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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 9 讲抛物线与几何综合
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 8 讲抛物线与几何综合
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一抛物线与三角形有关问题
考向二抛物线与线段有关问题
考向三抛物线与角度有关问题
考向四抛物线与四边形有关问题
考向五抛物线与圆有关问题
考向六抛物线与面积有关问题
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第 9 讲抛物线与几何综合
二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会
考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要
是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.
→➊考点精析←
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式
设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后
结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符
合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等
有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动
时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大
题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多
少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结
合题干中与动点有关的条件进行计算．
→➋真题精讲←
考向一抛物线与三角形有关问题
1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点
，抛物线的顶点 在直线 上，与 轴的交点为 ，其中点 的坐标为 ．直
线 与直线 相交于点 ．
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(1)如图2，若抛物线经过原点 ．
①求该抛物线的函数表达式；②求 的值．
(2)连接 与 能否相等？若能，求符合条件的点 的横坐标；若不能，试说
明理由．
【答案】(1)① ；② ；(2)能， 或 或 或 ．
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
②过点 作 于点 ．设直线 为 ，把 代入，得 ，
解得 ，直线 为 ．同理，直线 为 ．联立两直线解析
式得出 ，根据 ，由平行线分线段成比例即可求解；
（2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．①如图2-1，当 时，
存在 ．记 ，则 ．过点 作
轴于点 ，则 ．在 中， ，进而得出点 的横
坐标为6．②如图2-2，当 时，存在 ．记
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．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中，
，得出点 的横坐标为 ．③如图 ，当 时，存在
．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中，
，得出点 的横坐标为 ．④如图2-4，当 时，存在
．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在
中， ，得出点 的横坐标为 ．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴顶点 的横坐标为1．
∴当 时， ，
∴点 的坐标是 ．
设抛物线的函数表达式为 ，把 代入，
得 ，
解得 ．
∴该抛物线的函数表达式为 ，
即 ．
②如图1，过点 作 于点 ．
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设直线 为 ，把 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 为 ．
同理，直线 为 ．
由
解得
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
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①如图 ，当 时，存在 ．
记 ，则 ．
∵ 为 的外角，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为6．
②如图2-2，当 时，存在 ．
记 ．
∵ 为 的外角，
∴ ．
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∴
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为 ．
③如图2-3，当 时，存在 ．记 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为 ．
④如图2-4，当 时，存在 ．记 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为 ．
综上，点 的横坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握
以上知识，分类讨论是解题的关键．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线
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与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 轴，垂足为D，连接 ．
①如图，若点P在第三象限，且 ，求点P的坐标；
②直线 交直线 于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，请直接写出
四边形 的周长．
【答案】(1) ；(2)① ② 或
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①设 ，过点 作 于点 ，求出 ，根据
列出方程求出 的值即可；②可推出四边形 是菱形，从而得出
，分别表示出 和 ，从而列出方程，进一步求得结果．
【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点
，
∴把 ， 代入 得，
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，
解得， ，
∴抛物线的函数解析式为 ；
（2）①设 ，过点 作 于点 ，如图，
∴
∵
∴
∵ 轴，
∴
又
∴四边形 是矩形，
∴
∴
∵
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∴
∴ （不合题意，舍去）
∴
∴ ；
②设 ，
对于 ，当 时，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
当点 在第三象限时，如图，过点 作 轴于点 ，
则四边形 是矩形，
∵点 与点 关于 对称，
∴
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∵ 轴，
∴
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ,
又 且
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∴
解得， （舍去）
∴
∴四边形 的周长 ；
当点 在第二象限时，如图，
同理可得：
解得， （舍去）
∴
∴四边形 的周长 ；
综上，四边形 的周长为 或 ．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，
作辅助线，表示出线段的数量．
3．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
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与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此
时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物
线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰
的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
【答案】(1) ；(2) 取得最大值为 ， ；(3) 点的坐标为
或 或
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，设
，则 ，则 ，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出 ，对称轴为直线 ，点 向右平
移5个单位得到 ， ，勾股定理分别表示出 ，进而分类讨论
即可求解．
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【详解】（1）解：将点 ， ．代入 得，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
（2）∵ 与 轴交于点 ， ，
当 时，
解得： ，
∴ ,
∵ ．
设直线 的解析式为 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
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设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值为 ， ，
∴ ；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移 个单位，得到 ，对称轴为直线 ，
点 向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与 轴交于点 ，令 ，则 ，
∴ ,
∴
∵ 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
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则 点的横坐标为 ，
设 ，
∴ ， ，
当 时， ，
解得： 或 ，
当 时， ，
解得：
综上所述， 点的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数
的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线
过点 ， 和 ，连接 ，点 为抛物线上一
动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交 轴于点 ．
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(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以
， ， 为顶点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线： ；直线 ： ；(2) 或 或 ；
(3) ， 或 ， 或 ，
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛
物线的解析式；设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ， ，进而得
直线 的解析式．
（2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分
类讨论，进而列方程求解；
（3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形
的相似比求解 ，进而可得 ， 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线过点 ， ，
抛物线的表达式为 ，
将点 代入上式，得 ，
．
抛物线的表达式为 ，即 ．
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设直线 的表达式为 ，
将点 ， 代入上式，
得 ，
解得 ．
直线 的表达式为 ．
（2）解： 点 在直线 上，且 ，
点 的坐标为 ．
， ， ．
当 为等腰三角形时，
①若 ，则 ，
即 ，
解得 ．
②若 ，则 ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ．
综上， 或 或 ．
（3）解： 点 与点 相对应，
或 ．
①若点 在点 左侧，
则 ， ， ．
当 ，即 时，
直线 的表达式为 ，
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，解得 或 （舍去）．
，即 ．
，即 ，
解得 ．
， ．
当 ，即 时，
， ，
，即 ，
解得 （舍去）或 （舍去）．
②若点 在点 右侧，
则 ， ．
当 ，即 时，
直线 的表达式为 ，
，解得 或 （舍去），
，
，即 ，
解得 ．
， ．
当 ，即 时，
， ．
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，即 ，
解得 或 （舍去）．
， ．
综上， ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性
质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相
关知识是解题的关键．
考向二抛物线与线段有关问题
5．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线
交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，
运动到点 时停止．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断
四边形 的形状，并说明理由．
(3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方
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向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)四边形 是平行四边形，理由见解析；(3)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ，由点 在 上，可知
， ，连接 ，得出 ，则
，当 时， ，进而得出
，然后证明 ，即可得出结论；
（3）由题意得， ，连接 ．在 上方作 ，使得 ，
，证明 ，根据 得出 的
最小值为 ，利用勾股定理求得 ，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 是平行四边形．
理由：如图1，作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ．
∵点 在 上，
∴ ， ，
连接 ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）如图2，由题意得， ，连接 ．
在 上方作 ，使得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ （当 ， ， 三点共线时最短），
∴ 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股
定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知 是抛物 （b为常
数）上的两点，当 时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外
接圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得
点P、Q的纵坐标相等．求 长的取值范围．
【答案】(1)0；(2)① ②
【分析】（1）根据 ，且 时，总有 ，变形后
即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
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【详解】（1）解：由题可知：
时，总有 ，
．
则 ，
∴ ，
∴ 总成立，且 ，
；
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题
意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，
解得 或 （舍），
综上， ，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，解得 或0（舍）．
综上 ，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段 的垂直平分线上．
令 ，解得 ，
，
，
，
设 ，
，
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，
，
，
，即 ，
．
，即 ，
，
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结
合和分类讨论是解题的关键．
考向三抛物线与角度有关问题
7．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线 与 轴交于
两点，交 轴于点 ．
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(1)请求出抛物线 的表达式．
(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否
存在点 使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴
正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ； ；(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）把 代入 ，求出 即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，证明
可得 故可得 ， ；
（3）先求得抛物线 的解析式为 ，得出 ， ，
运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，
设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，
连接 ，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得 ，进
而可求得点 的坐标．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
∴把 代入 ，得，
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解得，
∴解析式为： ；
（2）假设存在这样的正方形 ，如图，过点E作 于点R，过点F作 轴于
点I，
∴
∵四边形 是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ；
同理可证明：
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∴
∴
∴ ；
（3）解：抛物线 上存在点 ，使得 ．
，
抛物线 的顶点坐标为 ，
将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，
， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作
轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
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， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
即点 与点 重合时， ，
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；
， ，
，
，
点 与点 关于直线 对称，
；
综上所述，抛物线 上存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三
角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
考向四抛物线与四边形有关问题
8．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线 过点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点
为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ；(2) 的最大面积为 ， ；(3)存在，
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
或 或 ， ，见解析
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线 的解析式为 ，设点
，过点P作 轴于点D，交 于点E，得出
，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行分析：若 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，将点B、C代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，过点P作 轴于点D，交 于点E，如图所示：
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大面积为 ，
，
∴
（3）存在， 或 或 或 ， ，证明如下：
∵ ，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为： ，
设点 ，
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
综上可得：
或 或 ， ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面
积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点
是解题关键．
9．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，对称
轴为 的抛物线经过 两点，交 轴负半轴于点 ． 为抛物线上一动点，点 的
横坐标为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，作 轴的垂线 ，垂足为 ，
直线 交 轴于点 ．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)若 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形？
(3)若 ，设直线 交直线 于点 ，是否存在这样的 值，使 ？若存在，
求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线 的函数解析式，列方程求解；
（3）根据 ，确定 点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【详解】（1）解：在直线 中，当 时， ，当 时， ，
∴点 ，点 ，
设抛物线的解析式为 ，
把点 ，点 代入可得 ，
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解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意， ，
∴ ，
当四边形 是平行四边形时， ，
∴ ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入可得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
又∵过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，且抛物线对称轴为 ，
∴
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）， ；
（3）解：存在，理由如下：
∵ ，
∴点E为线段 的中点，
∴点E的横坐标为 ，
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∵点E在直线 上，
∴ ，
把 代入 中，可得 ，
解得 （不合题意，舍去）， ．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用
数形结合思想和方程思想解题是关键．
10．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线 （ ）与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点
P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 的直线（直线 除外）
与抛物线交于G，H两点，直线 ， 分别交x轴于点M，N．试探究 是否为
定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；(2) 或 或 ；(3)定值，理由见详
解
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【分析】（1）将 两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过 作 轴，交抛物线于 ，过
作 ，交 轴于 ，可得 ，由 ，可求解；②在 轴的负半轴
上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使 ，连接 、 ，过
作 轴，交 轴于 ， ，即可求解；③当 为平行四边形的对角线时，
在①中，只要点Q在点B的左边，且满足 ，也满足条件，只是点P的坐标仍是①
中的坐标；
（3）可设直线 的解析式为 ， ， ，
可求 ，再求直线 的解析式为 ，从而可求
，同理可求 ，即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于 两点，
，解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
（2）解：①如图，过 作 轴，交抛物线于 ，过 作 ，交 轴于 ，
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四边形 是平行四边形，
，
，
解得： ， ，
；
②如图，在 轴的负半轴上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使
，连接 、 ，过 作 轴，交 轴于 ，
四边形 是平行四边形，
，
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在 和 中，
，
( )，
，
，
，
解得： ， ，
；
如上图，根据对称性： ，
③当 为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且 时，也
满足条件，此时点P的坐标仍为 ；
综上所述： 的坐标为 或 或 ．
（3）解：是定值，
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理由：如图， 直线 经过 ，
可设直线 的解析式为 ，
、 在抛物线上，
可设 ， ，
，
整理得： ，
， ，
，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，则有
，
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解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
，
同理可求： ，
；
当 与 对调位置后，同理可求 ；
故 的定值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数
图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理
解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并
会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
考向五抛物线与圆有关问题
11．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数 的图像与 轴分别交
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于点 （点A在点 的左侧），直线 是对称轴．点 在函数图像上，其横坐标大于4，
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，以点 为圆心，作半径为 的圆， 与
相切，切点为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若以 的切线长 为边长的正方形的面积与 的面积相等，且 不经过点
，求 长的取值范围．
【答案】(1) ；(2) 或 或
【分析】（1）令 求得点 的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为 ，设 ，则 ；如
图连接 ，则 ，进而可得切线长 为边长的正方形的面积为 ；过
点P作 轴，垂足为H，可得 ；由题意可得
，解得 ；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答
即可．
【详解】（1）解：令 ，则有： ，解得： 或 ，
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∴ ．
（2）解：∵抛物线过
∴抛物线的对称轴为 ，
设 ，
∵ ，
∴ ,
如图：连接 ，则 ，
∴ ，
∴切线 为边长的正方形的面积为 ，
过点P作 轴，垂足为H，则： ，
∴
∵ ，
∴ ，
假设 过点 ,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即
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∴ ，解得： 或 ，
∵
∴ ；
②如图2：当点M在点N的上方，即
∴ ，解得： ，
∵
∴ ；
综上， 或 ．
∴当 不经过点 时， 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨
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论思想是解答本题的关键．
12．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与
轴交于点 ．
(1)求直线 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出
所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值．
【答案】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为 ；(2)存在，点M
的坐标为 或 或 ；(3)
【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解
析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为
，解方程组 ，即可得到点M的坐标；②当 时，求出
直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M的坐标；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到
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，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时， 的值最小，
即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，
∴ ，
将 代入直线 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
将 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，
∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ．
∴当 时， ，
∴ ，
①当 时，
设直线 的解析式为 ，将点A坐标代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
得 或 ，
∴点M的坐标为 ；
②当 时，
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设直线 的解析式为 ，将 代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为 或 或 ；
（3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，、
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
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【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角
三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各
知识点是解题的关键．
考向六抛物线与面积有关问题
13．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形 的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 ，求P点的坐标．
【答案】(1) ；(2)30；(3)
【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次
函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可．
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（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可
求得答案．
（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最
后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标．
【详解】（1）∵二次函数的图象与 轴交于 两点．
∴设二次函数的表达式为
∵ ，
∴ ，即 的坐标为
则 ，得
∴二次函数的表达式为 ；
（2）
∴顶点的坐标为
过 作 于 ，作 于 ，
四边形 的面积
；
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（3）如图， 是抛物线上的一点，且在第一象限，当 时，
连接 ，过 作 交 于 ，过 作 于 ，
∵ ，则 为等腰直角三角形， ．
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴
由 ，得 ，
∴ ．
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴ 的坐标为
所以过 的直线的解析式为
令
解得 ，或
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所以 直线与抛物线的两个交点为
即所求 的坐标为
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问
题，解题的关键是将所学的知识灵活运用．
14．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线
经过点 ，对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．过点 作 轴的垂线
交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
（ⅰ）当 时，求 与 的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？
若存在，请求出点 的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出 ， ，
，继而得出 ，
，当 时，根据三角形的面积公式，即
可求解．
（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分 和 分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为
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建立方程，解方程进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ，
解得： ，
∴ ；
（2）（ⅰ）设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴
解得： ，
∴直线 ，
如图所示，依题意， ， ， ，
∴ ，
，
∴当 时， 与 的面积之和为 ，
（ⅱ）当点 在对称右侧时，则 ，
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∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）
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综上所述， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类
讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知： 关于 的函数 ．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于
点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
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说明理由．
【答案】(1)0或2或 ；(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，
按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值．
（2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出
长度，再利用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点
坐标，从而求出 长度，最后利用面积法即可求出 的面积．
②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割
补法表示出 和 ，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可
求出 的最小值．
【详解】（1）解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时， ，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
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．
综上所述， 或0．
故答案为：0或2或 ．
（2）解：①如图所示，设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ．
依题意得： ，解得：
抛物线的解析式为： ．
点 为抛物线顶点时， ， ，
， ，
由 ， 得直线 的解析式为 ，
在直线 上，且在直线 上，则 的横坐标等于 的横坐标，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
② 存在最大值，理由如下：如图，设直线 交 轴于 ．
由①得： ， ， ， ， ，
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，
， ，
，
，即 ，
， ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面
积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及
二次函数最值问题．
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