文档内容
22.1二次函数的图象和性质
知识点 1 二次函数的定义
1．（2025春•榕江县月考）下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
x 1
A．y＝2x+1 B．y= C．y＝x2﹣1 D．y=
3 x2
2．（2024秋•路桥区期末）已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2
3．（2022秋•沙市区期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2
1
﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2+ +5其中二次函数的个数为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果y＝（k﹣3）x|k﹣1|+x﹣3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为﹣1，她们俩中求得
结果正确的是 ．
5．（2023秋•韩城市月考）关于x的函数y＝（a2+2a+3）x2+3ax+1，甲说：此函数不一定是二次函数；乙
说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与a的取值有关．你认为谁的说法正确？为
什么？
知识点2 二次函数的一般形式
6．（2024秋•铁西区月考）二次函数y＝3x2﹣2x+5中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，
常数项是 ．
7．（2021秋•头屯河区期末）把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为
．
知识点3 实际问题中的二次函数
8．（2024秋•雨花区月考）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果
第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（ ）
A．y＝50（1+x）2 B．y＝50+50（1+x）+50（1+x）2
C．y＝50（1+x）+50（1+x）2 D．y＝50+50（1+x）
9．（2023春•馆陶县期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式
为（ ）A．y＝x2+16 B．y＝（x+4）2 C．y＝x2+8x D．y＝16﹣4x2
10．九年级共有x名同学，在开学见面时每两名同学都握手一次，共握手y次．则y与x之间的函数关系式
是 ， （填“是”或“不是”）二次函数．
11．（2022秋•澧县期末）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于30m）和
总长为28m的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为 x米，花圃
总面积为y平方米，求y关于x的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示）
知识点4二次函数y＝ax2的图像
1
12．二次函数y=− x2的大致图象是（ ）
2
A． B． C． D．
知识点5 二次函数y＝ax2的图像和性质
1
13．（2024秋•郑州期中）点(−1，y )，(− ，y )，(2，y )都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则
1 2 2 3
y ，y ，y 的大小（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1
1
14．（2023秋•濠江区期末）如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线y= x2上，点O是原点，顶点B在
4
y轴上，则顶点A的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（❑√2，❑√2） C．（4，4） D．（2❑√2，2❑√2）
15．（2021 秋•灵山县校级期中）若二次函数 y＝ax2的图象过点 P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
1
16．（2024秋•保定月考）对于抛物线y= x2 与y＝2x2，下列说法不正确的是（ ）
2
A．开口方向相同 B．都过原点
C．对称轴都是y轴 D．开口大小相同
17．（2021秋•汾阳市校级期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值
范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
18．（2021秋•望花区月考）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关
1 2
系式一定正确的是（ ）
A．y ＞y ＞0 B．y ＞y ＞0 C．y ＞0＞y D．y ＞0＞y
1 2 2 1 1 2 2 1
19．（2021秋•新市区校级月考）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
20．（2024秋•代县期中）已知点A（2，8）与点B（﹣1，k）都在二次函数y＝ax2的图象上．
（1）求a和k的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
（2）求该抛物线上纵坐标为6的点的坐标；
（3）当﹣3≤x≤1时，求函数y的最大值和最小值．
知识点6 二次函数y=ax2+k的性质
21．（2024秋•邯山区校级期中）二次函数y＝x2+1的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
22．（2021秋•武义县期末）函数y＝﹣x2+3与y＝﹣x2﹣2的图象的不同之处是（ ）
A．顶点 B．对称轴 C．开口方向 D．形状
23．（2021秋•藁城区校级月考）对于二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣1≤y≤5 B．﹣5≤y≤5 C．﹣3≤y≤5 D．﹣2≤y≤5
24．如图，将二次函数y＝x2﹣4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当x＝﹣3时，新函数值为 ，当x＝1时，新函数值为 ；
（2）当x＝ 时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 ．
25．（2020秋•红谷滩区校级期末）已知点（x ，y ），（x ，y ）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法中：
1 1 2 2
①若y ＝y ，则x ＝x ；②若x ＝﹣x ，则y ＝y ；③若0＜x ＜x ，则y ＞y ；④若x ＜x ＜0，则y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
＞y ．佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确．请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并
2
说明理由．
1
26．已知抛物线y=− x2+(5−m)x+m−3与y轴交于点C，与x轴正半轴交于点A，与x轴负半轴交于
2
点B，且OA＝OB．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．知识点7 二次函数y=ax2+k图象的平移
27．抛物线y＝ax2﹣1上有一点P（2，2），平移该抛物线，使其顶点落在点A（0，1）处，这时，点P落
在点Q处，则点Q的坐标为 ．
28．（2023秋•思明区校级月考）把函数y＝x2的图象向上平移一个单位后得到函数（ ）的图象．
A．y＝x2﹣1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2+1 D．y＝（x﹣1）2
1
29．（2023秋•北流市期末）如图，已知抛物线y =− x2+4，﹣2≤x≤2，将y 向下平移2个单位长度后
1 2 1
得抛物线y ，则图中阴影部分的面积S＝ ．
2
知识点8 二次函数y=a(x-h)2的图象
30．（2025•赤坎区校级四模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
31．若小明将如图所示的两条水平线AB，CD中的一条当成x轴，且向右为正方向；两条铅垂线AC，BD
中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数y＝2（x﹣1）2的图象，则坐
标原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
知识点9 二次函数y=a(x-h)2的性质
1
32．（2024秋•临泉县月考）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2与抛物线y= x2的相同点是（ ）
2A．对称轴相同 B．顶点相同
C．顶点都在x轴上 D．形状相同
33．（2021秋•绥滨县期末）已知二次函数y＝﹣2（x+b）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣
3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．32 D．﹣32
34．（2024秋•工业园区校级期中）已知A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）三点都在二次函数y＝
1 2 3
﹣2（x+2）2的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
35．已知二次函数y＝3（x﹣3）2，当x分别取x ，x （x ≠x ）时，函数值相等，则当x取3x +3x 时，函数
1 2 1 2 1 2
值为 ．
36．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图象的顶点在x轴上；B：当x＞1时，y随x的增大而减小；C：该函数图象的形状与函数y＝
﹣2x2的图象相同．已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式：
．
37．（2024秋•姑苏区月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣
3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．
知识点10 二次函数y=a(x-h)2的平移
38．（2021秋•开化县月考）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝（x﹣1）2+2先向下平移3个单位长度再
向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣4）2
39．（2024秋•南昌县月考）若将抛物线y＝﹣3（x﹣3）2的顶点平移到原点，则下列平移方法正确的是（
）A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
知识点11 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
40．（2024秋•南昌县月考）在平面直角坐标系中，若二次函数y＝﹣（x﹣h）2﹣k的图象如图所示．则点
A（h，k）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
41．（2024•从江县校级二模）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示．关于该函数在所给自变量取值范
围内，下列说法正确的是（ ）
A．关于直线x＝1对称 B．有最小值﹣1，有最大值3
C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3
知识点12 二次函数y=a(x-h)2+k的性质
42．（2023秋•芜湖月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（0，4），（6，5）两点，若a＜0，0＜h＜
6，则h的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
43．（2024秋•广州期末）已知二次函数y＝3（x+2）2的图象上有三点A（1，y ），B（2，y ），C（﹣
1 2
3，y ），则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
44．（2024秋•海安市月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时．y随x的增大而减小，则实
数t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．t＞1 C．1≤t＜5 D．t≥5
45．（2022秋•淮南月考）如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）①a＝ ．
②方程a（x+1）2+4＝0的解是 ．（2）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，那么△PAB的面积是 ．
知识点13 二次函数y=a(x-h)2+k的平移
46．（2024•淮阴区一模）点P（m，5）在抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6上，将抛物线C进行平移得抛物线
C′：y＝﹣x2+2，P的对应点为P′，则点P移动的最短路程为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
47．（2023秋•怀仁市期中）将抛物线y＝﹣2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，
所得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2
C．y＝﹣2（x﹣3）2+2 D．y＝﹣2（x﹣3）2
知识点14 把二次函数的一般式化为顶点式
48．（2024•杭州模拟）将二次函数y＝x2+4x﹣4化成y＝a（x+h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣8 B．y＝（x﹣2）2
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝x2﹣8
1
49．（2024秋•海门区校级月考）把二次函数y=− x2−x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则k＝
4
．
知识点15 二次函数y=ax2+bx+c的图象
50．（2024•柴桑区二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝mx2+nx+m﹣2（m＞
2）向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（ ）
A．向上平移1个单位长度
B．向上平移2个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向上平移4个单位长度知识点16 二次函数y=ax2+bx+c的图象
51．（2017•府谷县模拟）二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象关于直线x＝﹣1对称的图象的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣16x+55 B．y＝x2+8x+7
C．y＝﹣x2+8x+7 D．y＝x2﹣8x+7
52．（2012秋•东胜区期末）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下
表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 1 ﹣4 1 ﹣2 1 …
−6 −2 −2
2 2 2
根据表格上的信息写出该二次函数的解析式是 ．
知识点17 二次函数y=ax2+bx+c的性质
53．（2024秋•和平区校级月考）若抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m的顶点在x轴上，则m＝ ．
54．（2022秋•大荔县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图
所示，其对称轴为直线x＝2，与y轴交于点（0，﹣2），则当y＜﹣2时，x的取值范围是 ．
55．（2024秋•前进区校级期中）已知（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）都是二次函数y＝ax2﹣2ax+3a
1 2 3
（a≠0）的图象上的点，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则y ，y ，y 按从小到大顺序排列是
1 2 3
．
知识点18 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
56．（2024秋•三台县期中）二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1．下列结论：
①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④（a+c）2﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数），
其中结论正确的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
57．（2021•河北区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结
论：
b
①b＞a；②若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜− ；③3|a|+|c|＜2|b|．
a
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点19 用“一般式”求二次函数解析式
58．（2024秋•江岸区期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y＝ax2+bx+c的
解析式为（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 …
A．y＝x2+3x+5 B．y＝x2+3x﹣5
C．y＝﹣x2+3x﹣5 D．y＝﹣x2﹣3x﹣5
知识点20 用“顶点式”求二次函数解析式
60．（2024秋•西华县期中）形状、开口方向与抛物线y＝2x2﹣x+3相同，且顶点为（﹣2，1）的二次函数
解析式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+1 D．y＝﹣2（x﹣2）2+1
61．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则这个二次函数的解析式为 ．
62．（2021秋•瑶海区期末）一个二次函数，当x＝﹣1时，函数的最小值为2，它的图象经过点（1，
6），求这个二次函数的表达式．知识点21 用“交点式”求二次函数解析式
63．（2020•吴兴区校级三模）如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝
2，则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
64．（2024秋•萧山区月考）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相可，且经过（﹣
1，0）和（3，0），则这条抛物线的解析式为 ．
25
65．若抛物线的最高点的纵坐标是 ，且过点（﹣1，0），（4，0），则该抛物线的解析式为（ ）
4
A．y＝﹣x2+3x+4 B．y＝﹣x2﹣3x+4
C．y＝x2﹣3x﹣4 D．y＝x2﹣3x+4
66．（2024秋•工业园区校级期中）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，
0），C（0，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围．
知识点22 根据图形平移、翻折、旋转求解析式
67．已知一条抛物线的开口方向和形状与y＝3x2相同，顶点在抛物线y＝（x+2）2的顶点上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若将（1）中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式为 ；
（3）若将（1）中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为 ；
（4）若将（1）中的抛物线沿y轴对折，所得到的新抛物线解析式为 ．
68．已知抛物线y＝2x2﹣4x+1，
（1）求它关于x轴对称的抛物线的解析式？（2）求它关于y轴对称的抛物线的解析式？
（3）求它关于原点对称的抛物线的解析式？
（4）求将它绕着与y轴的交点旋转180°所得抛物线的解析式？
易错点：用二次函数定义求字母的值时忽略二次项系数不为0的隐含条件致错。
69．（2022秋•普兰店区期末） 是二次函数，则m的值是（ ）
y=(m−1)xm2+1
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
易错点： 忽略抛物线的形状与开口方向无关导致错误
70．（2021秋•鲤城区校级期中）已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．1
易错点：忽略开口方向隐含的条件致错
71．若二次函数y＝（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，求m的值．晓丽的解题过程如下：
解：∵y＝（2﹣m）x|m|﹣3是二次函数，
∴|m|﹣3＝2，解得m＝5或m＝﹣5．
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程．
易错点：混淆坐标系的平移与二次函数图象的平移致错
72．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左
平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3
C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1
易错点：考虑不到C点的坐标是两种情况而出错。
73．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的解析
式．
【提示】①该抛物线表达式怎么设？
②C点坐标是多少？易错点：考虑不到另一交点的坐标是两种情况而出错。
74．（2023•南岗区二模）已知二次函数图象经过原点和点（2，4），且图象与x轴的另一个交点到原点的
距离是3，则这个二次函数的解析式为 ．
75．（2017•南山区三模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD
的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
4 2 2 4
A．y= x2 B．y= x2 C．y= x2 D．y= x2
25 25 5 5
76．（2025•重庆模拟）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂
3月份的产值y关于x的函数解析式为 ．
77．（2022秋•太康县期末）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
78．（2021秋•新昌县期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边
长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当S=❑√3时，求x的值．2n+1 1 1
79．（2024秋•绍兴月考）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2− x− + 与x轴交于A ，
n(n+1) n+1 n n
B
n
两点，以A
n
B
n
表示这两点之间的距离，则A
1
B
1
+A
2
B
2
+A
3
B
3
+⋯+A
2024
B
2024
的值是（ ）
2024 1011 2023
A． B． C．1 D．
2025 1012 2024
80．已知点（x ，y ），（x ，y ）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（
1 1 2 2
）
A．若x ＞x ，则y ＞y B．若x ＜x ，则y ＜y
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x x ＞（x ）2，则y ＞y D．若x x ＜（x ）2，则y ＜y
1 2 2 1 2 1 2 2 1 2
81．（2021秋•天津期末）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横
坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．2❑√5 D．❑√26
82．7（2019秋•雁塔区校级月考）如图，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是：①y＝a（x﹣
h）2；②＝b（x﹣h）2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c1
83．（2023•长春一模）如图，抛物线y＝x2与矩形ABCD交于E、F两点，y= x2与矩形ABCD交于A、D
2
1
两点，y=− x2与矩形ABCD交于B、C两点，若点A的横坐标为﹣1，则图中阴影部分面积的和为
4
．
84．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y ＝x（x＜m）的图象与函数y ＝x2（x≥m）的
1 2
图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一
个满足条件的实数m的值为 （写出一个即可）．
85．（2024•福田区校级二模）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
86．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），若y ＜y ，则下列结论正确的是（
1 1 2 2 1 2
）
A．0≤x ＜x B．x ＜x ≤0
1 2 2 1
C．x ＜x ≤0或0≤x ＜x D．以上都不对
2 1 1 2
87．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac
的值为（ ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
2
88．（2024秋•阜阳月考）抛物线y=mx2+ 的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
m
（1）点B坐标为 ；
2
（2）点C(2， −1)，D（4，0），且线段CD与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是
m
．
1
89．（2021•凉山州模拟）已知抛物线y= x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的
4
1
距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为（❑√3，3），P是抛物线y= x2+1上一个动点，
4
则△PMF周长的最小值是 ．
90．抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于M（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）对于二次函数y＝2x2+n，当x在什么范围时，y随x的增大而减小？
（4）y＝2x2+n与y＝2x﹣1还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，说明理由．
91．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的
直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）7 9 11 13
A． B． C． D．
3 4 5 6
92．（2021•开福区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，
其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
93．（2024秋•莱阳市期末）设函数 ， ，直线x＝1与函数y ，y 的图象分别
y =−(x−m) 2 y =−(x−n) 2 1 2
1 2
交于点A（1，a ），B（1，a ），得（ ）
1 2
A．若1＜m＜n，则a ＜a B．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 1 2
C．若m＜1＜n，则a ＜a D．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 2 1
94．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1），Q（9，1），若抛物线y＝（x﹣a）2与线段PQ有
交点，则a的取值范围是 ．
95．如图，点P ，P ，P ，…，P 在抛物线y＝a（x﹣1）2上，点Q ，Q ，Q ，…，Q 在抛物线的对称轴
1 2 3 n 1 2 3 n
上，若△P Q Q ，△P Q Q ，…，△P Q Q 都为等边三角形（点Q 是抛物线的顶点）且Q Q ＝2，
1 0 1 2 1 2 n n﹣1 n 0 0 1
则P 的坐标为 ．
n
96．（2020秋•越秀区校级期中）如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且
1
S = ．
△AOB
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求S 最大时，点C的坐标．
△ABC97．（2023•衡水模拟）已知a（a＜0），h（0＜h＜10），k为三个常数，且二次函数y＝a（x﹣h）2+k的
图象经过（0，5），（10，8）两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：h的值可能为5；
结论Ⅱ：点P（m，n）在二次函数图象上，若n＝8，则满足条件的点P有两个
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
1
98．（2024•玉林模拟）已知抛物线C：y= （x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平
2
移m个单位，得到抛物线C ，顶点为D ，C与C 相交于点Q，若∠DQD ＝60°，则m等于（ ）
1 1 1 1
A．±4❑√3 B．±2❑√3 C．﹣2或2❑√3 D．﹣4或4❑√3
99．（2025•青岛模拟）点M是二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2图象的顶点，MN⊥x轴，且交一次函数
y＝x﹣2的图象于点N，点P在y轴上，下列结论错误的是（ ）
A．点（﹣1，0）一定在二次函数图象上
11
B．MN≥
4
C．当MN最小时，MP+NP的最小值是3
3 1
D．若两个函数图象在第四象限有交点，则− ＜m＜
2 2
100．（2025•宁国市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（
）A． B．
C． D．
101．（2024秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数值y之间满足如表数
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
量关系：那么(a−b+c)( + )的值为（ ）
2a 2a
x 2 4 7
y 20.17 20.17 1
A．4 B．6 C．10 D．14
102．（2025•德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D的坐标分别为（﹣1，
1），（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（ ）
−3−❑√5 −3−❑√5
A． ≤m≤2 B． ≤m≤0
2 2
−3+❑√5 −3+❑√5
C． ≤m≤2 D． ≤m≤0
2 2
103．（2024•济南模拟）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t，将其图象在直线x＝1左侧部分沿x轴翻折，其余
部分保持不变，组成图形G．在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，其中
m＞n．令s＝m﹣n，则s的取值范围是（ ）A．s≤0 B．0≤s≤2 C．s≤2 D．s≥2
{x2−2x+3(x＜2))
104．（2022•荆门）如图，函数y 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与
= 3 9
− x+ (x≥2)
4 2
直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜x ）．
1 1 2 2 3 3 1 2 3
设t x y +x y ，则t的取值范围是 ．
= 1 1 2 2
x y
3 3
105．（2022秋•香洲区期中）如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P、Q同时从点A出发，以2cm/s
的速度分别沿A→B→C，和A→D→C的路径向点C移动．设运动时间为 t¿，由点P、B、D、Q确定的
¿
图形的面积为scm2，求s与t（0≤t≤8）之间的函数关系式．
106．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线
E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求
实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等
均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是
26个，求a的取值范围．107．（2024秋•和平区校级月考）如图，抛物线 与 交于点B
l ：y =−(x+1) 2+2 l ：y =−(x−2) 2−1
1 1 2 2
（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交两条抛物线于点A，C，则以下结
论：
①无论x取何值，y 总是负数；
2
②l
2
可由l
1
向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③随着x的增大，y ﹣y 的值先增大后减小；
1 2
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是 ．（填序号）
108．（2023•定远县一模）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝
2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△AA
1
B
1
．
（1）求以A为顶点，且经过点B 的抛物线的解析式；
1
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．109．（2024秋•孟州市月考）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0，k＞0）的顶点为A，对称轴与x轴交
于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛
物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y＝ax2+2是“美丽抛物线”时，则a＝ ；
1
（2）当抛物线y=− (x−1) 2+k是“美丽抛物线”时，则k＝ ；
2
（3）若抛物线y＝a（x﹣h）2+k是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
1
110．如图，直线y=− x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C．已知二次函数的图象经过点B，C和点A
2
（﹣1，0）．
（1）求B，C两点的坐标．
（2）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△NCD为等腰三
角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
