在二次函数图象上，若n＝8，则满足条件的点P有两个
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征
判断点（10，8）不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8，即可判断Ⅱ．
【详解】解：∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象经过（0，5）、（10，8）两点，0＜h＜10，
∴对称轴在5到10之间，
故结论Ⅰ不正确；
∵图象经过（0，5）、（10，8）两点，0＜h＜10，对称轴为直线x＝h，
∴点（10，8）不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8，
∴点P（m，8）满足条件的点P有两个，
故结论Ⅱ正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．
1
98．（2024•玉林模拟）已知抛物线C：y= （x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平
2
移m个单位，得到抛物线C ，顶点为D ，C与C 相交于点Q，若∠DQD ＝60°，则m等于（ ）
1 1 1 1
A．±4❑√3 B．±2❑√3 C．﹣2或2❑√3 D．﹣4或4❑√3
【分析】根据平移的性质求得交点Q的横坐标，代入C求得纵坐标，然后根据题意和勾股定理得到，
m+2 m2
（ −1）2+（ −1+1）2＝m2，解方程即可求得．
2 81 1
【详解】解：抛物线C：y= （x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y= （x﹣m
2 2
﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），D （m+1，﹣1），
1
m+2
∴Q点的横坐标为： ，
2
1 m+2 m2
代入y= （x﹣1）2﹣1求得Q（ ， −1），
2 2 8
若∠DQD ＝60°，则△DQD 是等边三角形，
1 1
∴QD＝DD ＝|m|，
1
m+2 m2
由勾股定理得，（ −1）2+（ −1+1）2＝m2，
2 8
解得m＝±4❑√3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得Q的坐标是解题的关键．
99．（2025•青岛模拟）点M是二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2图象的顶点，MN⊥x轴，且交一次函数
y＝x﹣2的图象于点N，点P在y轴上，下列结论错误的是（ ）
A．点（﹣1，0）一定在二次函数图象上
11
B．MN≥
4
C．当MN最小时，MP+NP的最小值是3
3 1
D．若两个函数图象在第四象限有交点，则− ＜m＜
2 2
【分析】依据题意，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，
从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣m）2+（m+1）2＝0，
∴点（﹣1，0）一定在二次函数图象上，故选项A正确；∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴该函数的顶点坐标为（m，（m+1）2），
∴点M的坐标为（m，（m+1）2），
∵点N在y＝x﹣2上，MN⊥x轴，
∴点N的坐标为（m，m﹣2），
1 2 11 11
∴MN=(m+1) 2−(m−2)=(m+ ) + ≥ ，
2 4 4
故选项B正确；
1 1
∴当MN最小时，m+ =0，此时m=− ，
2 2
1 1 1 5
∴点M的坐标为(− ， )，点N的坐标为(− ，− )，
2 4 2 2
∵点P在y轴上，点M，N在y轴的左侧，
1 1 1 1
M (− ， )关于y轴对称点为M′( ， )，则直线M′N与y轴的交点即为点P，此时MP+NP的值最
2 4 2 4
小，
√ 1 1 2 1 5 2 ❑√137
∴MP+NP=M′P+NP=M′N=❑(− − ) +( + ) = ，
2 2 4 2 4
❑√137
∴MP+NP的最小值是 ，选项C错误；
4
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝m，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+（m+1）2＝2m+1，
∴该函数图象与y轴交于点（0，2m+1），
一次函数y＝x﹣2与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（2，0），
3
将（0，﹣2）代入y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，得﹣（0﹣m）2+（m+1）2＝﹣2，解得：m=− ，
2
1
将（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，得﹣（2﹣m）2+（m+1）2＝0，解得：m= ，
2
∵两函数图象在第四象限有交点，
3 1
∴− ＜m＜ ，
2 2
故选项D正确；故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本
题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
100．（2025•宁国市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y＝ax+b的图象可知：a＞0，b＜0，然后判断二次函数图象即可．
【详解】解：由一次函数y＝ax+b的图象可知：a＞0，b＜0，
b
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x=− ＞0，
2a
又二次函数y＝ax2+bx的图象过原点，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，关键是掌握数形结合的思
想．
101．（2024秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数值y之间满足如表数
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
量关系：那么(a−b+c)( + )的值为（ ）
2a 2a
x 2 4 7
y 20.17 20.17 1
A．4 B．6 C．10 D．14【分析】依据题意，根据表格数据，图象过（2，20.17），（4，20.17），从而可得对称轴是直线x
2+4 −b±❑√b2−4ac x +x b
=
2
= 3，又令y＝0，方程ax2+bx+c＝0的两根x
1，2
=
2a
满足 1
2
2=−
2a
=3，从而
x +x ＝6，再结合对称轴是直线x＝3，从而当x＝7时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等，进而可得
1 2
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝1，故可以判断得解．
【详解】解：由题意，根据表格数据，图象过（2，20.17），（4，20.17），
2+4
∴对称轴是直线x= =3．
2
−b±❑√b2−4ac x +x b
∴令y＝0，方程ax2+bx+c＝0的两根x
1，2
=
2a
满足 1
2
2=−
2a
=3．
∴x +x ＝6．
1 2
又对称轴是直线x＝3，
∴当x＝7时的函数值与当x＝﹣1时的函数值相等．
又∵当x＝7时，y＝1，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝1．
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
∴(a−b+c)( + )=1×6＝6．
2a 2a
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程﹣公式法、二次函数图象上点的坐标特征，
解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
102．（2025•德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D的坐标分别为（﹣1，
1），（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（ ）
−3−❑√5 −3−❑√5
A． ≤m≤2 B． ≤m≤0
2 2
−3+❑√5 −3+❑√5
C． ≤m≤2 D． ≤m≤0
2 2【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在 y＝x+1的直线上运动，
当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点 A（﹣1，1），此时m取最小值，当二次函数与矩
形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与y轴的交点（0，1），此时m取最大值，然后将已知点坐
标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可．
【详解】解：将y＝x2﹣2mx+m2+m+1配成顶点式：y＝（x﹣m）2+m+1，
此二次函数的顶点坐标是（m，m+1），a＝1，开口向上，开口大小一定，
则此二次函数的顶点在直线y＝x+1的直线运动，
如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点A（﹣1，1），此时m取最小值，
由条件可得：1+2m+m2+m+1＝1，
−3−❑√5 −3+❑√5
解得：m = ，m = （舍去），
1 2 2 2
−3−❑√5
则m的最小值是 ，
2
如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与 y轴的交点（0，1），此时m
取最大值，
由条件可得：m2+m+1＝1，
解得：m ＝0，m ＝﹣1（舍去）
1 2
−3−❑√5
∴ ≤m≤0，
2故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运
用数形结合的思想是解决问题的关键．
103．（2024•济南模拟）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t，将其图象在直线x＝1左侧部分沿x轴翻折，其余
部分保持不变，组成图形G．在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，其中
m＞n．令s＝m﹣n，则s的取值范围是（ ）
A．s≤0 B．0≤s≤2 C．s≤2 D．s≥2
【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，再结合题
意可知t≥1，根据图象分别求出m＝t，n＝﹣t2+t﹣1，再求s的范围即可．
【详解】解：二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，
∵点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，
∴t≥1，
∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，
∴函数有最小值y＝t，
∵y≥m，
∴m＝t，
∵y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，当x＝1时，y＝﹣t2+t﹣1，此时函数有最大值，
∵y＜n，
∴n＝﹣t2+t﹣1，
∴s＝m﹣n＝t2+1≥2，
故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数的图象变换，数
形结合解题是关键．
{x2−2x+3(x＜2))
104．（2022•荆门）如图，函数y= 3 9 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与
− x+ (x≥2)
4 2
直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜x ）．
1 1 2 2 3 3 1 2 3
x y +x y 3
设t= 1 1 2 2 ，则t的取值范围是 ＜ t ＜ 1 ．
x y 5
3 3
【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x +x ＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的
1 2
点，可以求出x 的取值范围，进而求出t的范围．
3【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x +x ＝2，
1 2
3 9 10
由一次函数y=− x+ （x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x= ，
4 2 3
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜
1 1 2 2 3 3 1 2
x ），
3
∴y ＝y ＝y ＝m，2＜m＜3，
1 2 3
10
∴2＜x＜ ，
3 3
x +x 2
∴t= 1 2= ，
x x
3 3
3
∴ ＜t＜1．
5
3
故答案为： ＜t＜1．
5
【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表
示出各个变量的取值范围．
105．（2022秋•香洲区期中）如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P、Q同时从点A出发，以2cm/s
的速度分别沿A→B→C，和A→D→C的路径向点C移动．设运动时间为t¿
，由点P、B、D、Q确定的
¿
图形的面积为scm2，求s与t（0≤t≤8）之间的函数关系式．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤t≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式；
②4≤t≤8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式．【详解】解：①0≤t≤4时，
∵正方形的边长为8cm，
∴y＝S ﹣S ，
△ABD △APQ
1 1
= ×8×8− •2t•2t，
2 2
＝﹣2t2+32，
②4≤t≤8时，
y＝S ﹣S ，
△BCD △CPQ
1 1
= ×8×8− •（16﹣2t）•（16﹣2t），
2 2
＝﹣2t2+32t﹣96．
{ −2t2+32(0≤t≤4) )
综上所述，S= ．
−2t2+32t−96(4≤t≤8)
【点睛】本题考查了动点问题函数关系，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
106．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线
E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求
实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等
均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是
26个，求a的取值范围．【分析】（1）解方程a（x+2）＝0；
（2）表示出点A，B′，C的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；
（3）直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为
13个，分别求出a的范围．
【详解】解：（1）令y＝a（x+2）＝0，得x＝﹣2，
A点的坐标为（﹣2，0）；
（2）联立直线l：y＝a（x+2）与抛物线E：y＝ax2得：
{y=a(x+2))
，
y=ax2
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣1或x＝2，
∴B（﹣1，a），C（2，4a），
∵B点关于x轴的对称点为B′点，
∴B'（﹣1，﹣a），
∴AB'2＝（﹣2+1）2+（0+a）2＝a2+1，
AC2＝（2+2）2+（4a﹣0）2＝16a2+16，
B'C2＝（2+1）2+（4a+a）2＝25a2+9，
若∠CAB'＝90°，则AB'2+AC2＝B'C2，即a2+1+16a2+16＝25a2+9，所以a＝1，
❑√15
若∠AB'C＝90°，则AB'2+B'C2＝AC2，即a2+1+25a2+9＝16a2+16，所以a= ，
5
若∠ACB'＝90°，则AC2+B'C2＝AB'2，即16a2+16+25a2+9＝a2+1，此方程无解．
❑√15
∴a＝1或a= ．
5
（3）如图，直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，
∵D（0，2a），E（1，a），F（1，3a），
∴OD＝EF＝2a，
∵格点数恰好是26个，
∴落在y轴和直线x＝1上的格点数应各为13个，
13
∴落在y轴的格点应满足13＜2a≤14，即 ＜a≤7，
2
13 13
①若 ＜a＜7，则即 ＜y ＜7，所以线段EF上的格点应该为（1，7），（1，8）……（1，
2 2 E19），
∴19＜3a≤20
19 20
∴ ＜a≤
3 3
13 20
∴ ＜a≤
2 3
②若a＝7，y ＝7，y ＝21，所以线段EF上的格点正好13个，
E F
13 20
综上， ＜a≤ 或a＝7．
2 3
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并与直角三角形和新定义结合，关键是弄清格
点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，并对点D、F进行定位．
107．（2024秋•和平区校级月考）如图，抛物线l ：y =−(x+1) 2+2与l ：y =−(x−2) 2−1交于点B
1 1 2 2
（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交两条抛物线于点A，C，则以下结
论：
①无论x取何值，y 总是负数；
2
②l
2
可由l
1
向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③随着x的增大，y ﹣y 的值先增大后减小；
1 2
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是 ①②④ ．（填序号）【分析】依据题意，由非负数的性质，即可证得y ＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y
2 2
总是负数，进而可以判断①；求得抛物线的顶点左边，由抛物线的顶点左边，即可得l 可由l 向右平
2 1
移3个单位，再向下平移3个单位得到，可以判断②；由 y ﹣y ＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝
1 2
﹣6x+6，可得随着x的增大，y ﹣y 的值减小，进而可以判断③；求得点A，C，D，E的坐标，即可证
1 2
得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形，进而可以判断④．
【详解】解：∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0．
∴y ＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0．
2
∴无论x取何值，y 总是负数．
2
∴①正确．
∵抛物线l ：y ＝﹣（x+1）2+2的顶点为（﹣1，2），抛物线l ：y ＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣
1 1 2 2
1），
∴l 可由l 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到．
2 1
∴②正确．
∵y ﹣y ＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
1 2
∴随着x的增大，y ﹣y 的值减小．
1 2
∴③错误．
设AC与DE交于点F，
∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
∴x＝﹣3或x＝1．
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
∴x＝3或x＝1．
∴点C（3，﹣2）．
∴AF＝CF＝3，AC＝6．当x＝0时，y ＝1，y ＝﹣5，
1 2
∴DE＝6，DF＝EF＝3．
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE．
∴四边形AECD为矩形，
∴AC⊥DE．
∴四边形AECD为正方形．
∴④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的判定、坐标与图形
变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
108．（2023•定远县一模）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝
2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△AA
1
B
1
．
（1）求以A为顶点，且经过点B 的抛物线的解析式；
1
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
【分析】（1）先设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，再将B 点坐标代入抛物线的解析式即可得出答
1
案；
（2）令x＝0即可求出D点坐标，再求出直线OB解析式，再求直线OB和抛物线的交点即可．
【详解】解：（1）∵OA＝2，
∴A（2，0），∵OA ＝4，A B ＝2，
1 1 1
∴B （4，2），
1
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，
把点B （4，2）代入，得4a＝2，
1
1
解得a= ，
2
1
∴抛物线的解析式为y= （x﹣2）2；
2
1
（2）令x＝0，得y= ×4＝2，
2
∴D（0，2），
设直线OB解析式为y＝kx，
把点B（2，2）代入，得到2k＝2，
解得k＝1，
∴直线OB解析式为y＝x，
1
联立直线和抛物线的解析式，得 (x−2) 2=x，
2
解得x=3±❑√5，
根据点C的位置，取x=3−❑√5，
∴C(3−❑√5，3−❑√5)．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法，是各地中考的热点
和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
109．（2024秋•孟州市月考）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0，k＞0）的顶点为A，对称轴与x轴交
于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛
物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y＝ax2+2是“美丽抛物线”时，则a＝ ﹣ 1 ；
1
（2）当抛物线y=− (x−1) 2+k是“美丽抛物线”时，则k＝ 4 ；
2
（3）若抛物线y＝a（x﹣h）2+k是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．【分析】（1）由“美丽抛物线”的定义可得抛物线y＝ax2+2经过点（1，1），进而求a的解；
1 1
（2）由a可得抛物线经过点D，点D坐标为（1+ k， k），代入即可求k的解；
2 2
1 1
（3）抛物线经过（h+ k， k），代入即可求解．
2 2
【详解】解：（1）∵y＝ax2+2，
∴抛物线顶点A坐标为（0，2），
∴点C坐标为（0，0），
∴点B坐标为（﹣1，1），点D坐标为（1，1），
将（1，1）代入y＝ax2+2得1＝a+2，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
1
（2）∵y=− (x−1) 2+k，
2
∴抛物线顶点A坐标为（1，k），
点C坐标为（1，0），
1 1
∴点D坐标为（1+ k， k），
2 2
1 1 1 1 1 k
将（1+ k， k）代入y＝y=− (x−1) 2+k得 k=− (1+ −1) 2+k
2 2 2 2 2 2
解得k＝0（舍）或k＝4，
故答案为：4．
1 1
（3）抛物线经过（h+ k， k），
2 2
1 1
∴ k＝a（h+ k﹣h）2+k，
2 2解得ak＝﹣2，
故a，k之间的数量关系为：ak＝﹣2．
【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关
系，结合图形求解．
1
110．如图，直线y=− x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C．已知二次函数的图象经过点B，C和点A
2
（﹣1，0）．
（1）求B，C两点的坐标．
（2）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△NCD为等腰三
角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【分析】（1）令直线y=− x+2的x＝0，y＝0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；
2
（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；利用“两圆一中垂”找到
对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．
1
【详解】解：（1）对直线y=− x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，
2
∴B（4，0），C（0，2）．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点N，使△NCD为等腰三角形，理由如下：
设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），
∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1），
把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：
a（0﹣4）（0+1）＝2，
1
解得：a=− ，
21 1 3
∴y=− （x﹣4）（x+1）=− x2+ x+2．
2 2 2
∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
3
∴对称轴为直线x= ，
2
3
∴D（ ，0），
2
∵C（0，2），
5
∴CD= ，
2
①如图1，当DC＝DN时，
5
DN= ，
2
3 5 3 5
∴N （ ， ），N （ ，− ），
1 2 2 2 2 2
②如图2，当CD＝CN
3
时，过点C作CH⊥DN
3
于点H，∵CD＝CN
3
，CH⊥DN
3
，
∴DH＝N H，
3
∵C（0，2），
∴DH＝2，
∴N H＝2，
3
∴N D＝4，
3
3
∴N （ ，4），
3 2
③如图3，当N
4
C＝DN
4
时，过点C作CE⊥DN
4
于点E，
3
设DN ＝t，则EN ＝2﹣t，CE= ，
4 4 2
3
由勾股定理可知，（2﹣t）2+（ ）2＝t2，
2
25
解得t= ．
16
3 25
∴N （ ， ），
4 2 16
3 5 3 5 3 3 25
综上所述：存在N （ ， ）或N （ ，− ）或N （ ，4）或N （ ， ），使△NCD是等腰三角
1 2 2 2 2 2 3 2 4 2 16
形．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，本
题求二次函数的解析式可以用一般式或者两点式结合待定系数法求解，解答本题的关键要明确求点 P的
坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点．
