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2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．命题 ，则 是（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班
共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长
安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》
和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．9
5．若 ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．26 C． D．
6．已知集合 ， ，则满足 的集合 的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
7．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
二、多选题
9．下列命题中真命题有（ ）
A．有理数集可以表示为
B．若 （其中 ），则
C．
D．
10．已知不等式 的解集为 或 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为
11．若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为三、填空题
12．已知 ， ，则 的取值范围为 .
13．若命题“ ，使得 ”是假命题，则实数 的取值范围是 .
14．定义集合的 运算：已知集合 ， ，则 .若集合 ，
，则集合 的真子集个数的可能取值是 .
四、解答题
15．已知集合 ， ，设 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的必要不充分条件，求正实数 的取值范围.
16．已知函数 .
(1)当 时，集合 有且只有一个元素，求实数 的所有取值构成的集合；
(2) ， ，若 时，有 ，求 的最小值.
17．已知集合 ， .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的值；
(3)若 ，求实数 的取值范围.
18．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业
园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为 （单位：米），地面面积为56平
方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案.
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为 ；方案二：其给出的整体报价为 元 .
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数 的值；
(2)求 的函数解析式，并求报价的最小值 ；
(3)若对任意的 时，方案二都比方案一省钱，求实数 的取值范围.
19．设 .
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围（用集合表示）；
(3)解关于 的不等式 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C D D A D BC ACD
题号 11
答案 AB
1．B
解绝对值不等式化简集合 ，再利用并集的定义求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，则 ，而 ，
所以 .
故选：B
2．C
根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可.
【详解】命题 ，
则 为 .
故选：C
3．C
对于C：根据不等式的基本性质分析判断；对于ABD：举出反例说明即可.
【详解】对于选项A：若 ，则 ，故A错误；
对于选项B：例如 ，则 ，即 ，B错误.
对于选项C：因为 ，则 ，
又因为 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：若 ，则 ，即 ，故D错误.
故选：C.
4．C
根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解.
【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合 表
示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有 人，如图所示：则 ，解得 ，
因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为 人.
故选：C.
5．D
根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由 ，得 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：D
6．D
根据题意写出集合 ，再由子集和真子集的定义即可解得.
【详解】因为集合 ， ，
若 ，可知集合 必有元素 ，可能含有元素0，3，4，5，但 ，
则集合 的个数即为集合 的真子集个数，
所以集合 有 个．
故选：D．
7．A
利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定.【详解】因为 ，
当 时，则 ，
即 成立，可知充分性成立；
又因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，不一定 ，即必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
8．D
利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再解一元二次不等式即得.
【详解】由正实数 满足 ，得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
由不等式 有解，得 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
故选：D
9．BC
利用有理数集合的意义判断A；利用相等集合的意义判断B；利用空集的意义判断C；利用子集的意义判
断D.
【详解】对于选项A： 是有理数，而 ，故A为假命题；对于选项B：由 ，得 ， ，则 ，故B为真命题；
对于选项C：空集是任何集合的子集，则 正确，故C为真命题；
对于选项D： ，则 ，故D为假命题.
故选：BC.
10．ACD
由不等式 与方程 之间的关系及题设条件得到 之间的关系，然后逐项分析
即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式 的解集为 或 ，可知 ，故A正确；
且 和5是方程 的两个实数根，
由韦达定理可得 ，则 ；
对于选项B：不等式 即为 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，故C正确；
对于选项D：不等式 即为 ，
可得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，故D正确.
故选：ACD
11．AB
对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解 的取值范围；对于B：利用不等式 可判断；对于C：变形 ，然后利用基本不等式求解其最小值；对于D：令
，且 ，于是 ，然后利用基本不等式求解其最小值．
【详解】因为 ，所以有 ．
对于A：因为 ，
所以 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故A正确；
对于B：因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故B正确；
对于C：因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故C错误；
对于D：令 ，所以 ，且 ，
于是
，
当且仅当 ，即 时取等号，故D错误，故选：AB．
12．
计算出 ，结合不等式性质运算求解.
【详解】设 ，则 ，
令 ，解得 ，
故 ，
因为 ， ，则 ， ，
可得 ，即 ，
故 的取值范围为 .
故答案为： .
13．
将命题转化为命题“ ，使得 ”是真命题，再分 和 两种情况讨论即可
得解.
【详解】命题“ ，使得 ”是假命题，
等价于命题“ ，使得 ”是真命题.
当 时，则 不恒成立，不符合题意；
当 时，若 对于 恒成立，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值集合是 .
故答案为： .
14．3或7
根据题中定义和元素的性质，分类讨论结合集合真子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为 ， ，
由集合中元素的互异性可得 且 ，
当 时， ，所以 ，
此时集合 的真子集个数为 ；
当 且 时， ，此时集合 的真子集个数为 ；
综上所述：集合 的真子集个数的可能取值是3或7.
故答案为：3或7.
15．(1)
(2)
（1）解一元二次不等式求集合A、B，应用集合的并运算求交集即可；
（2）根据必要不充分关系转化为 是 的真子集，根据包含关系即可求 的范围.
【详解】（1）因为集合 ，
集合 ，
若 ，则 ，所以 .
（2）由（1）可知：集合 ，集合 ，
若 是 的必要不充分条件，则 是 的真子集，且a为正实数，即 ，解得 ，
所以正数 的取值范围为 .
16．(1)
(2)
（1）分 和 ，根据方程 只有1解求 的值.
（2）确定 的关系，利用基本不等式求 的最小值.
【详解】（1）当 时，集合 有且只有一个元素，
问题转化为：方程 有且只有1解，
若 ，方程可化为： ，方程有且只有1解，符合题意；
当 时，由方程 解得 或 ，
则 ，解得 ；
综上可知： 或 .
所以实数 的集合为： .
（2）由题意可得： ，即 ，且 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为 .
17．(1)(2) 或 或
(3)
（1） 是方程 的根，代入即可求a；
（2）分 、 和 三种情况进行讨论即可；
（3）由题意可得 ，分 ， ， ， 四种情况讨论即可．
【详解】（1）因为 ，可知 是方程 的根，
则 ，解得 ．
（2）因为 ，
若 ，且 ，可知 ，
当 ，则 ，满足题设；
当 ，则 ，解得 ；
当 ，则 ，解得 ；
综上所述： 或 或 ．
（3）因为 ，且 ，则 ，可得 ，
当 时，则 无实数根，
可得 ，解得 ；
当 时， 有两相等实数根 ，
则 ，无解，不合题意；当 时， 有两相等实数根 ，
则 ，无解，不合题意；
当 时， 有两个实数根 ，
则 ，无解，不合题意；
综上所述： 的取值范围为 ．
18．(1)22
(2) ；
(3)
（1）根据函数定义直接代入可计算；
（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数 ，再利用基本不等式求最值；
（3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
则 ，解得 ，
所以 的值为22.
（2）由题意可知底面长 ，墙面面积为 ，
所以 ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立
所以报价的最小值约为 .
（3）对任意的 时，方案二都比方案一省钱，
即 时， 恒成立，
参变分离可得 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 ，所以实数 的取值范围为 .
19．(1)
(2)
(3)答案见详解
【详解】（1）若关于 的不等式 的解集为 ，
可知 ，且 是方程 根，
则 ，解得 .
（2）当 时，不等式 恒成立，
整理可得 ，
注意到 ，令 ，可知 是关于 的增函数，
可得 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）关于 的不等式 ，整理可得 ，
（i）若 ，则 ，解得 ；
（ii）若 ，方程 的根为 或 ，
由 解得 ；
（iii）若 ，方程 的根为 和 ，
①当 ，即 时，由 解得 或 ；
②当 ，即 时，由 解得 ；
③当 ，即 时，由 解得 或 ；
综上所述：若 ，解集为 ；
若 ，解集为 ；
若 ，解集为 ；
若 ，解集为 ；
